三年級數(shù)學(xué)下冊寒假經(jīng)典奧數(shù)-平面圖形計數(shù)人教版

2022-2023三年級數(shù)學(xué)下冊寒假經(jīng)典奧數(shù)-平面圖形計數(shù)一、填空題1．填一填。有()個長方形

有()個正方形2．圖中共有()個三角形。3．在下面的圖中，包含蘋果的正方形一共有()個。4．圖中內(nèi)部有陰影的正方形共有()個。5．圖中有()個正方形，有()個三角形。6．在圖中，包含的三角形一共有()個。7．如圖，其中同時包括兩個☆的長方形有()個。8．如下圖在釘子板上有16個點，每相鄰的兩個點之間距離都相等，用繩子在上面圍正方形，你可以得到()個正方形。9．根火柴可以擺成一個小三角形。圖中用很多根火柴擺成了一個中空的大三角形。已知大三角形外沿上每條邊都是根火柴。擺成這個圖共需要()根火柴。10．在圖中，一共有()個三角形，()條線段。二、解答題11．下圖中包含香蕉的正方形有幾個？12．下圖的兩個圖形（實線）是分別用10根和16根單位長的小棍圍成的。如果按此規(guī)律（每一層比上面一層多擺出兩個小正方形）圍成的圖形共用了60多根小棍，那么圍成的圖形有幾層，共用了多少根小棍？13．用三根火柴可拼成一個小“△”，若用108根火柴拼成如圖所示形狀的大三角形，請你數(shù)一數(shù)共有多少個三角形？14．如圖，連接一個正六邊形的各頂點。問圖中共有多少個等腰三角形（包括等邊三角形）？15．在3×3的方格紙上（如圖1），用鉛筆涂其中的5個方格，要求每橫行和每豎行列被涂方格的個數(shù)都是奇數(shù)，如果兩種涂法經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后相同，則認(rèn)為它們是相同類型的涂法，否則是不同類型的涂法。例如圖2和圖3是相同類型的涂法?；卮鹱疃嘤卸嗌俜N不同類型的涂法？說明理由。16．如圖，AB，CD，EF，MN互相平行，則圖中梯形個數(shù)與三角形個數(shù)的差是多少?17．如圖，數(shù)一數(shù)，圖中有多少個三角形？18．如圖，這是一個長為9，寬為4的網(wǎng)格，每一個小格都是一個正方形．請問：（1）從中可以數(shù)出多少個長方形？（2）從中可以數(shù)出包含黑點的長方形有多少個？19．如圖，數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個平行四邊形？20．下圖中有多少個長方形？

參考答案：1．

3

5【分析】基本的長方形有2個，2個基本的長方形又組成1個大的長方形，一共有3個長方形；基本的正方形有4個，4個基本的正方形又組成1個大的正方形，一共有5個正方形。【詳解】由題意得：【點睛】此題主要考查的是長方形及正方形的初步認(rèn)識和計數(shù)，計數(shù)時，要做到不要重復(fù)、不要遺漏。2．20【分析】圖中的三角形都是等邊三角形，可以假設(shè)最小的等邊三角形的邊長是1，然后分類枚舉出每一類的數(shù)量，最后相加得到總數(shù)?！驹斀狻糠诸惷杜e：邊長是個單位長度的有個三角形；邊長是個單位長度的有個三角形；邊長是個單位長度的有個三角形；共有（個）【點睛】本題考查的是幾何計數(shù)問題，求解幾何計數(shù)問題最常用的方法是分類枚舉。3．13【分析】把最小的正方形邊長看成是1，那么包含蘋果的正方形的邊長可能是1、2、3、4，分類枚舉，最后相加得到總數(shù)?！驹斀狻吭O(shè)最小的正方形邊長看成是1；包含蘋果的邊長是1的正方形有1個；包含蘋果的邊長是2的正方形有4個；包含蘋果的邊長是3的正方形有6個；包含蘋果的邊長是4的正方形有2個；（個）所有包含蘋果的正方形一共有13個?！军c睛】分類枚舉是求解幾何計數(shù)問題最常用的方法，枚舉的時候要按照一定的順序，避免遺漏和重復(fù)。4．26【分析】根據(jù)圖形的對稱性，可以先考慮左邊，把最小的正方形的邊長看成是1，含陰影的正方形的邊長可能是1、2、3、4，分類枚舉，最后相加得到總數(shù)?！驹斀狻吭O(shè)最小的正方形的邊長看成是1；先考慮左邊：含陰影邊長是1的正方形，4個；含陰影邊長是2的正方形，4個；含陰影邊長是3的正方形，4個；含陰影邊長是4的正方形，1個；（個）（個）所以內(nèi)部有陰影的正方形共有26個?！军c睛】本題考查的是幾何計數(shù)問題，在枚舉的時候可以利用圖形的對稱性簡化步驟。5．

95

155【分析】數(shù)正方形，可以按照正方形的大小進行分類枚舉，最后相加得到總數(shù)；數(shù)三角形，可以把最小的直角三角形看成是計數(shù)基本單位，然后數(shù)其它的三角形，最后相加得到總數(shù)。【詳解】第一問，數(shù)正方形：可以計算不同面積的正方形各有多少個，以面積大小數(shù)正方形，記最小的正方形面積為1；則面積為1的正方形的個數(shù)為36；面積為2的正方形的個數(shù)為4；面積為4的正方形的個數(shù)為25；面積為9的正方形的個數(shù)為16；面積為16的正方形的個數(shù)為9；面積為25的正方形的個數(shù)為4；面積為36的正方形的個數(shù)為1；所以，共有正方形（個）第二問，數(shù)三角形：以圖中的最小的直角三角形為計數(shù)基本單位數(shù)三角形：只有1個基本圖形單位的三角形共72個；由2個基本圖形單位組成的三角形共37個；由4個基本圖形單位組成的三角形共30個；由8個基本圖形單位組成的三角形共4個；由9個基本圖形單位組成的三角形共10個；由16個基本圖形單位組成的三角形共2個；所以圖中共有三角形72＋37＋30＋4＋10＋2＝155（個）【點睛】本題考查的是幾何計數(shù)的問題，分類枚舉是求解幾何計數(shù)問題最常用的方法，枚舉的時候要做到不重不漏。6．9【分析】設(shè)最小的正三角形的邊長是1，包含A的正三角形的邊長可能是1、2、3、4，分類枚舉，最后相加得到總數(shù)?！驹斀狻吭O(shè)最小的正三角形的邊長是1；包含五角星的邊長是1的三角形，1個；包含五角星的邊長是2的三角形，4個；包含五角星的邊長是3的三角形，3個；包含五角星的邊長是4的三角形，1個；包含五角星的三角形一共有（個）【點睛】分類枚舉計數(shù)是求解幾何計數(shù)問題最常用的方法，注意在這里三角形有正放和倒放兩種情況。7．24【分析】分別數(shù)出上邊☆的左上角的格點個數(shù)，以及下邊的☆右下角的格點個數(shù)，從左上角選一個點，右下角選一個點，構(gòu)成的長方形一定同時包括兩個☆。【詳解】（個）同時包括兩個☆的長方形有24個。【點睛】本題考查的是幾何計數(shù)問題，這種方法我們稱為“鼠標(biāo)法”，是對應(yīng)法計數(shù)中的一種。8．20【分析】可以先按照正放和斜放分成兩大類，然后在每一類里面再按照大小進一步細(xì)分，求出每一類的數(shù)量，相加得到總數(shù)?！驹斀狻肯瓤礄M著的正方形如下圖（1），可以得到個正方形；再看斜著的正方形如下圖（2）可以得到4個正方形，如下圖（3）可以得到2個正方形；這樣一共可以得到個正方形。

（1）

（2）

（3）【點睛】本題考查的是幾何計數(shù)問題，在分類枚舉的時候，可以按照一定的順序進行，避免重復(fù)和遺漏。9．222【分析】可以分成三個方向來分析，水平方向，“/”方向和“\”方向，而這三個方向的火柴棒的數(shù)量是一樣的?！驹斀狻克椒较颍海ǜ[成這個圖共需要：（根）【點睛】本題考查的是幾何計數(shù)問題，在枚舉的時候可以考慮圖形的特殊性，枚舉的時候按照方向、大小等進行分類。10．

10

40【分析】可以把圖形分成兩部分，中間的五角星和外面的部分，三角形只存在于中間的五角星部分；數(shù)線段也可以先數(shù)五角星中的線段條數(shù)，再數(shù)外面的線段條數(shù)，相加得到總數(shù)。【詳解】（1）五角星的每個角上分別有1個小三角形，總共有5個；另外還有5個較大的三角形，所以共有（個）三角形。（2）中間五角星中有5條長線段，每條長線段上共可以數(shù)出：（條）線段，那么五角星中共有（條）線段，再加上外面圖形的線段，（條）線段?！军c睛】本題考查的是幾何計數(shù)問題，再枚舉的時候可以利用圖形本身的特性。11．4個【解析】略12．【分析】對于由n層組成的圖形，其豎直方向的小棍數(shù)量是2n，水平方向的小棍數(shù)量是，總共是，根據(jù)圍成的圖形共用了60多根小棍這一個條件，找到n的取值?！驹斀狻繃傻膱D形有n層的話，其所需要的小棍的數(shù)量是；當(dāng)n取11的時候，總數(shù)恰好在60~70之間，符合題目要求；答：圍成的圖形有11層，共用了64根小棍?！军c睛】本題考查的是圖形找規(guī)律的問題，總結(jié)出所需小棍的通項公式后，求解起來會簡單很多。13．個【分析】題目只是給出了一共用了108根火柴，并未畫出全部的圖形，所以首先要確定圖形有多少層，然后按照三角形的大小進行分類枚舉?！驹斀狻繌纳贤?，第一層用根火柴；第二層用根火柴；第三層用根火柴；第四層用根火柴；第五層用根火柴；……；第層用根火柴。根據(jù)題意，有：，故，所以，，即形狀如圖的大三角形共有8層，是邊長為8根火柴的大正三角形。然后，數(shù)出共有多少個三角形。尖朝上的三角形共：（個）；尖朝下的三角形共：（個）；所以，共有三角形：（個）。答：共有170個三角形?！军c睛】尖朝上的三角形：每一種尖朝上的三角形個數(shù)都是由1開始的連續(xù)自然數(shù)的和，其中連續(xù)自然數(shù)最多的和中最大的加數(shù)就是三角形每邊被分成的基本線段的條數(shù)，依次各個連續(xù)自然數(shù)的和都比上一次少一個最大的加數(shù)，直到1為止。尖朝下的三角形的個數(shù)也是從1開始的連續(xù)自然數(shù)的和，它的第一個和恰是尖朝上的第二個和，依次各個和都比上一個和少最大的兩個加數(shù)，以此類推直到零為止。14．個【分析】正六邊形，連接其對角線后，得到的等腰三角形是比較多的，可以按照其大小進行分類，分類枚舉，最后相加得到總數(shù)?！驹斀狻勘绢}需要分類進行討論。（1）先考慮其中的等邊三角形。圖①中，六邊形的每1個頂點是某個小號等邊三角形的頂點，而且，每個小號等邊三角形，有且僅有一個頂點是六邊形的一個頂點，既然六邊形有6個頂點，所以圖中有6個小號三角形；圖②中，六邊形的每一條邊是某個中號等邊三角形的一條邊，而且，每個中號等邊三角形有且僅有一條邊是六邊形的一條邊，既然六邊形有6條邊，所以圖中有6個中號等邊三角形；圖③中，大號等邊三角形有2個；（2）再考慮其中非等邊的等腰三角形。圖中非等邊的等腰三角形，按照面積大小分類有3種類型，見圖④。其中小號的等腰三角形有6個，因為這類三角形均以六邊形的一條邊為其邊長，并且，六邊形的每一條邊只唯一對應(yīng)一個小號等腰三角形，而正六邊形有6條邊，所以有6個小號等腰三角形；中號的等腰三角形有12個，因為每個中號等腰三角形的長邊都是六邊形的一條非直徑的弦，并且，以非直徑的弦為長邊的三角形有2個，如圖⑤，這樣的弦共有6條，所以有12個中號等腰三角形；大號的等腰三角形有6個，因為每個大號等腰三角形的長邊都是六邊形的一條直徑，每條直徑上都對應(yīng)有2個大號三角形，如圖⑥，共有3條直徑，所以有6個大號等腰三角形。那么圖中共有個等腰三角形。答：圖中共有38個等腰三角形。【點睛】可以發(fā)現(xiàn)，除了特殊情況，一般每種等腰三角形的個數(shù)都是6的倍數(shù)個，這是由圖形本身的特性決定的。15．種【分析】每橫行和每豎行列被涂方格的個數(shù)都是奇數(shù)，那么只能是1格或3格，總共涂5格，可以按照1、1、3進行分配?！驹斀狻咳鐖D所示：不同類型的涂法有3種；由于經(jīng)過旋轉(zhuǎn)或翻轉(zhuǎn)后重合的兩種涂法算作一種，所以符合要求的涂法是比較少的。【點睛】本題考查的是幾何計數(shù)的問題，分類枚舉是最基礎(chǔ)的方法，也是適應(yīng)性最廣泛的方法。16．20【詳解】圖中共有三角形(1+2+3+4)×4＝40個，梯形(1+2+3+4)×(1+2+3)＝60個，梯形比三角形多60－40＝20個．17．48個【詳解】觀察圖形：①三角形頂點向上的三角形個數(shù)：以一條線段為邊的三角形有：1+2+3+4+5=15個；以兩條線段為邊的有：1+2+3+4=10個；以3條線段為邊的三角形有：1+2+3=6個；以4條線段為邊的三角形有：1+2=3個；以5條線段為邊的三角形有1個；②三角形頂點向下的有：以1條線段為邊的三角形有：1+2+3+4=10個；以兩條線段為邊的三角形有：1+2=3個．由此利用加法原理即可求得圖中的三角形個數(shù)．[（1+2+3+4+5）+（1+2+3+4）+（1+2+3）+（1+2）+1]+[1+2+3+4）+（1+2）]=[15+10+6+3+1]+[10+3]=35+13=48（個）答：圖中有48個三角形．18．（1）450個；（2）96個【分析】（1）分類進行統(tǒng)計，橫數(shù)有（1+9）×9÷2=45個，豎數(shù)有（1+4）×4÷2=10個，因此可以數(shù)出45×10=450個．（2）在小黑點所在的豎行中，按照由1個、2個、3個、4個小長方形所組成的長方形的順序去計算；在小黑點所在的橫行中，按照由1個、2個、3個、4個、5個、6個、7個、8個、9個小長方形所組成的長方形的順序去計算．分別計算出包含小黑點的長方形的個數(shù)，相乘即可．【詳解】（1）（1+9）×9÷2=45（個）（1+4）×4÷2=10（個）45×10=450（個）答：一共可以數(shù)出450個．（2）在小黑點所在的豎行中，按照由1個、2個、3個、4個小長方形所組成的長方形的順序去計算，包含小黑點的長方形共有：1+2+2+1=6（個）在小黑點所在的橫行中，按照由1個、2個、3個、4個、5個、6個、7個、8個、9個小長方形所組成的長方形的順序去計算，包含小黑點的長方形共有：1+2+2+2+2+2+2+2+1=16（個）所以包含小黑點的長方形共有：6×16=96（個）答：從中可以數(shù)出包含黑點的長方形有96個．19．45個【詳解】試題分析：對于平行四邊形，先計算同一層的個數(shù)