博弈論與信息經(jīng)濟學04

第四章：不完全信息動態(tài)博弈主要內(nèi)容：一、精煉貝葉斯納什均衡二、信號傳遞博弈三、不完全信息重復博弈與聲譽成語故事：黔驢技窮-驢虎博弈開始老虎將驢當作神奇的東西，后來老虎漸漸地接近它；一天，驢子一聲長鳴，老虎非常害怕，遠遠地逃走，認為驢子將要咬自己，非常恐懼。然而老虎來來往往地觀察它，覺得驢子好像沒有什么特殊的本領似的，但老虎始終不敢和驢子搏擊。慢慢地，老虎又靠近了驢子，態(tài)度更為隨便，碰擦倚靠、沖撞冒犯它。驢非常憤怒，用蹄子踢老虎。老虎因此而欣喜，心想驢子的本領只不過如此，于是咬斷驢的喉嚨，吃完了它的肉。一、基本思路盡管老虎對毛驢有一個初始的評價和判斷，但是，初始評價和判斷在后來不斷發(fā)生變化；老虎通過不斷試探來修正對毛驢的看法，每一步行動都是給定它的信念下最優(yōu)的，毛驢也是如此。最終老虎將毛驢吃掉。簡單的情形：老虎對毛驢的評價與判斷得以修正，是與毛驢的行動有關；復雜的情形：如果行動不能反映參與人的真實類型，怎么辦？參與人：在位者，進入者；動態(tài)博弈情形下，包含兩個階段：T=1和T=2；類型：在位者有兩種類型，高成本或低成本，進入者在博弈開始時只知道在位者高成本的概率是x，低成本概率是1-x。T=1時，市場上只有一個壟斷企業(yè)——在位者，一個潛在進入者考慮是否進入；如果進入者進入，兩個企業(yè)進行古諾博弈。市場進入博弈對于在位者：

價格P=4P=5P=6

在位者高成本時的利潤267

在位者低成本時的利潤698進入者只有一種類型：進入成本為2。如果進入，生產(chǎn)成本函數(shù)與在位者高成本函數(shù)相同。在T=2階段，如果進入者已進入，在位者成本函數(shù)為共同知識；若在位者為高成本，企業(yè)成本函數(shù)相同，對稱的古諾均衡產(chǎn)量下的價格p=5，每個企業(yè)的利潤為3，扣除進入成本2，進入者利潤為1；若在位者為低成本，兩個企業(yè)成本函數(shù)不同，非對稱古諾均衡產(chǎn)量下的價格p=4,在位者利潤是5，進入者成本為1，扣除進入成本2，其利潤為-1。如果進入者不進入，在T=2階段，在位者仍然是一個壟斷者，不同價格選擇下的利潤水平仍與第一階段相同。

價格P=4P=5P=6

在位者高成本時的利潤267

在位者低成本時的利潤698

進入者進入在位者進入者

在位者高成本p=531

在位者低成本p=45-1N高低在位者P=5P=6進入不進入進入不進入進入不進入進入不進入P=4進入者進入不進入進入不進入[x][1-x]在位者P=5P=6P=4(6,0)(6,0)(7,0)(7,0)(6,0)(6,0)(9,0)(9,0)(2,0)(2,0)(8,0)(8,0)第二階段(3,1)(7,0)(3,1)(7,0)(5,-1)(9,0)(5,-1)(9,0)(3,1)(7,0)(5,-1)(9,0)第一階段在第二階段,企業(yè)的行動選擇是一個簡單的靜態(tài)博弈決策問題，但在第一階段，情況要復雜得多：進入者是否進入依賴于它對在位者成本函數(shù)（成本類型）的判斷：給定在位者是高成本時，進入者進入的凈利潤是1，低成本時進入者的利潤是-1，當且僅當進入者認為在位者是高成本的概率大于1/2時，進入者才選擇進入。與靜態(tài)博弈不同的是，在觀測到在位者第一階段的價格選擇后，進入者可以修正對在位者成本函數(shù)的先驗概率x，因為在位者的價格可能包含其成本函數(shù)的信息；但是，在位者同時也會考慮價格選擇的信息效應：不同的價格如何影響進入者的后驗概率，從而影響進入者的進入決策；先驗概率和后驗概率先驗概率(priorprobability):修正之前的判斷；后驗概率(posteriorprobability)：修正之后的判斷。例如：低成本的在位者不會選擇p=6，因此，如果進入者觀察到在位者選擇了p=6,就可以推斷在位者一定是高成本，選擇進入是有利可圖的。預測到p=6會招致進入者進入，即使高成本的在位者也可能不會選擇p=6。類似的，如果選擇價格p=5會招致進入者進入，低成本的在位者也不會選擇p=5。

價格P=4P=5P=6

在位者高成本時的利潤267

在位者低成本時的利潤698在靜態(tài)貝葉斯均衡中，參與人的信念是事前給定的，均衡概念沒有規(guī)定參與人如何修正自己的信念。但是，如果進入者可以任意修訂自己有關在位者成本函數(shù)的信念，上述不完全信息動態(tài)博弈可以有任意均衡。例如，假定x<1/2，下列戰(zhàn)略組合是一個貝葉斯均衡：不論在位者選擇什么價格，進入者總認為在位者是低成本的概率為x*<1/2，總是選擇不進入；高成本在位者選擇p=6,低成本在位者選擇p=5。顯然，這個均衡是不合理的，因為它包含了一個不可置信威脅：進入者不會修正對在位者成本函數(shù)的信念。這是因為，p=6不可能是低成本在位者的最優(yōu)選擇，如果在位者選擇了p=6，進入者為什么仍認為在位者是高成本的概率小于1/2呢？為了剔除那些不可置信的威脅，在完全信息動態(tài)博弈中引入了子博弈精練納什均衡的概念；但是，在不完全信息動態(tài)博弈中，只有一個子博弈，不能將上述方法直接用于求不完全信息動態(tài)博弈的均衡解，但可以借用這一方法的邏輯。將從每個信息集開始的博弈的剩余部分稱為一個“后續(xù)博弈”，一個“合理”的均衡應該滿足如下要求：給定每一個參與人有關其他參與人類型的后驗信念，參與人的戰(zhàn)略組合在每一個后續(xù)博弈上構(gòu)成貝葉斯均衡。我們將通過這種方式得到的納什均衡稱為精煉貝葉斯納什均衡。精煉貝葉斯均衡是貝葉斯均衡、子博弈精煉納什均衡和貝葉斯推斷的結(jié)合。它要求：

1、在每個信息集上，決策者必須有一個定義在屬于該信息集的所有決策結(jié)上的一個概率分布（信念）；

2、給定該信息集上的概率分布和其他參與人的后續(xù)戰(zhàn)略，參與人的行動必須是最優(yōu)的；

3、每一個參與人根據(jù)貝葉斯法則和均衡戰(zhàn)略修正后驗概率。假定參與人i有K個類型，同時有H個行動，用

k和sh分別代表一個特定的類型和戰(zhàn)略，假定i屬于k的先驗概率是p(k)0,且p(k)=1,參與人i選擇sh的條件概率為p(sh

k),且p(sh

k)=1。假如觀測到i選擇了sh，則i屬于類型

k的后驗概率Prob(ksh)為：貝葉斯法則二、精煉貝葉斯納什均衡

精煉貝葉斯均衡是戰(zhàn)略組合s*(

)=(s1*(

1),…,sn*(

n))

和后驗概率組合，滿足：（P）對于所有的參與人i，在每一個信息集h上，存在

（B）是使用貝葉斯法則從先驗概率

pi(

-i

i)、觀測到的a-ih和最優(yōu)戰(zhàn)略s-i*(.)得到的。精煉貝葉斯納什均衡是均衡戰(zhàn)略和均衡信念的結(jié)合，給定信念，戰(zhàn)略是最優(yōu)的；給定戰(zhàn)略，信念是使用貝葉斯法則從均衡戰(zhàn)略和所觀測到的行動得到的。當x<1/2時，精煉貝葉斯均衡為：不論高成本還是低成本，在位者選擇p=5；當且僅當進入者觀察到p=6時，進入者進入。當x>=1/2時，精煉貝葉斯均衡為：低成本在位者選擇p=4，高成本在位者選擇p=6；如果觀測到p=4，進入者選擇不進入；如果觀測到p=6，進入者選擇進入。三、市場進入博弈的精煉貝葉斯納什均衡N高低在位者P=5P=6進入不進入進入不進入進入不進入進入不進入P=4進入者進入不進入進入不進入[x][1-x]在位者P=5P=6P=4(6,0)(6,0)(7,0)(7,0)(6,0)(6,0)(9,0)(9,0)(2,0)(2,0)(8,0)(8,0)第二階段(3,1)(7,0)(3,1)(7,0)(5,-1)(9,0)(5,-1)(9,0)(3,1)(7,0)(5,-1)(9,0)第一階段高-在位者P=6進入者進入在位者利潤：7+31、x<1/2的情形高-在位者P=5進入者不進入在位者利潤：6+7犧牲1單位換取4單位利潤是合算的在位者P=5

給定在位者的后驗概率和戰(zhàn)略低-在位者P=5進入者不進入在位者利潤：9+9最優(yōu)選擇給定兩類在位者都選p=5，進入者不能從觀測到價格中得到任何信息，x（5）=（1*x）/（1*x+1*（1-x））=x<1/2,進入的期望利潤x（1）+（1-x）*（-1）=2x-1<0,不進入的期望利潤為0，因此不進入是最優(yōu)的。價格P=4P=5P=6在位者高成本時的利潤267在位者低成本時的利潤698因為兩類在位者選擇同樣的價格，直觀地講，因為x<1/2,如果進入者不能從在位者的價格選擇中得到新的信息，她選擇不進入。因此，高成本在位者可以通過選擇與低成本在位者相同的價格隱藏自己是高成本的事實，低成本在位者也沒有必要批露自己是低成本的事實?；焱獾?在位者P=4進入者不進入在位者利潤：6+92、X>=1/2的情形低-在位者P=5進入者進入在位者利潤：9+5最優(yōu)選擇在位者P=4給定在位者的后驗概率和戰(zhàn)略高-在位者P=4進入者不進入在位者利潤：2+7高-在位者P=6進入者進入在位者利潤：7+3最優(yōu)選擇在位者P=6給定進入者的后驗概率和戰(zhàn)略，低成本在位者選擇p=6(認為他是高成本，進入)，u1=8+5=13；選擇p=5，進入者進入，u1=9+5=14；選擇p=4，進入者不進入，u1=6+9=15。因此，最優(yōu)戰(zhàn)略為p=4，進入者不進入。給定進入者的后驗概率和戰(zhàn)略，高成本在位者選擇p=4，進入者不進入，u1=2+7=9；選擇p=5，進入者進入，u1=6+3=9；選擇p=6，進入者進入，u1=7+3=10。因此p=6是最優(yōu)的。如果低成本在位者選擇p=5,無法將自己與高成本在位者分開，進入者將進入，但如果他選擇p=4,高成本在位者不會模仿，進入者不進入，因此低成本在位者寧愿放棄3單位的現(xiàn)期利潤換取4單位的下期利潤。高成本在位者之所以不選擇p=4,是因為成本太高，下階段多獲取的4單位利潤不足以彌補現(xiàn)期5單位的損失。當x>=1/2時，精煉貝葉斯均衡為：

低成本在位者選擇p=4，高成本在位者選擇p=6；如果觀測到p=4，進入者選擇不進入；如果觀測到p=6，進入者選擇進入。分離均衡第二節(jié)

信號傳遞博弈一、信號傳遞博弈

（SignallingGame）勞動力市場（Spence，1973）：假定一個人的生產(chǎn)率是100，另一個人的生產(chǎn)率是200；假定高能力接受教育的成本是40，低能力接受教育的成本是120；此時，教育就可以成為傳遞能力的信號；如果低能力接受教育的成本低于100，就會出現(xiàn)混同均衡。

問題的關鍵關鍵是不同類型的人傳遞信號的成本不同；只有成本差異足夠大，才有可能傳遞信號；中國古代的科舉制度：重要的不是所學是否有用，而是只有足夠聰明的人才能通過考試。企業(yè)招聘：重學校名氣，不看重所學專業(yè)；

負債與企業(yè)質(zhì)量在國外，一些資金實力雄厚的公司通常也會向銀行貸款。更加令人感到奇怪的是，一些好的公司，一方面自己借錢給別的公司，同時，另一方面又向銀行借錢。為什么會出現(xiàn)這種情況呢？對于一家公司來說，負債增加會增大公司破產(chǎn)的可能性；但是，對于實力雄厚的公司，在同樣負債比例下，其破產(chǎn)可能性要小一些。每個公司都會向社會吹噓自己是好的公司，實力雄厚，但公眾不會僅憑口頭宣傳就相信的。于是，真正好的公司通過向銀行借錢來增大自己破產(chǎn)的可能性，令其它實際上不好的公司難以模仿。這種負債比例的增加要做到恰到好處，它既可令其它實力稍弱的公司難以模仿，又使自己能夠承受。這樣，公眾就能識別出誰是好的公司，從而競相購買好的公司的股票，導致公司股票價格上漲，結(jié)果這家負債公司會因其股價上漲而獲資本增值，破產(chǎn)的可能性反而下降了。信號傳遞博弈是一種比較簡單的但有廣泛應用意義的不完全信息動態(tài)博弈。參與人：兩個，信號發(fā)送者1和信號接收者2；1的類型是私人信息，2的類型是公共信息（即只有一個類型）。

信號傳遞博弈描述信號博弈順序：

(1)“自然”首先選擇1的類型，參與人1知道自己的類型，但參與人2不知道，只知道1屬于的先驗概率p=p()；

(2)1在觀測到類型后選擇發(fā)出信號mM,M={m1,…,mJ}是信號空間；

(3)2觀測到m(而非)使用貝葉斯法則從先驗概率p得到后驗概率，然后選擇戰(zhàn)略s；

(4)支付函數(shù)分別為u1(m,s,),u2(m,s,)。信號傳遞博弈的精煉貝葉斯均衡是戰(zhàn)略組合(m*(

),s*(m))和后驗概率的結(jié)合，它滿足：

(P1)s*(m)極大化

u2(m,s,)(P2)m*(

)極大化u1(m,s*(m),

)；

(B)

是參與人2使用貝葉斯法則從先驗概率p=p()、觀測到的信號m和參與人1的最優(yōu)戰(zhàn)略m*()得到的。信號傳遞博弈的所有可能的精練貝葉斯均衡可以劃分為3類：分離均衡（Separatingequilibrium

）：不同類型的發(fā)送者以1的概率選擇不同的信號，或者說，沒有任何類型選擇與其他類型相同的信號。在分離均衡下，信號準確地揭示出類型?；焱猓╬oolingequilibrium）：不同類型的發(fā)送者選擇相同的信號，或者說，沒有任何類型選擇與其他類型不同的信號，因此，接收者不修正先驗概率。準分離均衡（semi-separatingequilibrium）：一些類型的發(fā)送者隨機地選擇信號，另一些類型的發(fā)送者選擇特定的信號。如果m1是類型

1的最優(yōu)選擇，m1就不可能是

2的最優(yōu)選擇,并且m2一定是類型2的最優(yōu)選擇，即：

u1(m1,s*(m),1)>u1(m2,s*(m),1)u1(m2,s*(m),2)>u1(m1,s*(m),2)

后驗概率為：分離均衡

混同均衡假定mj是均衡戰(zhàn)略，那么：

u1(mj,s*(m),1)u1(m,s*(m),1)u1(mj,s*(m),2)u1(m,s*(m),2)

準分離均衡假定類型

1的發(fā)送者隨機選擇m1和m2，類型2的發(fā)送者以概率1選擇m2，如果該戰(zhàn)略組合是均衡戰(zhàn)略，那么：

u1(m1,s*(m),1)=u1(m2,s*(m),1)u1(m1,s*(m),2)＜u1(m2,s*(m),2)

是類型

1的發(fā)送者選擇m1的概率

二、勞動力市場上的信號博弈考慮一個雇員和一個雇主，雇員的能力有兩個取值：雇員知道自己的真實能力，雇主只知道的概率均為1/2。雇員在與雇主簽約之前選擇教育水平，其中代表接受教育，代表不接受教育；接受教育的成本為。教育的成本函數(shù)采取這一形式，具有什么含義？雇主在觀察到雇員的教育水平后決定雇員的工資水平，雇員選擇接受或者不接受；如果接受，企業(yè)的期望產(chǎn)出為，雇員的效用為，這種情形下企業(yè)的期望利潤為。如果不接受，則。同時，假定勞動力市場是完全競爭的，從而在均衡情況下企業(yè)的預期利潤為零，工資等于勞動生產(chǎn)率；在對稱信息下，教育對于每一種不同類型的人而言沒有任何價值；原因：因為此時雇主能夠直接觀察到雇員的能力水平；因此，此時的均衡為：在對稱信息情形下，不能能力高低，雇員將選擇（不接受教育），低能力雇員的工資水平為，高能力雇員的工資水平為。

對稱信息下的均衡在非對稱信息下，雇主只能觀察到而不能觀察到，因此工資只能以而定；假定為雇主觀察到雇員選擇教育水平時，雇主認為雇員是低能力的后驗概率；精煉貝葉斯均衡意味著

1、雇員選擇教育水平；

2、雇主根據(jù)觀察到的得出后驗概率和支付工資，使：（1）給定預期的工資水平，是能力為的雇員的最優(yōu)選擇；（2）給定，是與貝葉斯法則一致的，是雇主的最優(yōu)選擇。

非對稱信息下的均衡混同均衡意味著：不同能力的雇員選擇相同的教育水平，從而得到相同的工資；此時有：

1、混同均衡注意到，當雇主不知道雇員的能力類型時，企業(yè)的預期產(chǎn)出為。此時，由于雇主之間的競爭，使雇主的提供的工資水平等于預期產(chǎn)出，即；給定雇主支付的工資與教育水平無關和雇主的后驗概率，雇員的最優(yōu)選擇是不接受教育；給定雇員選擇不接受教育，雇主不能分辨雇員能力的真實類型，是最優(yōu)的工資水平。假如雇主的后驗概率為，此時意味著選擇接受教育的雇員一定是高能力的雇員，因此上述混同均衡將不再成立；此時，給定，當雇員選擇，雇主將選擇，高能力的雇員將選擇接受教育從而得到，而不是選擇不受教育得到，我們得到一個分離均衡。

2、分離均衡這種情形下，低能力的雇員選擇不接受教育，高能力的雇員選擇接受教育；分離均衡雇主認為接受教育的是高能力，支付工資w=2；不接受教育的一定是低能力，因而支付工資w=1。高能力雇員接受教育：低能力雇員不接受教育：在分離均衡的情形下，教育水平便成為傳遞雇員能力的信號，這主要是由教育的成本函數(shù)所決定。第三節(jié)

不完全信息重復博弈與聲譽在重復博弈中，我們已經(jīng)提到，對于有限次的囚徒困境重復博弈，子博弈精煉納什均衡是每個參與人選擇與單階段靜態(tài)博弈納什均衡一樣的策略；對于無限次重復博弈：只要未來足夠重要，合作行為可以是無限次重復博弈的子博弈精煉納什均衡。一、完全信息重復博弈的一些結(jié)論連鎖店悖論進入者在位者進入不進入默許斗爭（40，50）（-10，0）（0，100）假定在位者有20個市場。直觀告訴我們，如果進入者在第一個市場進入，在位者應該選擇斗爭，因為盡管從一個市場看，斗爭是不值得的，但這樣做可以遏止進入者在其他市場上的進入。唯一的子博弈精煉納什均衡是：進入者總是進入；在位者總是默許。在重復囚徒困境博弈中，單階段最優(yōu)的均衡結(jié)果（抵賴，抵賴）沒有實現(xiàn)；而在“連鎖店悖論”中，也出現(xiàn)了有違想象的結(jié)果；之所以會存在這些問題，原因在于我們前面假定參與人的理性是共同知識，而且每個參與人可以選擇的策略和效用函數(shù)都是共同知識。在現(xiàn)實的博弈中，參與人對其他參與人的支付及知識都可能存在不完全信息。例如，一個參與人對其對手支付的不確定，以及對其對手的知識(如對手是否理性、理性程度如何)的不確定等等。KMRW聲譽模型證明：正是博弈中的這種不完全信息會對博弈的均衡產(chǎn)生影響，使得在完全信息中不可能出現(xiàn)的“合作”，在不完全信息情況下出現(xiàn)。二、KMRW聲譽模型KMRW模型（1982）：如果參與人對其他參與人的效用函數(shù)和戰(zhàn)略空間的信息不完全，即使博弈重復的次數(shù)是有限的，人們也有積極性建立一個合作的聲譽(reputation)，合作會出現(xiàn)。這一結(jié)論由Kreps、Milgrom、Roberts和Wilsom在1982年的一個文章里提出（JET），因此我們稱之為KMRW聲譽模型。KMRW聲譽模型的關鍵在于：假設關于參與人類型的信息是不完全信息，類型不同，預期的博弈方式也不同，所以每個參與人關心其他參與人對自己類型的推斷。這樣，在聲譽模型中每個參與人的聲譽就可概括為其他參與人關于他的類型的推斷。KMRW模型的階段博弈為：

表1階段博弈的矩陣式描述假設參與人1為完全理性的參與人，而參與人2可能是完全理性的，也可能是非完全理性的，是否完全理性參與人2自己清楚，但參與人1不知道。在這種情況下參與人2就存在兩種類型。假設參與人2是非完全理性的可能性為p，是完全理性的可能性為1-p。這里關于參與人2類型的推斷即為參與人2的聲譽。假設非完全理性的參與人在博弈中只會采取“一報還一報”的戰(zhàn)略。參與人2一旦偏離了“一報還一報”戰(zhàn)略，則“參與人是完全理性的”就成為共同知識，于是此后就不會再有參與人選擇合作。在這種情況下，理性的參與人2就有動機去假扮“非完全理性”類型。

特殊之處：在重復博弈中，博弈的順序如下：“自然”選擇參與人2的類型。參與人2選擇“一報還一報”戰(zhàn)略的概率為p，可以選擇任意戰(zhàn)略(即“完全理性”)的概率為1-p。參與人2知道自己的類型，但參與人1不知道參與人2的類型；參與人1和2進行以表1所示的博弈為階段博弈的有限重復博弈；參與人1和2在重復博弈中的支付為各個階段博弈支付的簡單之和，即不考慮貼現(xiàn)。1、討論T=2的情況（合作的條件）：用C表示“合作”，B表示“背叛”。與在完全信息有限重復囚徒困境中最后一個階段的情況相同，在上述重復博弈的第二階段即最后階段，參與人1和完全理性的參與人2都將選擇C；非完全理性的參與人2的選擇依賴于參與人1在第一階段的選擇；在博弈的第一階段，非完全理性的參與人2選擇C，而完全理性的參與人2則會選擇B。

三、KMRW聲譽模型的分析現(xiàn)在只需考慮參與人1在第一階段的選擇(用X表示)，他的選擇將會影響到非完全理性的參與人2在第二階段的選擇。如果X=C，則參與人1在重復博弈中的期望收益為如果X=B，則參與人1在重復博弈中的期望收益為因此，如果，則參與人2將會選擇C（即選擇合作）。此時有p≥3/10。也就是說，如果參與人2為非完全理性的可能性不小于3/10的話，參與人1在第一階段的最優(yōu)選擇為C，即選擇“合作”。在以下的討論中，假設p≥3/10。2、討論T=3的情況（合作的條件）：給定p≥3/10，如果參與人1和完全理性的參與人2在第一階段選擇C，則參與人1在第二階段開始前對參與人2類型的推斷仍為[p,1-p]，所以博弈在第二、三階段的均衡路徑就與前面X=C相同?？疾焱耆硇缘膮⑴c人2的選擇假設參與人1在第一階段選擇C，完全理性的參與人2選擇C的收益為8+10+1＝19，選擇B的收益為10+1+1＝12，所以，當參與人1在第一階段選擇C時，完全理性的參與人2的最優(yōu)選擇為C?？疾靺⑴c人1的最優(yōu)選擇給定完全理性的參與人2在第一階段選擇C，考察參與人1的最優(yōu)選擇。由于我們假定p≥3/10，因此，只需考慮參與人1的以下三類戰(zhàn)略：戰(zhàn)略——在第一、二階段選擇C，第三階段選擇B；戰(zhàn)略——在第一階段選擇B，第二階段選擇C，第三階段選擇B；戰(zhàn)略——在三個階段都選擇B。給定完全理性的參與人2在第一階段選擇C，如果參與人1選擇戰(zhàn)略，參與人1的期望收益為：1、（C，C，B）

給定完全理性的參與人2在第一階段選擇C，如果參與人1選擇戰(zhàn)略，參與人1的期望收益為：2、（B，C，B）

如果下列條件滿足即p≥2/10，則