專題22容斥原理（原卷）2

20222023學(xué)年小學(xué)五年級(jí)思維拓展舉一反三精編講義專題22容斥原理知識(shí)精講知識(shí)精講專題簡析：集合是指具有某種屬性的事物的全體，它是數(shù)學(xué)中的最基本的概念之一。如某班全體學(xué)生可以看作是一個(gè)集合，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9便組成一個(gè)數(shù)字集合。組成集合的每個(gè)事物稱為這個(gè)集合的元素。如某班全體學(xué)生組成一個(gè)集合，每一個(gè)學(xué)生都是這個(gè)集合的元素，數(shù)字集合中有10個(gè)元素。兩個(gè)集合中可以做加法運(yùn)算，把兩個(gè)集合A、B合并在一起，就組成了一個(gè)新的集合C。計(jì)算集合C的元素的個(gè)數(shù)的思考方法主要是包含與排除：先把A、B的一切元素都“包含”進(jìn)來加在一起，再“排除”A、B兩集合的公共元素的個(gè)數(shù)，減去加了兩次的元素，即：C=A＋B－AB。在解包含與排除問題時(shí)，要善于使用形象的圖示幫助理解題意，搞清數(shù)量關(guān)系的邏輯關(guān)系。有些語言不易表達(dá)清楚的關(guān)系，用了適當(dāng)?shù)膱D形就顯得很直觀、很清楚，因而容易進(jìn)行計(jì)算。典例分析典例分析【典例分析01】五年級(jí)96名學(xué)生都訂了報(bào)紙，有64人訂了少年報(bào)，有48人訂了小學(xué)生報(bào)。兩種報(bào)紙都訂的有多少人？【思路引導(dǎo)】用左邊的圓表示訂少年報(bào)的64人，右邊的圓表示訂小學(xué)報(bào)的48人，中間重疊部分表示兩種報(bào)刊都訂的人數(shù)。顯然，兩種報(bào)刊都訂的人數(shù)被統(tǒng)計(jì)了兩次：64＋48=112人，比總?cè)藬?shù)多112－96=16人，這16人就是兩種報(bào)刊都訂的人數(shù)。【典例分析02】某校教師至少懂得英語和日語中的一種語言。已知有35人懂英語，34人懂日語，兩種語言都懂的有21人。這個(gè)學(xué)校共有多少名教師？【思路引導(dǎo)】把懂英語和懂日語的人數(shù)加起來得35＋34=69人，但是，兩種語言都懂的21人被統(tǒng)計(jì)過兩次，應(yīng)該從69里去掉一個(gè)21才能得出這個(gè)地區(qū)外語教師的總?cè)藬?shù)：69－21=48人?！镜淅治?3】學(xué)校開展課外活動(dòng)，共有250人參加。其中參加象棋組和乒乓球組的同學(xué)不同時(shí)活動(dòng)，參加象棋組的有83人，參加乒乓球組的有86人，這兩個(gè)小組都參加的有25人。問這250名同學(xué)中，象棋組、乒乓球組都不參加的有多少人？【思路引導(dǎo)】兩個(gè)小組都參加的有25人，因此，至少參加這兩種小組的一個(gè)小組的人數(shù)是84＋86－25=144人，所以，這兩個(gè)小組都不參加的人數(shù)是250－144=106人?！镜淅治?4】實(shí)驗(yàn)小學(xué)各年級(jí)都參加的一次書法比賽中，四年級(jí)與五年級(jí)共有20人獲獎(jiǎng)，在獲獎(jiǎng)?wù)咧杏?6人不是四年級(jí)的，有12人不是五年級(jí)的。該校書法比賽獲獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)是多少人？【思路引導(dǎo)】由“16人不是四年級(jí)的”可知：16人是五年級(jí)和其他年級(jí)的；由“12人不是五年級(jí)的”可知：12人是四年級(jí)和其它年級(jí)的。用16＋12可算出四年級(jí)加五年級(jí)以及兩個(gè)其它年級(jí)的人數(shù)和，再減去20就得兩個(gè)其他年級(jí)的人數(shù)，這樣其他年級(jí)的人數(shù)是：（16＋12－20）÷2=4人，該校參加書法比賽獲獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)是4＋20=24人?！镜淅治?5】在100個(gè)外語教師中，懂英語的有75人，懂日語的有45人，其中必然有既懂英語又懂日語的老師。問：只懂英語的老師有多少人？【思路引導(dǎo)】顯然，兩種語言都懂的人在懂英語的75人中統(tǒng)計(jì)過一次，在懂日語的45人中又統(tǒng)計(jì)過一次。因此，75＋45=120人，比100多出的20人就是兩種語言都懂的人數(shù)。然后，從懂英語的75人中減去兩種語言都懂的20人，就是只懂英語的人數(shù)了：75－20=55人。真題演練真題演練一．選擇題（共7小題，滿分14分，每小題2分）1．（2分）（2021春?靈臺(tái)縣期末）學(xué)校開設(shè)兩個(gè)興趣小組，三（3）班42人都報(bào)名參加了活動(dòng)，其中27人參加書畫小組，24人參加棋藝小組，兩個(gè)小組都參加的有（）A．7人 B．8人 C．9人 D．10人2．（2分）（2022秋?徽縣期末）三年級(jí)同學(xué)參加跳繩比賽（如圖），參加這兩個(gè)項(xiàng)目的一共有多少人？下面解答正確的是（）A．25+42 B．25+42+6 C．25+42﹣63．（2分）（2022秋?吉首市期末）同學(xué)們?nèi)?dòng)物園參觀，每人至少參觀了大象館和猴子館中的一個(gè)館，參觀大象館的有10人，參觀猴子館的有15人，兩個(gè)館都參觀的有6人。一共有（）人去動(dòng)物園參觀。A．25 B．19 C．314．（2分）（2022春?裕華區(qū)期末）五（1）班有18名學(xué)生喜歡踢足球，22名學(xué)生喜歡乒乓球，其中有5人既喜歡踢足球又喜歡打乒乓球，有6人既不喜歡踢足球又不喜歡打乒乓球，五（1）班一共有（）名學(xué)生。A．41 B．40 C．455．（2分）（2022春?欒城區(qū)期末）光明小學(xué)五年級(jí)一班有49名同學(xué)。學(xué)校組織同學(xué)報(bào)名參加活動(dòng)，參加音樂活動(dòng)的有36人，參加美術(shù)活動(dòng)的有31人，兩種活動(dòng)都參加的有25人，也有同學(xué)兩種活動(dòng)都沒有參加，都沒有參加的同學(xué)有（）人。A．42 B．5 C．76．（2分）（2021春?大名縣期末）五（一）班有40名學(xué)生，25名學(xué)生參加了音樂小組，23名學(xué)生參加了美術(shù)小組，兩個(gè)小組都參加的學(xué)生有（）名。A．8 B．15 C．17 D．187．（2分）（2022秋?匯川區(qū)期末）某次比賽中三（1）班獲得“閱讀之星”稱號(hào)的有22人，獲得“速算小能手”稱號(hào)的有35人，兩種稱號(hào)都獲得的有15人，全班每人至少獲得了一種稱號(hào)。三（1）班一共有（）人。A．57 B．62 C．42二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）8．（2分）（2022秋?勃利縣期末）三年級(jí)同學(xué)參加跳繩和拍球比賽，參加跳繩比賽的有18人，參加拍球比賽的有12人，兩項(xiàng)比賽都參加的有2人，參加跳繩和拍球比賽的一共有人。9．（2分）（2022秋?曾都區(qū)期末）同學(xué)們?nèi)?dòng)物園游玩，參觀大象館的有38人，參觀熊貓館的有45人，兩個(gè)館都參觀的有15人，參觀大象館和熊貓館的一共有人。10．（2分）（2022秋?金鄉(xiāng)縣期末）三年級(jí)參加兩個(gè)競賽組的人數(shù)如圖，參加繪畫組有人，兩個(gè)組都參加的有人。三年級(jí)一共有人參加了這兩個(gè)組的競賽。11．（2分）（2022春?遷安市期末）五（1）班訂閱《少年文摘》的有19人，訂閱《學(xué)與玩》的有24人，兩種都訂的有13人。問至少訂閱一本雜志的有人。12．（2分）（2022春?正定縣期末）五一班同學(xué)都參加了周六或周日課外活動(dòng)。周六有15人參加，周日有18人參加；兩天都參加的有5人。五一班共有人。13．（2分）（2022春?高邑縣期末）三（2）班參加唱歌興趣小組的有20人，參加舞蹈興趣小組的有15人，兩個(gè)小組都參加的有13人，只參加一個(gè)興趣小組的有人。14．（2分）（2021春?武侯區(qū)期末）一個(gè)學(xué)校，去年會(huì)游泳的學(xué)生比不會(huì)游泳學(xué)生的2倍多60人，今年又有160人學(xué)會(huì)了游泳，這時(shí)會(huì)游泳的學(xué)生正好是不會(huì)游泳學(xué)生的5倍。這個(gè)學(xué)校有學(xué)生人。15．（2分）（2022秋?豐南區(qū)期末）三年級(jí)同學(xué)參加興趣活動(dòng)小組。參加合唱組的有18人，參加舞蹈組的有21人，這兩個(gè)小組都參加的有5人，參加合唱組和舞蹈組的一共有人。16．（2分）（2021秋?貴州期末）三（2）班參加跳繩的有12人，參加踢毽子的有25人，兩項(xiàng)都參加的有8人。三（2）班參加體育活動(dòng)的有人。17．（2分）（2020春?定州市期末）五（1）班有42名學(xué)生，其中28人訂閱了《快樂作文》，20人訂閱了《少年素質(zhì)報(bào)》，兩種刊物都訂閱的有8人，兩種刊物都沒有訂閱的有．三．應(yīng)用題（共11小題，滿分66分，每小題6分）18．（6分）（2022秋?歷城區(qū)期末）某小學(xué)共有學(xué)生540人，在一次自愿參加的線上心理輔導(dǎo)講座活動(dòng)中，共有50人向輔導(dǎo)老師進(jìn)行了提問。提問的人中，有36人用文字進(jìn)行了提問，25人用語音進(jìn)行了提問，那么，既用文字又用語音提問的有多少人？19．（6分）（2022春?涿州市期末）五年級(jí)課后興趣班有36人，其中喜歡踢足球的有19人，喜歡打籃球的有21人，既不喜歡踢足球又不喜歡打籃球的有4人，那么既喜歡踢足球又喜歡打籃球的有幾人？20．（6分）（2021春?鹿城區(qū)校級(jí)期中）一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)只有兩道題，結(jié)果全班有12人全做對，其中第一道題有24人做對，第二道題有20人做錯(cuò)。兩道題都做錯(cuò)的有多少人？21．（6分）（2022?雙峰縣）一次競賽，其中五年級(jí)和六年級(jí)共20人獲獎(jiǎng)，在獲獎(jiǎng)?wù)咧杏?6人不是五年級(jí)的，有12人不是六年級(jí)的，該校有多少人獲獎(jiǎng)？22．（6分）（2020秋?虎林市期末）五年級(jí)一班有40人，他們都參加了英語課外興趣小組或信息技術(shù)課小組，已知參加了英語課外小組的有32位同學(xué)，參加了信息技術(shù)課外小組的有20位同學(xué)，那么，兩個(gè)小組都參加的同學(xué)有多少位？23．（6分）（2021春?合山市期末）六一兒童節(jié)，學(xué)校舉行游園活動(dòng)，五（1）班有25人參加遮眼摸鼻活動(dòng)，還有30人參加投圈活動(dòng)，其中有15人是兩項(xiàng)都參加。觀察下圖，完成填空。（1）圖中字母C表示的是。（2）五（1）班參加兩項(xiàng)活動(dòng)共人。24．（6分）（2022秋?訥河市期末）一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)．全班36人中，做對第一道聰明題的有21人，做對第二道聰明題的有18人，每人至少做對一道題．問兩道都做對的有幾人？25．（6分）（2018?長沙）有77名同學(xué)參加數(shù)學(xué)競賽，分兩張考卷測試，答對A卷得60分，答對B卷得40分，已知考完后有50人答對A卷，60人答對B卷，只有2人A、B卷都答錯(cuò)了，這次考試得40分的有多少人？得60分的有多少人？得100分的有多少人？26．（6分）（2016春?金溪縣校級(jí)期末）五（2）班期中考試中語文優(yōu)秀的有15人，