專題12空間向量與空間向量基本定理B-《2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性單元測試AB卷》

專題1.2空間向量與空間向量基本定理(B）第I卷選擇題部分（共60分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（2022·福建·柘榮縣第一中學(xué)高二期中）如圖，在平行六面體中，M為與的交點，若，，，則下列向量中與相等的向量是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】利用空間向量的基本定理求解.【詳解】解：，，，，故選；A2．（2022·四川省綿陽南山中學(xué)高二期末（理））如圖，設(shè)，，，若，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量是線性運算法則，計算即可得答案.【詳解】由題意得=.故選：A3．（2022·江蘇宿遷·高二期末）四面體中，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的運算律及定義計算可得；【詳解】解：因為，，所以所以，所以，又，所以，所以，因為，所以；故選：C4．（2022·江蘇南通·高二期末）在四面體中，，，，點滿足，為的中點，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量的基本定理，結(jié)合中點的性質(zhì)求解即可【詳解】，其中為中點，有，故可知，則知為的中點，故點滿足，．故選：A5．（2022·廣東梅州·高二期末）已知四棱錐，底面為平行四邊形，M，N分別為棱BC，PD上的點，，，設(shè)，，，則向量用為基底表示為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】由圖形可得，根據(jù)比例關(guān)系可得，，再根據(jù)向量減法，代入整理并代換為基底向量．【詳解】即故選：D．6．（2022·江蘇省揚州市教育局高二期末）如圖，平行六面體的底面是邊長為1的正方形，且，，則線段的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先以為基底表示空間向量，再利用數(shù)量積運算律求解.【詳解】解：，，，，所以，故選：B7．（2022·上海市建平中學(xué)高二期末）已知A?B?C?D?E是空間中的五個點，其中點A?B?C不共線，則“平面ABC”是“存在實數(shù)x?y，使得的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義結(jié)合向量共面的判定定理即可得出答案.【詳解】若平面ABC，則共面，故存在實數(shù)x?y，使得.若存在實數(shù)x?y，使得，則，，共面則平面ABC或平面ABC.所以“平面ABC”是“存在實數(shù)x?y，使得的充分而不必要條件.故選：A.8．（2022·江蘇泰州·高二期末）在平行六面體中，，，，，則與所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先利用基底表示向量，再利用向量的夾角公式求解.【詳解】解：，則，，，，，，所以，故選：D二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯的得0分.9．（2022·浙江嘉興·高一期末）如圖，在平行六面體中，AC和BD的交點為O，設(shè)，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】【分析】求得判斷選項A；求得判斷選項B；求得判斷選項C；求得判斷選項D.【詳解】選項A：.判斷正確；選項B：.判斷錯誤；選項C：.判斷正確；選項D：.判斷錯誤.故選：AC10．（2022·廣東廣州·高二期末）如圖，在長方體中，、、分別是棱、、上的點，且滿足，，，則（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】【分析】利用空間向量基本定理逐項判斷可得出合適的選項.【詳解】對于A選項，，A對；對于B選項，，B對；對于C選項，由圖可知、不共線，則，C錯；對于D選項，，D錯.故選：AB.11．（2022·湖南·湘府中學(xué)高一期末）關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（

）A．空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面B．若對空間中任意一點O，有，則P，A，B，C四點共面C．已知向量是空間的一個基底，若，則也是空間的一個基底D．若，則是鈍角【答案】ABC【解析】【分析】對于A，根據(jù)共線向量的概念理解判斷；對于B：根據(jù)且P，A，B，C四點共面，分析判斷；對于C：基底向量的定義是空間的一個基底不共面，分析判斷；對于D：根據(jù)數(shù)量積的定義可得，結(jié)合向量夾角的范圍分析判斷．【詳解】對于A，根據(jù)共線向量的概念，可知空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面，所以A正確；對于B，若對空間中任意一點O，有因為，根據(jù)空間向量的基本定理，可得P，A，B，C四點一定共面，所以B正確；對于C，由于是空間的一個基底，則向量不共面∵，則共面∴可得向量不共面，所以也是空間的一個基底，所以C正確；對于D，若，即，又，所以，所以D不正確．故選：ABC．12．（2022·浙江嘉興·高一期末）如圖，在正四面體ABCD中，M，N分別是線段AB，CD（不含端點）上的動點，則下列說法正確的是（

）A．對任意點M，N，都有MN與AD異面B．存在點M，N，使得MN與BC垂直C．對任意點M，存在點N，使得與，共面D．對任意點M，存在點N，使得MN與AD，BC所成的角相等【答案】ACD【解析】【分析】A選項，首先不可能與AD相交，其次證明AD與MN不可能平行，故A正確；B選項，證明出BC⊥平面ADF，因為直線AB與CD分別與平面ADF的交點為A，D，但M，N與A，D不會重合，故B錯誤；C選項，作出輔助線，得到存在，使得，由空間向量性質(zhì)可知C正確；D選項，作出輔助線，對于任意點M，找到點N，得到MN與AD，BC所成的角，利用相似和余弦定理得到MN與AD，BC所成的角相等.【詳解】A選項，M，N分別是線段AB，CD（不含端點）上的動點，故不可能與AD相交，過點M作ME∥AD交BD于點E，MN與ME相交，故AD與MN不可能平行，綜上：對任意點M，N，都有MN與AD異面，A正確；B選項，取BC中點F，連接AF，DF，因為四面體ABCD為正四面體，所以AF⊥BC，DF⊥BC，因為，所以BC⊥平面ADF，因為直線AB與CD分別與平面ADF的交點為A，D，但M，N與A，D不會重合，故BC不可能與MN垂直，B錯誤；C選項，對于任意點M，作ME∥AD交BD于點E，過點E作EN∥BC交CD于點N，連接MN，此時，故存在，使得，所以對任意點M，存在點N，使得與，共面，C正確；D選項，對任意的點M，在CD上取點N，使得CN=AM，則，過點M作ME∥AD交BD于點E，過點N作NF∥BC交BD于點F，則為MN與AD形成的角，∠MNF為MN與BC形成的角，且FN=EM，DE=BF，由BM=DN，∠ABD=∠CDB=60°，DE=BF得：△BMF≌△DNE，所以MF=EN，由余弦定理得：，，由于三邊對應(yīng)相等，故∠MNF=∠NMF，對任意點M，存在點N，使得MN與AD，BC所成的角相等，D正確.故選：ACD【點睛】立體幾何中動點問題，在點運動過程中求解垂直或平行關(guān)系或角度或長度的最值等，需要把點運動到特殊位置或抓住運動過程中的不動量作為解題的突破口.第II卷非選擇題部分（共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．（2022·上海黃浦·二模）在長方體中，設(shè)，，，若用向量、、表示向量，則____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)空間向量的加法法則求解即可【詳解】由題意，故答案為：14．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））如圖，在平行六面體中，，，，，，點為棱的中點，則線段的長為______．【答案】【解析】【分析】利用向量數(shù)量積求得向量的模，即可求得線段的長【詳解】則即線段的長為故答案為：15．（2022·全國·高二）已知空間四邊形的每條邊和對角線的長都等于1，點，分別是，的中點，則的值為_________.【答案】##【解析】【分析】如圖，在正三棱錐中，以為基底，，，利用向量數(shù)量積性質(zhì)進行計算即可得解.【詳解】根據(jù)題意為正四面體，兩兩成角，所以，，所以.故答案為：16．（2022·浙江嘉興·高一期末）如圖，在三棱錐中，，平面ABC，于點E，M是AC的中點，，則的最小值為______．【答案】##0.125【解析】【分析】根據(jù)給定條件，證明平面PAB，將用表示出，再結(jié)合空間向量數(shù)量積的運算律求解作答.【詳解】連接，如圖，因平面ABC，平面ABC，則，而，，平面PAB，則平面PAB，又平面PAB，即有，因M是AC的中點，則，又，，當(dāng)且僅當(dāng)取“=”，所以的最小值為.故答案為：四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（2022·全國·高二課時練習(xí)）在長方體中，E是棱的中點，O是面對角線與的交點．試判斷向量與、是否共面．【答案】共面【解析】【分析】根據(jù)空間向量的運算法則，化簡得到，結(jié)合空間向量的共面定理，即可求解.【詳解】根據(jù)空間向量的運算法則，可得：，又由空間向量的共面定理，可得向量與，共面．18．（2022·全國·高二課時練習(xí)）在長方體中，是的中點．(1)設(shè)，，，用向量、、表示；(2)設(shè)，，，用向量、、表示．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)向量加法運算求解即可；（2）由題知，進而得，，，再根據(jù)求解即可.(1)解：如圖，根據(jù)向量加法法則得：.(2)解：由（1）得，因為，所以，，,所以，19．（2022·全國·高二課時練習(xí)）A是所在平面外一點，G是的重心，M、E分別是BD、AG的中點，點F在線段AM上，，判斷三點C、E、F是否共線．【答案】C、E、F三點共線【解析】【分析】利用空間向量的基本定理和共線向量定理求解.【詳解】解：設(shè)，，，，，，，因為，所以，又因為、有公共點C，所以C、E、F三點共線．20．（2022·全國·高二課時練習(xí)）如圖所示，已知是平行六面體．(1)化簡；(2)設(shè)是底面的中心，是側(cè)面對角線上的分點，設(shè)，試求，，的值．【答案】(1)；(2)，，.【解析】【分析】（1）利用平行六面體的性質(zhì)及向量的線性運算即得；（2）利用向量線性運算的幾何表示可得，進而即得.(1)∵是平行六面體，∴(2)∵，又，∴，，.21．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知四面體的各棱長均為1，D是棱OA的中點，E是棱AB的中點．設(shè)，，．(1)用向量、、表示、；(2)判斷與是否垂直；(3)求異面直線BD與AC所成角的余弦值．【答案】(1)，；(2)與不垂直；(3)﹒【解析】【分析】(1)根據(jù)空間向量的線性運算即可求解；(2)判斷是否為零即可判斷與是否垂直；(3