高職數(shù)學(xué)課件 2.1 導(dǎo)數(shù)的概念

高職實(shí)用數(shù)學(xué)第2章導(dǎo)數(shù)與微分2.1.1導(dǎo)數(shù)概念的引例2.1.2導(dǎo)數(shù)的定義2.1.3用定義求導(dǎo)數(shù)舉例2.1.4導(dǎo)數(shù)的基本公式2.1.5導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用2.1.6函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系2.1導(dǎo)數(shù)的概念得到在時(shí)刻引例1．變速直線運(yùn)動(dòng)的速度勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，

設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為，物體從到時(shí)間段經(jīng)過(guò)的路程為，即，2.1導(dǎo)數(shù)的概念---平均速度：

令

的瞬時(shí)速度：2.1.1導(dǎo)數(shù)概念的引例播放例2

平面曲線的切線斜率

割線的極限位置切線？當(dāng)增量時(shí)，N點(diǎn)沿著曲線向點(diǎn)M靠近，割線MN也向所求的切線MT靠近，于是割線MN的斜率向所求的切線MT的斜率靠近．于是，令，就得到切線的斜率:引例3．產(chǎn)品總成本的變化率設(shè)總成本C是產(chǎn)量q的函數(shù)，即．當(dāng)產(chǎn)量由變到時(shí)，總成本相應(yīng)的改變量為，則總成本的平均變化率為．當(dāng)時(shí)，如果存在，則稱此極限是總成本變化率，又稱邊際成本．存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記為定義1

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在點(diǎn)處取得增量時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)取得增量，如果極限2.1.2導(dǎo)數(shù)的定義１．導(dǎo)數(shù)值與導(dǎo)函數(shù)或

(1)其它形式:即(2)如果(1)式極限不存在，則稱

f(x)在x0

處不可導(dǎo).

如果函數(shù)在某一個(gè)開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)每一點(diǎn)處都可導(dǎo)，就稱在區(qū)間(

a，b)內(nèi)可導(dǎo)．這時(shí)，對(duì)于(a，b)內(nèi)每一個(gè)確定的x的值，都對(duì)應(yīng)著的一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值，這樣就構(gòu)成了x

的一個(gè)新的函數(shù)，稱為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，記為或

即(3)

右導(dǎo)數(shù):左導(dǎo)數(shù):定義2

定理

函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在且相等.即

2．左、右導(dǎo)數(shù)用定義求導(dǎo)數(shù)其步驟可分為：

2.1.3用定義求導(dǎo)數(shù)舉例例1

設(shè)C為常數(shù)，求：即解(1)求增量：

(2)算比值：

(3)取極限：例2設(shè)

n為正整數(shù)，證明：

解(1)求增量：

(2)算比值：

(3)取極限：即由公式得到冪函數(shù)導(dǎo)數(shù),例如注：n為負(fù)數(shù)公式也成立.求即例

4

求f(x)=sinx

的導(dǎo)函數(shù)

.解即(sinx)

=cos

x.(cos

x)

=-sinx.類似可得2.1.4導(dǎo)數(shù)的基本公式證明公式（5）例

5

求

的導(dǎo)函數(shù).解即令a=e，得例4解(1)由導(dǎo)數(shù)公式(2),有求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(2)由導(dǎo)數(shù)公式(3),有切線方程:法線方程:2.1.4導(dǎo)數(shù)概念的幾何意義解因,由導(dǎo)數(shù)幾何意義,曲線在點(diǎn)的切線與法線的斜率分別為

切線方程為，即．法線方程為，即．

例8

求曲線在點(diǎn)處的切線和法線方程.三、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系證

定理2

如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則在點(diǎn)處連續(xù)．例5

證明在x=0處連續(xù)但不可導(dǎo).證

因?yàn)樗栽趚=0連續(xù)。而即函數(shù)在x=0處左右導(dǎo)數(shù)不相等,從而在x=0不可導(dǎo).當(dāng)

時(shí)，當(dāng)

時(shí)，

函數(shù)在x=0處連續(xù)但不可導(dǎo)的例子.由此可見(jiàn)，函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)的必要條件，但不是充分條件即可導(dǎo)必定連續(xù),連續(xù)不一定可導(dǎo).1.導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì):增量比的極限;3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:切線的斜率;5.函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù),但連續(xù)不一定可導(dǎo)。4.求導(dǎo)數(shù)最基本的方法:由定義求導(dǎo)數(shù);

四、小結(jié)例2

平面曲線的切線斜率

切線？割線的極限位置播放例2

平面曲線的切線斜率

切線？割線的極限位置播放例2

平面曲線的切線斜率

切線？割線的極限位置播放例2

平面曲線的切線斜率切線？割線的極限位置播放例2

平面曲線的切線斜率切線？割線的極限位置播放例2

平面曲線的切線斜率切線？割線的極限位