高等數(shù)學(xué)課件 6-5定積分的應(yīng)用

一、平面圖形的面積二、定積分的元素法三、旋轉(zhuǎn)體的體積四、小結(jié)、作業(yè)定積分的應(yīng)用直角坐標(biāo)系下平面圖形面積的計(jì)算一、平面圖形的面積圖1

如圖1所示圖形的面積可以視作分別以曲邊梯形面積的差。因此為曲邊的兩個(gè)圖2且

類似地可以得到，由連續(xù)曲線

與直線所圍成的平面圖形（如圖2）的面積為例1xy解

所圍成的圖形如圖所示：平面圖形的面積。例2的面積。所圍成的圖形解

所圍成的圖形如圖所示:

則先解聯(lián)立方程組

線的交點(diǎn)坐標(biāo)為

得兩拋物則圖形的面積為解先求兩曲線的交點(diǎn)。例3注意：此題選取縱坐標(biāo)為積分變量，而沒有選取橫坐標(biāo)為積分變量，請思考這時(shí)為什么？若選取橫坐標(biāo)為積分變量能否得到這個(gè)問題的結(jié)果？二、定積分的元素法

在定積分的應(yīng)用中，經(jīng)常采用“元素法”。為了說明這種方法，我們回顧引入定積分的概念時(shí)曾經(jīng)舉的兩個(gè)例子：曲邊梯形的面積、變速直線運(yùn)動(dòng)的路程。這兩個(gè)問題最終都?xì)w結(jié)為定積分的計(jì)算，且它們都滿足下述三個(gè)條件：(2)量

對于區(qū)間

具有可加性；

的近似值可表示為

(3)部分量

有關(guān)的量；

(1)所求的量

是與一個(gè)變量

的變化區(qū)間

一般地，如果一個(gè)量滿足上述三個(gè)條件，我們就可以考慮用定積分來表示這個(gè)量。確定量的積分表達(dá)式的步驟是：

（1）根據(jù)問題的具體情況，選取積分變量并確定其變化區(qū)間。

（2）在區(qū)間上任取一小區(qū)間，求出相應(yīng)于此區(qū)間的所求量的部分量的近似值：

（3）計(jì)算所求量

稱為所求量的元素（或微元）。下面我們利用這一方法來求旋轉(zhuǎn)體的體積。

這個(gè)方法就稱為定積分的元素法（或微元法）。圓柱圓錐圓臺三、旋轉(zhuǎn)體的體積

旋轉(zhuǎn)體——由一個(gè)平面圖形繞同平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這條直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．xyo旋轉(zhuǎn)體的體積公式推導(dǎo)

如圖由于圖形關(guān)于坐標(biāo)軸對稱，故只需考慮其第一象限內(nèi)的曲邊梯形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。

求橢圓分別繞軸與軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。

例4

解（1）繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為：（2）繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為：特別地，當(dāng)時(shí)，得半徑為的球體積

計(jì)算由兩條拋物線，所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。

例5解先解聯(lián)立方程組

得兩拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為

設(shè)由曲線，直線所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為；由曲線

轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為

則所求旋轉(zhuǎn)體的體積為：

直線所