高職數(shù)學(xué)課件 8.7-8.9 矩陣的秩與線性方程組的解

18.7-8.9矩陣的秩與線性方程組的解2主要內(nèi)容：1.矩陣的秩2.一般線性方程組的解3.矩陣的秩及其求法

一般線性方程組3

矩陣的秩是矩陣的重要特性之一，它在線性方程組解的討論中起著關(guān)鍵的作用.定義：矩陣A的階梯形矩陣所含非零行的行數(shù)稱為矩陣A的秩，記為r（A）．根據(jù)這個定義，可以得出求矩陣A的秩的一般步驟：(1)用矩陣的初等行變換把A化為階梯形矩陣；(2)數(shù)一下階梯形矩陣中有多少個非零行一、矩陣的秩456所以r（A）=3．789所以r（B）=3．10

一般的線性方程組，它的未知數(shù)個數(shù)與方程的個數(shù)可以相等也可以不相等．對于n個未知數(shù)n個方程的線性方程組，當(dāng)它的系數(shù)行列式不為零時，可以有以下三種求解方法：⑴克萊姆法則；⑵逆矩陣；⑶矩陣法．其中矩陣法還能用來求解未知數(shù)個數(shù)與方程個數(shù)不相等的線性方程組．本節(jié)將運用矩陣法來討論一般的線性方程組的解．先考察先面的兩個例子．例3

討論線性方程組

二、一般線性方程組的解111213①14最后一個矩陣對應(yīng)于方程組：因此有

由于當(dāng)x3和x4分別任意取定一個值時，都可得到方程組的一組解，因此該方程組有無窮多組解．151617最后一個矩陣對應(yīng)于方程組：其中第三個方程0=3是不可能成立的．因而方程組無解．②18

從以上兩個例子最后得到的兩個矩陣①和②來看，它們的左上角都是一個單位矩陣，以下各行中除去最后一列可能有非零元素（如矩陣②）外，其余元素均為零．一個含有n個未知數(shù)的m個方程的線性方程組它的增廣矩陣③192021這時，對應(yīng)的方程組為22其中x3與x4的值可以任取，令x3=c1，x4=c2，則方程組的解為其中c1與

c2為任意常數(shù)．23

在線性方程組③中，若b1=b2=…=bm=0，則方程組③稱為齊次線性方程組．在齊次線性方程組三、齊次線性方程組24中，顯然它的增廣矩陣的秩與系數(shù)矩陣的秩是相等的．因此根據(jù)定理1可知，齊次線性方程組總是有解的．根據(jù)定理2，可以得到以下定理：定理3

設(shè)齊次線性方程組⑥的系數(shù)矩陣A的秩R（A）=r．⑴若r=n，則方程組⑥只有零解；⑵若r<n，則方程組⑥有無窮多組非零解．對于n個未知數(shù)，n個方程的齊次線性方程組，還可由定理3推得以下的定理：25定理4齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是它的系數(shù)行列式|A|=0．26解計算系數(shù)行列式：所以方程組只有唯一的一組零解，即x=y=z=027解計算系數(shù)行列式：

所以方程組有無窮多組解．為此寫出它的增廣矩陣，并作行初等變換如下：28293031這時，對應(yīng)的方程組為設(shè)z=c，則方程組的解為32

線性方程組的類型按方程個數(shù)與未知量個數(shù)來分，有相同與不相同兩種，按常數(shù)項是否全為零來分，又有齊次和非齊次兩種，因而線性方程組共有四種形式．無論哪種形式的線性方程組，它是否有解，有多少解，都可以根據(jù)其系數(shù)矩陣的秩、增廣矩陣的秩、未知量的個數(shù)這三個量的關(guān)系來判別．其結(jié)果如下：作業(yè)