2024-2025學年高中數(shù)學單元素養(yǎng)評價第四章復數(shù)含解析北師大版選修2-2

PAGE單元素養(yǎng)評價(四)(第五章)(120分鐘150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1.實部為-2，虛部為1的復數(shù)所對應的點位于復平面的()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選B.由題意可得復數(shù)z=-2+i，故在復平面內對應的點為(-2，1)，在其次象限.2.z1=(m2+m+1)+(m2+m-4)i，m∈R，z2=3-2i，則“m=1”是“z1=z2”A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件【解析】選A.因為z1=z2，所以QUOTE解得m=1或m=-2，所以m=1是z1=z2的充分不必要條件.3.設z1=3-4i，z2=2+3i，則z1-2z2在復平面內對應的點位于()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選C.因為z1-2z2=3-4i-2(2+3i)=-1-10i，在復平面內對應的點(-1，-10)位于第三象限.4.已知a是實數(shù)，QUOTE是純虛數(shù)，則a等于()A.1 B.-1 C.QUOTE D.-QUOTE【解析】選A.QUOTE=QUOTE=QUOTE是純虛數(shù)，則a-1=0，a+1≠0，解得a=1.5.若i(x+yi)=3+4i(x，y∈R)，則復數(shù)x+yi的模是 ()A.2 B.3 C.4 【解析】選D.由i(x+yi)=3+4i，得-y+xi=3+4i，解得x=4，y=-3，所以復數(shù)x+yi的模為QUOTE=5.6.在復平面內，O是原點，，，對應的復數(shù)分別為-2+i，3+2i，1+5i，那么對應的復數(shù)為()A.4+7i B.1+3iC.4-4i D.-1+6i【解析】選C.因為，，對應的復數(shù)分別為-2+i，3+2i，1+5i，=-=-(+)，所以對應的復數(shù)為3+2i-[(-2+i)+(1+5i)]=4-4i.7.在復平面內，復數(shù)z=QUOTE所對應的點位于()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選C.在復平面內，復數(shù)z=QUOTE=QUOTE=-QUOTE-QUOTEi，所對應的點QUOTE位于第三象限.8.若復數(shù)z=a+QUOTE的實部與虛部相等，其中a是實數(shù)，則a=()A.1 B.0 C.-1 【解析】選A.因為z=a+QUOTE=a+QUOTE=a+i的實部與虛部相等，所以a=1.9.設復數(shù)z=1-QUOTEi(i是虛數(shù)單位)，則QUOTE的虛部為()A.QUOTEi B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTEi【解析】選C.因為z=1-QUOTEi，所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=-QUOTE+QUOTEi.所以QUOTE的虛部為QUOTE.10.當z=-QUOTE時，z100+z50+1的值是()A.1 B.-1 C.i 【解析】選D.原式=QUOTE+QUOTE+1=QUOTE+QUOTE+1=(-i)50+(-i)25+1=-i.11.已知復數(shù)QUOTE的實部與虛部互為相反數(shù)，那么實數(shù)b等于()A.QUOTE B.QUOTE C.2 D.-QUOTE【解析】選D.復數(shù)QUOTE=QUOTE=QUOTE，由于復數(shù)的實部與虛部互為相反數(shù)，那么(2-2b)+(-4-b)=0?b=-QUOTE.12.已知復數(shù)z滿意|z|2-2|z|-3=0，則復數(shù)z在復平面內對應點的軌跡是()A.1個圓 B.線段C.2個點 D.2個圓【解析】選A.由題意知(|z|-3)(|z|+1)=0，即|z|=3或|z|=-1，因為|z|≥0，所以|z|=3，所以復數(shù)z在復平面內對應點的軌跡是1個圓.二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分.請把答案填在題中的橫線上)13.復數(shù)QUOTE(i是虛數(shù)單位)的虛部是_________.

【解析】因為QUOTE=QUOTE=1-i，所以復數(shù)QUOTE的虛部是：-1.答案：-114.-3的平方根是_________.

【解析】由(±QUOTEi)2=-3得解.答案：±QUOTEi15.設z∈C，|z|=1，則|z-(1+i)|的最大值是_________.

【解析】由題意可知，復數(shù)z的軌跡為單位圓，如圖，|z-(1+i)|的幾何意義為單位圓上的動點到定點P的距離，由圖可知，|z-(1+i)|的最大值為|AP|=1+QUOTE.答案：1+QUOTE16.下列說法中正確的序號是_________.

①若(2x-1)+i=y-(3-y)i，其中x∈R，y∈CR，則必有QUOTE②2+i>1+i；③虛軸上的點表示的數(shù)都是純虛數(shù)；④若一個數(shù)是實數(shù)，則其虛部不存在；⑤若z=QUOTE，則z3+1對應的點在復平面內的第一象限.【解析】由y∈CR，知y是虛數(shù)，則QUOTE不成立，故①錯誤；兩個不全為實數(shù)的復數(shù)不能比較大小，故②錯誤；原點也在虛軸上，表示實數(shù)0，故③錯誤；實數(shù)的虛部為0，故④錯誤；⑤中z3+1=QUOTE+1=i+1，對應點在第一象限，故⑤正確.答案：⑤三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17.(10分)計算：(1)QUOTE(1+i).(2)QUOTE.(3)QUOTE.【解析】(1)QUOTE(1+i)=QUOTE(1+i)=QUOTE(1+i)=QUOTE+QUOTEi=-QUOTE+QUOTEi.(2)QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTEi.(3)QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=1-i.18.(12分)已知復數(shù)z1滿意(z1-2)(1+i)=1-i(i為虛數(shù)單位)，復數(shù)z2的虛部為2，且z1·z2是實數(shù)，求z2.【解題指南】解題的關鍵就在于“z1·z2是實數(shù)”這一條件，可得z1·z2的虛部為零，進而求出結果.【解析】可以結合復數(shù)z2的虛部為2，設z2=a+2i，由已知復數(shù)z1滿意(z1-2)(1+i)=1-i，得z1=2-i，又已知z1·z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i是實數(shù)，則虛部4-a=0，即a=4，即復數(shù)z2=4+2i.19.(12分)已知z是復數(shù)，z+2i，QUOTE均為實數(shù)(i為虛數(shù)單位)，對于復數(shù)w=(z+ai)2，當a為何值時，w為：(1)實數(shù).(2)虛數(shù).(3)純虛數(shù).【解題指南】求復數(shù)z→化簡w→求待定系數(shù)a的值.【解析】設z=x+yi(x，y∈R)，z+2i=x+(y+2)i，由題意得y=-2，QUOTE=QUOTE=QUOTE(x-2i)(2+i)=QUOTE(2x+2)+QUOTE(x-4)i.由題意得x=4，所以z=4-2i.因為w=(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i，(1)當w為實數(shù)時，令a-2=0，所以a=2.(2)w為虛數(shù)，只要a-2≠0，所以a≠2.(3)w為純虛數(shù)，只要12+4a-a2=0且a-2≠0，所以a=-2或a=6.20.(12分)設復數(shù)z=2m+(4-m2)i，其中i為虛數(shù)單位，當實數(shù)m取何值時，復數(shù)z對應的點：(1)位于虛軸上.(2)位于一、三象限.(3)位于以原點為圓心，以4為半徑的圓上.【解析】(1)復數(shù)z對應的點位于虛軸上，則QUOTE?m=0.所以m=0時，復數(shù)z對應的點位于虛軸上.(2)復數(shù)z對應的點位于一、三象限，則2m(4-m2)>0?m(m-2)(m+2)<0?m<-2或0<m<2.所以當m∈(-∞，-2)∪(0，2)時，復數(shù)z對應的點位于一、三象限.(3)復數(shù)z對應的點位于以原點為圓心，以4為半徑的圓上，則|z|=QUOTE=4?m=0或m=±2.所以m=0或m=±2時，復數(shù)z對應的點位于以原點為圓心，以4為半徑的圓上.21.(12分)已知復數(shù)z滿意|z|=QUOTE，z2的虛部是2.(1)求復數(shù)z.(2)設z，z2，z-z2在復平面上的對應點分別為A，B，C，求△ABC的面積.【解析】(1)設z=a+bi(a，b∈R)，則z2=a2-b2+2abi，由題意得a2+b2=2且2ab=2，解得a=b=1或a=b=-1，所以z=1+i或z=-1-i.(2)當z=1+i時，z2=2i，z-z2=1-i，所以A(1，1)，B(0，2)，C(1，-1)，所以S△ABC=1.當z=-1-i時，z2=2i，z-z2=-1-3i，所以A(-1，-1)，B(0，2)，C(-1，-3)，所以S△ABC=1.22.(12分)已知復平面內的平行四邊形ABCD中，點A對應的復數(shù)為2+i，向量對應的復數(shù)為1+2i，向量對應的復數(shù)為3-i，求：(1)點C，D對應的復數(shù)；(2)平行四邊形ABCD的面積.【解析】(1)因為向量對應的復數(shù)為1+2i，向量對應的復數(shù)為3-i，所以向量對應的復數(shù)為(3-i)-(1+2i)=2-3i.設O為坐標原點，又因為=+，所以點C對應的復數(shù)為(2+i)+(2-3i)=4-2i.因