2017屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第十三章 不等式選講 理 新人教版

第十三章不等式選講（選修4—5）

第一節(jié)絕對(duì)值不等式

士據(jù)前0一二相犀想一想'辨一辨、試一試，全面打牢基礎(chǔ)

??>必過教材關(guān)

1.絕對(duì)值三角不等式

定理1：如果a,6是實(shí)數(shù),則|a+引W|a|十|引,當(dāng)且僅當(dāng)ab2時(shí),等號(hào)成立.

定理2：如果a,6,c是實(shí)數(shù)，那么|a—c|WIa一引+|6—c|,當(dāng)且僅當(dāng)（a—6）（6—c）20

時(shí)，等號(hào)成立.

2.絕對(duì)值不等式的解法

（1）含絕對(duì)值的不等式I〈a與㈤〉a的解集

不等式a>03=0a<0

X〈<9{x\一水00

X〉3{x\x>a或/—a}{x￡R右鈉}R

⑵卜ax+引Wc,|ax+b\》c（c〉0）型不等式的解法：

①|(zhì)ax+b\Wco—cWax+bWc；

②|ax+b\cOax+4c或ax+K—c.

（3）|x—a\+[x-b\2c,\x-a\+|x—引Wc（c〉0）型不等式的解法：

①利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解.

②利用零點(diǎn)分段法求解.

③構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解.

[小題體驗(yàn)]

1.（教材習(xí)題改編）設(shè)a?0,下面四個(gè)不等式中，正確的是（）

①|(zhì)a+引〉|a|；②]a+引〉引;③|a+6|〈|a—引；?\a-\-b\>\a\~\b\.

A.①和②B.①和③

C.①和④D.②和④

解析：選CVab>0,即a,6同號(hào)，

KiJ\a+b\=\a\+\b\,

二①④正確，②③錯(cuò)誤.

2.若不等式|我一4|W2的解集為{x|lWZ3},則實(shí)數(shù)次=.

解析：由|kx~4\W2O2W心W6.

???不等式的解集為{習(xí)1(啟3},

k=2.

答案：2

3.不等式|x+l|—|x—2|N1的解集是.

-3,-1,

解析：F(x)=|x+11一|X—21=12x—1,-1<X<2,

、3,x》2.

當(dāng)一l<x<2時(shí)，由2x—12L解得lWx<2.

又當(dāng)x22時(shí)，f^x)=3>1恒成立.

所以不等式的解集為{xlx'l}.

答案：

?>>必過易錯(cuò)關(guān)

1.對(duì)形如"(x)|>a或1(x)1〈a型的不等式求其解集時(shí)，易忽視a的符號(hào)直接等價(jià)轉(zhuǎn)化

造成失誤.

2.絕對(duì)值不等式||a|一|引|W|a土引W|a|+|引中易忽視等號(hào)成立的條件.如|a—

引W|a1+|引，當(dāng)且僅當(dāng)MWO時(shí)等號(hào)成立，其他類似推導(dǎo).

［小題糾偏］

1.設(shè)a,6為滿足aZKO的實(shí)數(shù)，那么()

A.|a-\-b\>|a-b\B.|a-\-b\<|a-b\

C.|a~b\<||a|—|Z?||D.|a~b\<|51+|

解析：選BVab<0,：.\a-b\=\a\+\b［i\a+b\.

2.若存在實(shí)數(shù)x使|x-a|+|x—1|W3成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

解析：*.*|x~a\+|x-11三|(x-a)—(x—1)|=|a-l\,

要使|x—T+|x—1|W3有解，可使|a一1|W3,

—3Wa—1W3,—2WaW4.

答案：［-2,4］

士君自0昌盛奧除I自主研、合作探、多面觀，全掃命題題點(diǎn)

考點(diǎn)一絕對(duì)值不等式的解法基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)一自主練透

［題組練透］

1.（易錯(cuò)題）若不等式|x—a|+3W0（其中a〉0）的解集為{x|xW-1},求實(shí)數(shù)a的值.

解：不等式1x—a1+3xW0等價(jià)于或即

［x—a+3^^0［a—x+3^^0,

x》a,x^a,

a或《ya

產(chǎn)點(diǎn)一萬(wàn)

因?yàn)閍〉0,所以不等式組的解集為卜|xW—胃

由題設(shè)可得一畀一1,故a=2.

2.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，解不等式|2x—l|+|2x+l|W6.

解：法一：當(dāng)月時(shí)，原不等式轉(zhuǎn)化為4屆6仁〈后5；

當(dāng)一吳舄時(shí)，原不等式轉(zhuǎn)化為2W6,恒成立；

1Q1

當(dāng)水一5時(shí)，原不等式轉(zhuǎn)化為一4后6今一^WxV—］.

綜上知，原不等式的解集為［川一］.

11

-+-

法二：原不等式可化為2+-2W3,

其幾何意義為數(shù)軸上到今一：兩點(diǎn)的距離之和不超過3的點(diǎn)的集合，數(shù)形結(jié)合知，當(dāng)x

331133

=5或X=-5時(shí)，到5,一方兩點(diǎn)的距離之和恰好為3,故當(dāng)一^W啟5時(shí)，滿足題意，則原不

乙乙乙乙乙乙

等式的解集為卜一（wxw||.

3.（2015?山東高考改編）解不等式|x—1|—|x一5|〈2.

解：當(dāng)x〈l時(shí)，不等式可化為一（x—1）—（5—x）〈2,即一4<2,顯然成立，所以此時(shí)不

等式的解集為（一8,1）；

當(dāng)時(shí)，不等式可化為x—1—（5—x）<2,即2x—6〈2,解得*4,所以此時(shí)不等

式的解集為［1,4）；

當(dāng)x>5時(shí)，不等式可化為（x—1）—（工-5）<2,即4<2,顯然不成立.所以此時(shí)不等式無

解.

綜上，不等式的解集為（一8,4）.

［謹(jǐn)記通法］

1.求解絕對(duì)值不等式要注意兩點(diǎn)：

(1)要求的不等式的解集是各類情形的并集，利用零點(diǎn)分段法的操作程序是：找零點(diǎn)，

分區(qū)間，分段討論.

(2)對(duì)于解較復(fù)雜絕對(duì)值不等式，要恰當(dāng)運(yùn)用條件，簡(jiǎn)化分類討論，優(yōu)化解題過程.如

“題組練透”第1題要注意分類討論.

2.求解該類問題的關(guān)鍵是去絕對(duì)值符號(hào)，可以運(yùn)用零點(diǎn)分段法去絕對(duì)值，此外還常利

用絕對(duì)值的幾何意義求解.

考點(diǎn)二絕對(duì)值不等式的證明(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研)

［典例引領(lǐng)］

(2015?唐山三模)設(shè)不等式一2<|x—1|一|x+2|<0的解集為弘a,b^M.

111

-3-8<-

(1證明:364

(2)比較11—4a引與2|a—目的大小,并說明理由.

解：(1)證明：記f(x)=|x-1|一|矛+2|

3,x^z—2,

=<-2x-1,-2<jr<l,

、一3,

由一2<一2x—1<0,解得一

11

2-2-

111111111

司

引

所

以--w-+-y-X--X---

363632+-624

(2)由(1)得a'vj.今

因?yàn)?1—4a6「一4|a-b\2

=(1—8a6+16a%2)—4(a2—2aZ?+Z)2)

=(4a-l)(4ZJ2-1)>0,

所以11-4a引2>4|a-b\2,

故|l-4ab\>21a—b\.

［由題悟法］

證明絕對(duì)值不等式主要的3種方法

(1)利用絕對(duì)值的定義去掉絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為普通不等式再證明.

⑵利用三角不等式|㈤一㈤|W|a士引W|a|+|引進(jìn)行證明.

(3)轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行證明.

［即時(shí)應(yīng)用］

1

y-

已知x,y￡R,且|x+y|Wj,-4

求證：|x+5yWl.

證明：V|x+5y\=13(x+y)—2(x—y)\.

,由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，得

x+5y\=13(x+力—2(x—力<|3(矛+力|+|2(x—y)

=31x+y\+21x~y\W3X4+2X：=1.

o4

即|x+5y|Wl.

考點(diǎn)三絕對(duì)值不等式的綜合應(yīng)用(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研)

［典例引領(lǐng)］

(2016,大同調(diào)研)已知函數(shù)f{x)=12x—11+|jr—2a|.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求f(x)W3的解集;

⑵當(dāng)xd［1,2］時(shí)，F(xiàn)(x)W3恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：⑴當(dāng)a=l時(shí)，由/1(x)W3,可得12x—11+|x—2|W3,

?|wxV2,

②

、1—2x-\-2—2x—1+2—

卜22,

或1

[2x—1+x—2W3.

解①求得OWx<*解②求得2Wx<2；解③求得x=2.

綜上可得，0WW2,即不等式的解集為［0,2］.

⑵。當(dāng)xd［1,2］時(shí),F(x)W3恒成立，

即|x—2alW3—12x—11=4—2x,

故2x—4W2a—K4—2x,即3x-4W2a(4-x.

再根據(jù)3x—4的最大值為6—4=2,

4—x的最小值為4—2=2,

'.2a—2,a—1,

即a的取值范圍為{1}.

［由題悟法］

1.研究含有絕對(duì)值的函數(shù)問題時(shí)，根據(jù)絕對(duì)值的定義，分類討論去掉絕對(duì)值符號(hào)，將

原函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，然后利用數(shù)形結(jié)合解決問題，這是常用的思想方法.

2./1(x)Va恒成立

f(x)>a恒成立oy(x)min>a

［即時(shí)應(yīng)用］

(2015?重慶高考改編)若函數(shù)/1(入)=|矛+1|+2|矛一@|的最小值為5,求實(shí)數(shù)a的值.

解：當(dāng)a=-1時(shí)，f(x)=3|x+1120,不滿足題意；

—3x—1+2.3,xWa,

當(dāng)水一1時(shí)，f{x)=<x—\—2a,—1,

、3x+l—2a,x>-1,

F(A)min=fQ)=-3a-l+2a=5,

解得z=-6；

—3x—1+2<3,XW—1,

當(dāng)a>—1時(shí)，_f(x)=<—x+l+2a,

、3x+l-2&x>a,

F(^)min=f(a)=—a+l+2a=5,

解得a=4.

綜上所述，實(shí)數(shù)a的值為-6或4.

局0目gp福翳“基礎(chǔ)練、題型練、能力練，全練力保全能

1.(2016?福建四地六校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=|x-l|+|x+l|.

(1)求不等式Hx)23的解集；

(2)若關(guān)于才的不等式f{x)與a?—a在R上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

一1,x>l,3

解:⑴原不等式等價(jià)于>0或1解得后一萬(wàn)或x

〔2232x23

或x^~.

工不等式的解集為卜卜W一|或不三|\

(2)由題意得，關(guān)于x的不等式|x—11+|x+11三I一》在R上恒成立.

*.*IA-1I+Ix+11三I(才一1)—(x+1)I=2,

a—aW2,即才一a—2W0,解得一lWaW2.

?,?實(shí)數(shù)》的取值范圍是［—1,2］.

2.(2016?忻州模擬)已知12x—31的解集為［%，n\.

(1)求R十刀的值；

(2)若|x—a|〈勿，求證：|x|〈|a|+l.

解：(1)由不等式12x—31可化為一lW2x—3W1,

得1W在2,

??1,n~~2,m~\~n^~3.

⑵證明:若|才一臼<1,則|x|=|x—a+a|W|x—『+|a|<|屈+1.

3.設(shè)函數(shù)/1(x)=|x-l|+|x—2|.

(1)求證：f(x)21；

(2)若/tx)=分展成立，求x的取值范圍.

,+1

解：⑴證明:f(x)=|X—11+|x—2|>|(X—1)一(X—2)|=1.

a2

/9x..-+=a-+l+l

?\Ja2+l「a'+l="十號(hào)

當(dāng)且僅當(dāng)a=0時(shí)等號(hào)成立,

O2-|-9

,要使f{x}=/成立,只需|x—11+|x-2122,

W+l

水1,Jl〈x<2,x22,

1—x+2-x22或1x—1+2-x22

x—1+x—222,

i5

解得啟萬(wàn)或xN］，

15

u+

故x的取值范圍是|82-2-8

4.(2016?唐山一模)已知函數(shù)f{x}=\2x—a\+\x+l\.

⑴當(dāng)z=l時(shí)，解不等式Hx)〈3；

⑵若廣(x)的最小值為1,求z的值.

v―3x,—1,

—Q-1(Y^~~

解：(1)當(dāng)a=l時(shí)，f{x)=12x-11+I11=\'2'且f(l)=f(—1)

1

>

\2-

=3,

所以F(x)<3的解集為H-KX1}.

..<3,a,a

(2)|2x—a|+|x+l|=+|11+X--21+]+0=i+-

I-.a,

當(dāng)且僅當(dāng)(x+1)wo且x—5=o時(shí),取等號(hào).

所以1+楙=1,解得a=-4或0.

5.(2015?南寧二模)已知函數(shù)f{x)=|x—a\.

⑴若/U)W〃的解集為{引一1W忘5},求實(shí)數(shù)a,〃的值；

⑵當(dāng)a=2且OWtW2時(shí)，解關(guān)于x的不等式f^x)+%N_f(x+2).

解：(1):|x一H|W%，：?一m~\~a.

*.*—m~\~a=-1,/+a=5,

??3,--2,Hl--3.

(2)f{x)+方2f(x+2)可化為|x—21+「2|x\.

當(dāng)(—8,0)時(shí)，2—x+tN—x,2+力20,

???OWK2,n—8,o)；

當(dāng)[0,2)時(shí),2—x+t^x,后1+,0〈啟1+今

,?TW1+*2,???0WP+，

當(dāng)［2,+8)時(shí)，x—2+t^x,力22,當(dāng)0W方V2時(shí)，無解，當(dāng)力=2時(shí)，x^.［2,

+°°).

.?.當(dāng)0<t<2時(shí)原不等式的解集為(一8,1+1；

當(dāng)t=2時(shí)原不等式的解集為［2,+8).

6.(2015?全國(guó)卷I)已知函數(shù)/'(x)=|x+11-2|x—a|,a>0.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求不等式f(x)〉l的解集；

(2)若/<x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6,求a的取值范圍.

解：⑴當(dāng)a=l時(shí)，

f(x)>l化為|x+l|—2號(hào)一1|一1〉0.

當(dāng)屆一1時(shí)，不等式化為x—4>0,無解；

當(dāng)一1〈生〈1時(shí)，不等式化為3x-2>0,

2

解得可<x<l；

當(dāng)時(shí)，不等式化為一x+2>0,解得1WK2.

所以f(x)〉l的解集為

x—1—2a,-1,

(2)由題設(shè)可得f{x)=<3x+l—2a,

、一x+l+2a,x>a.

(2a-]、

所以函數(shù)Ax)的圖象與x軸圍成的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為《下一，0)夕(2a+l,0),

C(a,a+1),

9

則歐的面積為鼻9+1)2.

o

9

由題設(shè)得耳(a+l)z>6,故a>2.

所以a的取值范圍為(2,+8).

7.(2015?鄭州二檢)已知函數(shù)f[x)=|3x+2.

(1)解不等式-m；

(2)已知必+〃=1(必，/2>0),若|x—a|—『(x)W’+'(a>0)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

mn

解：(1)不等式f(x)<4—|x—11,即|3x+2|+|才一11<4.

2

當(dāng)時(shí)，即一3x—2—x+l<4,

52

解得一不/一=；

2

當(dāng)一IWxWl時(shí)，即3x+2—x+l〈4,

21

解得一

當(dāng)x>l時(shí)，即3x+2+x—1X4,無解.

綜上所述，x￡(—"I，|j.

(2)-+-=p-+~)(力+7?)=1+1+烏+2三4,

mn\jnn)mn

當(dāng)且僅當(dāng)/=〃=(時(shí)等號(hào)成立.

令g(x)=|x—a\—f{x)=|x—a\—\3x+2|=

r2

2x+2+a,x<—

<2

—4x~2+a,

u

<一2x—2—a,x>a.

29

，X=—§時(shí)，g(x)max=§+2要使不等式恒成立，

2io

只需g(x)max=§+W4,即0〈HW飛

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,y.

8.(2016,大慶模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=|2x—1—|x+4\.

(1)解不等式：rW>o；

(2)若/U)+3|x+412|a—11對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，求a的取值范圍.

解：(1)原不等式即為|2x—1|一|x+4|〉0,

當(dāng)—4時(shí)，不等式化為1—2x+x+4〉0,解得/5,

即不等式組::d?的解集是{RxW_4}.

〔|2x一1|一|葉4|>0

當(dāng)一時(shí)，不等式化為1—2才一才一4>0,

—4(

解得水一1,即不等式組'2，的解集是{⑹-4〈K-1}.

「2x一l|—|x+4|〉0

當(dāng)時(shí)，不等式化為2x—1—x—4〉0,解得x〉5,

」

即不等式組{~2'的解集是{引不>5}.

「2x-l|—|x+4|>0

綜上，原不等式的解集為{引水-1或王>5}.

(2)Vf{x)+3|x+41=12x—11+2|x+41=11—2x\+12x+8|三|(1-2x)+(2x+8)|

=9.

.,?由題意可知Ia—1|W9,解得一8WaW10,

故所求a的取值范圍是[—8,10].

第二節(jié)不等式的證明

占覆前0雙層JB^一想、辨一辨、試一試，全面打牢基礎(chǔ)

??卜必過教材關(guān)

1.基本不等式

定理1：如果a,6￡R,那么才十下三2助，當(dāng)且僅當(dāng)己=6時(shí)，等號(hào)成立.

定理2：如果a,b>0,那么號(hào)N而，當(dāng)且僅當(dāng)a=心時(shí),等號(hào)成立，即兩個(gè)正數(shù)的

算術(shù)平均不小于(即大于或等于)它們的幾何平均.

定理3：如果a,b,c?R+,那么當(dāng)且僅當(dāng)a=6=c時(shí),等號(hào)成立.

2.比較法

⑴比差法的依據(jù)是：a—6>0Qa>4步驟是:“作差>變形一判斷差的符號(hào)”.變形

是手段，變形的目的是判斷差的符號(hào).

A

(2)比商法：若B>0,欲證只需證

D

3.綜合法與分析法

(1)綜合法：一般地，從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列

的推理、論證而得出命題成立.

(2)分析法：從要證的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至所需條件為已知

條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)(定義，公理或已證明的定理，性質(zhì)等)，從而得出要證的命題成

立.

［小題體驗(yàn)］

1.設(shè)C=a+26,s=a+Z/+l,則s與力的大小關(guān)系是()

A.s-tB.s>t

C.sWtD.s<t

解析：選A26+1=(6—I)?》。，t.

2.若a>0">0,a+6=2,則下列不等式對(duì)一切滿足條件的a"恒成立的是(寫

出所有正確命題的序號(hào)).

①a6Wl；②/+的W*；(§)a+/}^2；

@a3+Z?3^3；@-+T^2.

ab

解析：令a=b=\,排除②④；

由2=a+622d標(biāo)0a6Wl,命題①正確；

a~+Z/=(a+Z?)"—2ab=4—2ab22,命題③正確；

!+)=0=三三2,命題⑤正確.

ababab

答案：①③⑤

必過易錯(cuò)關(guān)

1.在使用作商比較法時(shí)易忽視說明分母的符號(hào).

2.在用綜合法證明不等式時(shí)，不等式的性質(zhì)和基本不等式是最常用的.在運(yùn)用這些性

質(zhì)時(shí)，易忽視性質(zhì)成立的前提條件.

［小題糾偏］

a+b

1.已知a〉0,楊0,則(ab-（填大小關(guān)系）.

/\a-b

???當(dāng)z=6時(shí)，&J2=1,

當(dāng)3>5〉0時(shí)，-1>1,3~>0,

當(dāng)力a〉0時(shí)，Q爭(zhēng),三差＜0,

z\a-b

呢卜〉1,

a+b

abb^（a物2.

答案：2

2.已知a,b,。是正實(shí)數(shù)，且a+6+c=l,則%的最小值為

解析：把a(bǔ)+6+kl代入［［+加

a+6+ca+6+ca+6+c

abc

(ba(c.b

=3+匕+%+b+c+]+]

23+2+2+2=9,

當(dāng)且僅當(dāng)a=Z?=c=（時(shí)，等號(hào)成立.

答案：9

因。身點(diǎn)奧除自主研'合作探工多面觀，全日命題題點(diǎn)

考點(diǎn)一比較法證明不等式基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)一自主練透

［題組練透］

1.（2016?莆田模擬）設(shè)a,6是非負(fù)實(shí)數(shù),

求證：a+f}^y[ab（a+ti）.

證明：因?yàn)閐+爐一迎Q+6）

=（才一m/勖+（層一人

=（丘一也）+b\[b（y[b—yja）

=（十一也）（八偈―

1J、/33、

=（z巧—與）（西一與）,

因?yàn)閍NO,b>0,所以不論心Z?20,還是都有g(shù)—苗與成一苗同號(hào)，所

1133

以（無一與）（為一與）NO,

所以a+fj^y[ab（a+ti）.

2,已知己=與2,6=與苫，試比較a,占大小.

In2In3

解:>0,>0,

23

b21n3

—Iogs9>l.

a31n2

b>a.

[謹(jǐn)記通法]

作差比較法證明不等式的步驟

（1）作差；（2）變形；（3）判斷差的符號(hào)；（4）下結(jié)論.其中“變形”是關(guān)鍵，通常將差變

形成因式連乘積的形式或平方和的形式，再結(jié)合不等式的性質(zhì)判斷出差的正負(fù).

考點(diǎn)二綜合法證明不等式（重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研）

[典例引領(lǐng)]

設(shè)a,b,。均為正數(shù)，且a+5+c=l,證明：

⑴ab+bc+ac^：—；

?j

2/22

/、a,b、c、

(2)-+-+-^l.

bca

證明：(1)由才+9三2助，ID-\~c^2bc,c-\-a^2ca,得才+62+/2。6+/0+皈.

由題設(shè)得(a+b+c)2=1,即才+/+2己6+2/0+2西=1,所以3(aS+6c+ca)=1,

即ab-\-bc+

o

W片°2

⑵因?yàn)樘?hào)+Z?22a,—+c?

bca

2/22

故3+—+邑+(a+6+c)22(a+6+c),

bca

2/22

即*+—+邑三a+b+C.

bca

2722

所以3+—+邑》1.

bca

［由題悟法］

1.綜合法證明不等式的方法

綜合法證明不等式，要著力分析已知與求證之間，不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)

系.合理進(jìn)行轉(zhuǎn)換，恰當(dāng)選擇已知不等式，這是證明的關(guān)鍵.

2.綜合法證明時(shí)常用的不等式

⑴a?20.

(2)\a\20.

(3)a?+6222aA它的變形形式有：

a2+Z)2^2|ab\；2a6；(a+Z?)2^4a6；

a?W(a+M"418”

(4)8^三4凝，它的變形形式有：

,1/、a、b、/、

a+/2(a>0)；//2(aM)；

aA

/六-2(aZK0).

［即時(shí)應(yīng)用］

已知a,b,c>0且互不相等，a6c=l.試證明：\[a+\[b+\l^<-+^+~.

abc

證明：因?yàn)?b,c>0,且互不相等，abc=1,

*-+--+7

bcaca.b

<~+2+-2

即5+5+&<)+3+3.

考點(diǎn)三分析法證明不等式(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)一師生共研)

［典例引領(lǐng)］

（2016?沈陽(yáng)模擬）設(shè)a,b,c>0,且仍+6c+ca=l.求證:

(1)a+6+c2

⑵田+/+pg+幣+m

證明：(1)要證a+6+c>/，

由于a,b,c>0,

因此只需證明(8+力+。)223.

即證：a+/j+c+2(aZ?+Z?c+ca)^3,

而ab+bc+ca=1,

故只需證明：aID+c+2{ab~\-bc-\~ca)23(a6+A+ca).

即證：aIJcab~\~bc~\~ca,

而這可以由+當(dāng)且僅當(dāng)a=6=c時(shí)等號(hào)

成立）證得.

所以原不等式成立.

c__d+6+c

⑵上+

f-+acab7abe

在⑴中已證a+6+c2木.

因此要證原不等式成立，

只需證明「廣三y[a+y[b+y[c,

7abe

即證a\jTc+b\[~ac+c\[ab^：1,

即證a\[bc+b\[ac+c^~ab^：ab~\~bc~\~ca.

而a\[瓦=yjab?acw"，。,

I-ab+bci—bc+ac

b\jacW---，c\]abW—~—.

所以a\[bc+b\[ac-\-c\[ab^：ab~\~bc~\~ca

（當(dāng)且僅當(dāng)〃=仁。=當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）.

O

所以原不等式成立.

［由題悟法］

1.用分析法證“若/則6”這個(gè)命題的模式

為了證明命題方為真，

只需證明命題臺(tái)為真，從而有…

只需證明命題8為真，從而有…

只需證明命題Z為真，而已知Z為真，故6必真.

2.分析法的應(yīng)用

當(dāng)所證明的不等式不能使用比較法，且和重要不等式、基本不等式?jīng)]有直接聯(lián)系，較難

發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時(shí)，可用分析法來尋找證明途徑，使用分析法證明的關(guān)鍵是推理

的每一步必須可逆.

[即時(shí)應(yīng)用]

已知且a+6+c=0,求證：y/爐一ac〈y[^a

證明：要證^^一@€</8只需證層一8*3/

Va~\~b~\-c=Of只需證52+3(3+Z?)<3才，

只需證2a—ab—/}>0,

只需證(a—6)(2a+6)>0,

只需證(a—6)(H—c)>0.

Va>b>c,a—6>Q,a~c>Q.

，(a—6)(a—c)>0顯然成立，

故原不等式成立.

局。居畬器品基礎(chǔ)練、題型練、能力練，全練力保全能

1.設(shè)不等式|2x—1|V1的解集為〃

(1)求集合〃

(2)若&b^M,試比較助+1與a+5的大小.

解：⑴由|2才一1|VI得一1V2X—1V1,解得OVxVL

所以4{xIOVxVl}.

⑵由⑴和口阮〃可知OVaVl,OV6Vl,

所以(H6+1)—(a+/)=(a—1)(Z?—1)>0.

故ab~\-1>H+b.

2.已知a>0,Z?>0,2c>a+b,求證：

c—4c—abVa<c+yjc-ab.

證明：要證：c—yjc~ab<a<c+yjc—ab,

只需證：c-ab<a—c<y]c-ab,

只需證：\a-c\<yjc-ab,

只需證：(a-c)2<ic—ab,

只需證：a2+c2-2ac<c—ab,艮|3證：2ac'>aab.

因?yàn)?>0,所以只需證2c>a+6,由題設(shè)，上式顯然成立.

故c—c—ab<a<c+yjc—ab.

3.(2015?湖南高考)設(shè)a>0,6>0,且H+力證明：

ab

⑴a+后2；

(2)才+水2與層+伙2不可能同時(shí)成立.

11己+b

證明：由a+b=-+~7=——,a>0,b>0,

abab

得ab=L

⑴由基本不等式及ab=l,

有a+b^2y[ab=2f

即a+622.

(2)假設(shè)才+水2與ID+ZK2同時(shí)成立，

則由才+水2及於0,得0〈水1；

同理，0<ZKl,從而3伙1,

這與ab=l矛盾.

故才+水2與方+伙2不可能同時(shí)成立.

4.(2015?長(zhǎng)春三模)(1)已知必b都是正數(shù)，且aNb,求證：a+l}>ab+al),

2z2Ij22I22

(2)已知a,b,。都是正數(shù)，求證：-一//,Ca~^abc.

a-vb-vc

證明：(1)(a3+Z?3)—(a2b+aB)=(a+6)Q—6)；

因?yàn)閍,Z?都是正數(shù)，所以a+5>0.

又因?yàn)樗?a—S)2>0.

于是(a+6)(a—6)2>0,即(a3+Z?3)—{ab+aB)>0,

所以aab-\~alj.

(2)因?yàn)椤?/226aa>0,

所以才(N+d)^2abe.①

同理ID(a+c)N2a9c.②

/(才十斤)22abc.(3)

①②③相力口得2(IB+Z?2c+ca)22才6c+2a4c+2abg,

從而aIJ+Z?2c2+c才N〃5c(a+8+c).

由a,b,。都是正數(shù)，得a+5+c>0,

a2b72-\I-bi2c2-rIc2a2

因此ZT7T-----------與abc.

-----a--rb-\-c

11

且

-十--

5.右a>0,6>0,36

⑴求3+方3的最小值；

(2)是否存在a,b,使得2a+36=6?并說明理由.

得ab，2,且當(dāng)己=6=隹時(shí)等號(hào)成立.

故出+~22,/戌24/,且當(dāng)女=6=筐時(shí)等號(hào)成立.

所以/+方3的最小值為4班.

(2)由(1)知，2a+36N2小詼24瓶

由于4鎘〉6,從而不存在a,b,使得2a+36=6.

6.(2016-吉林實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=|x—a].

(1)當(dāng)a=2時(shí)，解不等式f(x)>4—|x—1|；

(2)若F(x)的解集為[0,2],(勿>0,/7>0),求證：/+2〃24.

m277

解：(1)當(dāng)3=2時(shí)，不等式為|x—2|+|x—1|24,

7

①當(dāng)x22時(shí)，不等式可化為x—2+x—1三4,解得x2]；

17_

②當(dāng)時(shí)，不等式可化為2—x+x—124,

不等式的解集為。；

③當(dāng)時(shí)，不等式可化為2—x+1-x24,

解得啟—1.

綜上可得，不等式的解集為(-8,-1J+8).

(2)證明：即|x—a|Wl,

解得43—1W后a+1,而F(x)W1的解集是[0,2],

[5—1=0,

?*-1I解得a=l,

12,

所以一+；=1(%>0,77>0),

mIn

所以m+2n=(勿+2〃)(1++

當(dāng)且僅當(dāng)/=2,〃=1時(shí)取等號(hào).

7.(2015?全國(guó)卷H)設(shè)a,b,c,d均為正數(shù)，且a+5=c+d證明:

⑴若ab>cd,則

(2)y[a+y[b>y[c+y[d^\a-b\<\c-d\的充要條件.

2

證明：⑴因?yàn)?y[a+y[i)=a+b+2y[abf

(yfc-\-y[c/)2=c+d+2yl~cd,

由題設(shè)a+b=c+d,ab>cd,

得(y[a+y[i)2>(y[c+y[d)2.

因^匕出+/>/

(2)①必要性：若|a—引〈性一d|,

則(a—6)2<(C一初2,

即(H+Z?)2—4a伙(。+初2—4cd

因?yàn)閍-\-b=c+d,所以由cd.

由(1),得F+5>加+,

②充分性：若,+，z>/+yz

貝|J(/+5)2>(y[c+y[d)\

即a+b-\-2yl~ab>c+d-\-2yf~cd.

因?yàn)閍+b=c+d,所以aB>cd.

于是(a-6)2=(a+b)2—4aZK(c+#2-4c4(c—d)2.

因此Ia-b\<|c-d\.

綜上，,+，%>/+/%是|a—引V|c—d|的充要條件.

8.已知x,*R,且|x|<L|y|〈l.

4T1?1、2

求證：2I2三.

1—x1—yxy

證明：法一：(分析法)??,|x|〈l,)|〈1,

.11

??2^0,-2>0，

1—x1—y

71.I12

Lx?1一廣?~1—d1-y

故要證明結(jié)論成立，

99

只要證明2?2耳——成立.

yj1~xl-y1一盯

即證1—xy》y]一\—x1—y一成立即可.

,/（-有一2盯2-/一/,

.,?（1一孫產(chǎn)三（1—X）（1—/）,

1—xy，yj~l~x1—y—>0.

???不等式成立.

法二：（綜合法）???]2]

l~x2+1—2y

2

l~x1—y1—Ixy\—xy

原不等式成立.

提升考能、階段驗(yàn)收專練卷（一）

集合與常用邏輯用語(yǔ)、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

（時(shí)間:70分鐘滿分：104分）

I.小題提速練（限時(shí)45分鐘）

（-）選擇題（本大題共12小題，每小題5分）

1.命題“三為G[RQ,窟GQ”的否定是（）

A.3"eQB.E）荀e[nQ,於隹Q

C.V超[RQ,X'CQD.Vxe^Q,Y莊Q

解析：選D根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題知D正確.

2.（2015?安徽高考）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是（）

A.y=lnxB.y=/+l

C.y=sinxD.y=cosx

解析：選DA是非奇非偶函數(shù)，故排除；B是偶函數(shù)，但沒有零點(diǎn)，故排除；C是奇函

數(shù)，故排除；y=cosx是偶函數(shù)，且有無數(shù)個(gè)零點(diǎn).

3.（2015?南昌一模）若集合/={x|lW3'W81},B={x\log2V-x>1},則4n6

=()

A.(2,4]B.[2,4]

C.(一8,o)U(0,4]D.(—8,-1)u[0,4]

解析：選A因?yàn)?={x|lW3W81}

={x|3飛3飛3，}={x|0W啟4},

B={x\log2x—x>1}={^r|x-x>2\

={x\x<—1或x>2},

所以ACB={x\0W啟4}Ci{x|水一1或x>2}={x\2V啟4}=(2,4].

4.(2016?南寧測(cè)試)設(shè)拋物線G尸系與直線上尸1圍成的封閉圖形為R則圖形

〃的面積S等于()

1

A艮

3-

24

--

3D.3

解析：選D由得x=±l.如圖，由對(duì)稱性可知，5=2^1XI-Jydx

5.(2016?南昌二中模擬)下列說法正確的是()

A.命題“若f=l,則x=l”的否命題為：“若1=1,則步1"

B.已知尸f(x)是R上的可導(dǎo)函數(shù)，則(xo)=0"中"劉是函數(shù)尸f(x)的極值點(diǎn)”

的必要不充分條件

C.命題“存在劉eR,使得/+為+1<0”的否定是：“對(duì)任意xGR,均有x1〈0”

D.命題“角。的終邊在第一象限，則