基本不等式教案及教案說(shuō)明

課題：基本不等式（第一課時(shí)）授課人：李新平教材：人教A版必修五第三章第四節(jié)1.教學(xué)目標(biāo)（1）知識(shí)目標(biāo)：了解基本不等式的代數(shù)、幾何背景及基本不等式的證明及應(yīng)用，并掌握定理中的不等號(hào)“≥”取等號(hào)的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等；（2）能力目標(biāo)：初步了解用分析法證明不等式，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題能力和邏輯思維能力.幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，形成積極探究的態(tài)度，逐步養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度及良好的思維習(xí)慣；（3）情感目標(biāo)：通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和熱情，并增強(qiáng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)主義熱情.2.教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)重點(diǎn)：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式的證明；難點(diǎn)：基本不等式的應(yīng)用，輪換對(duì)稱不等式的證明.3.教學(xué)方法與手段（1）教學(xué)方法：獨(dú)立探究，合作交流與教師引導(dǎo)相結(jié)合（2）教學(xué)手段：手工制作、多媒體課件4.教學(xué)過(guò)程教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖課前準(zhǔn)備1.復(fù)習(xí)———射影定理中，，則則已知，，則CCBADba2.收集了解《國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)和菲爾茨獎(jiǎng)》和趙爽弦圖知識(shí)3.動(dòng)手制作第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)學(xué)生自主完成講學(xué)稿填空和搜集本節(jié)課相關(guān)資料，并用卡紙制作第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)復(fù)習(xí)舊知識(shí)，為學(xué)習(xí)新知做好準(zhǔn)備；通過(guò)課外知識(shí)閱讀，引起學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛(ài)和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；在制作會(huì)標(biāo)過(guò)程中讓學(xué)生直觀感受圖形構(gòu)造和圖形中的相等關(guān)系和不等關(guān)系，為本節(jié)課導(dǎo)入做好準(zhǔn)備．課題導(dǎo)入課題導(dǎo)入【探究】圖形中的相等和不等關(guān)系將圖中的“風(fēng)車”抽象成如圖，在正方形ABCD中有4個(gè)全等的直角三角形.設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為a,b,那么正方形的邊長(zhǎng)為.這樣，4個(gè)直角三角形的面積的和是，正方形的面積為.由于4個(gè)直角三角形的面積小于正方形的面積，我們就得到了一個(gè)不等式：，即.當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即a=b時(shí)，正方形EFGH縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有，即.教師收集各小組制作的會(huì)標(biāo)，讓制作精美的小組介紹制作經(jīng)驗(yàn)；（你剪裁了哪些圖形構(gòu)造會(huì)標(biāo)？探討風(fēng)車中的相等關(guān)系和不等關(guān)系.）教師投影會(huì)標(biāo)圖形，學(xué)生小組討論，并填寫(xiě)講學(xué)稿通過(guò)引導(dǎo)性語(yǔ)言，激發(fā)學(xué)生的探索精神，利用相關(guān)面積存在的數(shù)量關(guān)系，抽象猜想一系列的相等和不相等關(guān)系，同時(shí)滲透愛(ài)國(guó)主義教育，激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的民族自豪感．新課學(xué)習(xí)一、重要不等式1.得到結(jié)論：重要不等式：一般的，如果那么有(當(dāng)且僅當(dāng)號(hào))2.證明結(jié)論證師生對(duì)探究進(jìn)行歸納總結(jié)教師提出問(wèn)題，學(xué)生思考并給出證明.從數(shù)學(xué)的邏輯推理方面給出證明，從代數(shù)角度加強(qiáng)學(xué)生對(duì)重要不等式的感知和理解，并培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度并從中初步了解分析法證明的過(guò)程.新課學(xué)習(xí)新課學(xué)習(xí)二、基本不等式【探究1】通過(guò)換元法得到基本不等式因?yàn)?特別的，如果,我們用分別代替，可得.通常我們把上式寫(xiě)作：.【探究2】根據(jù)不等式的性質(zhì)推導(dǎo)基本不等式用分析法證明：要證（1）只要證（2）要證（2），只要證（3）要證（3），只要證（4）顯然，（4）是成立的。當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，（4）中的等號(hào)成立.注：證明不等式的基本方法———分析法分析法是從被證不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的條件，把證明這個(gè)不等式轉(zhuǎn)化為判定這些條件是否具備的問(wèn)題，如果能夠肯定這些條件具備，那么可以判定原不等式成立.【探究3】理解基本不等式的幾何意義在右圖中，是圓的直徑，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，，.過(guò)點(diǎn)作垂直于的弦，連接,.你能利用這個(gè)圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎？【剖析公式】(1)在數(shù)學(xué)中，我們稱為的算術(shù)平均數(shù)，稱為的幾何平均數(shù).本節(jié)定理還可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).(2)如果把看作是正數(shù)的等差中項(xiàng)，看作是正數(shù)的等比中項(xiàng)，那么該定理可以敘述為：兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng).(3)變形式：①；②.（1）學(xué)生黑板板書(shū)用換元法得到基本不等式；（2）根據(jù)不等式性質(zhì)推導(dǎo)基本不等式，學(xué)生完成填空,教師投影；（3）教師根據(jù)證明過(guò)程，介紹證明不等式的基本方法———分析法，引導(dǎo)學(xué)生歸納分析法證明的步驟.（4）教師引導(dǎo)學(xué)生探索圖形中各線段之間的關(guān)系.學(xué)生由射影定理得到.由圖形得到小于或等于圓的半徑，即當(dāng)為圓直徑也就是時(shí)等號(hào)成立.由此學(xué)生歸納得到基本不等式的幾何解釋：半弦不大于半徑(5)教師剖析公式.（1）由重要不等式通過(guò)代換得到基本不等式，利用已有的知識(shí)，獲取新知識(shí)，注意強(qiáng)調(diào)的范圍；（2）初步了解分析法證明不等式的一般步驟和思路，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)態(tài)度和分析問(wèn)題的一般方法．（3）引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度（數(shù)形）理解不等式的實(shí)質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生一題多解的意識(shí)．（4）深入探究、揭示知識(shí)本質(zhì)，加深學(xué)生對(duì)重要不等式和基本不等式的認(rèn)識(shí)和理解；培養(yǎng)學(xué)生對(duì)比的數(shù)學(xué)思想，多方面思考問(wèn)題的能力．例題講解【例1】已知都是正數(shù)，（1）求證(2)求證（3）【課堂練習(xí)】（1）已知都是正實(shí)數(shù)，求證（2）下列函數(shù)中，最小值為的是.①；②③；④注：都是正數(shù)；積（或和）為定值；和必須能相等.【例2】已知，求證：【課堂練習(xí)】（3）已知，求證：（1）教師點(diǎn)撥，學(xué)生完成.運(yùn)用定理，加深學(xué)生對(duì)基本不等式實(shí)質(zhì)：“正”、“定”、“等”的理解.教師引導(dǎo)學(xué)生熟悉例2中輪換對(duì)稱的不等式的結(jié)構(gòu)特征，要求學(xué)生掌握此類不等式的證明方法.（2）學(xué)生獨(dú)立完成課堂練習(xí)，對(duì)學(xué)生存在的問(wèn)題教師板書(shū)展示、點(diǎn)評(píng).（1）通過(guò)例題熟悉基本不等式，初步學(xué)會(huì)它的一些應(yīng)用.強(qiáng)調(diào)基本不等式使用的條件和等號(hào)成立的條件.（2）讓學(xué)生熟悉例2中輪換對(duì)稱不等式的結(jié)構(gòu)特征，掌握此類不等式的證明方法.及時(shí)對(duì)解題方法和規(guī)律進(jìn)行概括，有利于學(xué)生思維能力的提升．（3）練習(xí)是例題的變式訓(xùn)練，使學(xué)生鞏固基本不等式，讓學(xué)生熟悉公式，并學(xué)會(huì)應(yīng)用.課堂小結(jié)1.由學(xué)生理清本節(jié)學(xué)到的哪些知識(shí)方法？有哪些收獲？存在哪些不足？2.強(qiáng)調(diào)本節(jié)課學(xué)習(xí)的兩個(gè)不等式成立的條件不同，及它們等號(hào)成立的條件.3.掌握輪換對(duì)等的不等式的證明方法，反思利用基本不等式解題.師生總結(jié)結(jié)論，強(qiáng)化認(rèn)識(shí)．知識(shí)的小結(jié)，將知識(shí)轉(zhuǎn)化為學(xué)生的素質(zhì)，思想方法的小結(jié)，逐步培養(yǎng)學(xué)生思維方式和個(gè)性品質(zhì).作業(yè)布置自我測(cè)試題學(xué)生獨(dú)立完成，教師批閱、點(diǎn)評(píng).在掌握基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生有所提高.為第二課時(shí)的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備.《基本不等式》教案說(shuō)明新豐一中李新平本節(jié)課是高中數(shù)學(xué)中基本不等式的第一課時(shí)，主要揭示相關(guān)知識(shí)的形成過(guò)程.考慮到學(xué)生的基礎(chǔ)比較差，本課程在設(shè)計(jì)上，一方面通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)與生活和周圍世界密切聯(lián)系，從數(shù)形結(jié)合角度，制作了形象生動(dòng)的課件，化抽象為具體，化難為易，消除學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的畏難情緒；另一方面，采用學(xué)生參與程度高的學(xué)導(dǎo)式討論教學(xué)法，以老師啟發(fā)為基礎(chǔ)，穿插師生交談法、問(wèn)答式、討論法等方法，引導(dǎo)學(xué)生參與討論，以加深學(xué)生對(duì)不等式的認(rèn)識(shí)和理解，并盡可能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動(dòng)性.本節(jié)課分6個(gè)環(huán)節(jié)：1．課前準(zhǔn)備環(huán)節(jié)，讓學(xué)生搜集課外知識(shí)并制作第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和熱情；2．課題導(dǎo)入環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、發(fā)現(xiàn)，得出重要不等式并證明結(jié)論；3．新課學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，注重知識(shí)的形成過(guò)程，數(shù)形結(jié)