四川省安寧河高中振興聯(lián)盟2024−2025學年高二上學期11月期中聯(lián)考數(shù)學試題含答案

四川省安寧河高中振興聯(lián)盟2024?2025學年高二上學期11月期中聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題（本大題共8小題）1．在空間直角坐標系中，已知向量若則（）A． B． C． D．2．近日，2024中國最具幸福感城市調(diào)查推選活動正式啟動，在100個地級及以上候選城市名單中，成都市入選.“幸福感指數(shù)”是指某個人主觀地評價他對自己目前生活狀態(tài)的滿意程度的指標，常用區(qū)間內(nèi)的一個數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示滿意度越高.現(xiàn)隨機抽取10位成都市居民，他們的幸福感指數(shù)分別為4，4，5，6，7，7，7，8，9，10，則下列說法錯誤的是（

）A．該組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為7.5 B．該組數(shù)據(jù)的極差為6C．該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為7 D．該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7.23．若直線與直線相互平行，則的值為（）A． B． C． D．4．事件發(fā)生的概率為，事件發(fā)生的概率為，若，，，則事件與事件的關系為（）A．互斥 B．對立 C．獨立 D．包含5．如圖，、分別是四面體的邊、的中點，是靠近的三等分點.若向量，，，則（）A． B．C． D．6．在長方體中，，，，則異面直線與的距離是（）A． B． C． D．7．坐位體前屈是中小學體質(zhì)健康測試項目，主要測試學生軀干、腰、髖等部位關節(jié)韌帶和肌肉的伸展性、彈性及身體柔韌性.在對某高中1000名高二年級學生的坐位體前屈成績的調(diào)查中，采用分層隨機抽樣的方法抽取100人，已知這1000名高二年級學生中男生有600人，且抽取的樣本中男生成績的平均數(shù)和方差分別為14.5cm和14.84，女生成績的平均數(shù)和方差分別為15.5cm和17.64.則總體方差（）A． B． C． D．8．已知直線過定點，直線過定點，直線與直線的交點為，則的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列說法正確的是（）A．若，則與是對立事件B．扔兩枚相同的硬幣，恰好一正一反的概率為C．甲、乙、丙三種個體按的比例分層抽樣，如果抽取的乙個體數(shù)為6，則樣本容量為18D．若一組數(shù)據(jù)的方差為16，則另一組數(shù)據(jù)的方差為410．如圖，平行六面體中，，，則下列說法中正確的是（）A．B．異面直線與所成角的正弦值為C．平面D．直線與平面所成角的正切值為11．在空間直角坐標系中，過點，且以為方向向量的空間直線的方程為：；過點，以為法向量的平面的方程為：，則下列說法正確的是（

）A．已知平面，直線，則B．已知平面，直線，則到的距離為C．已知平面，直線，則與所成角的正弦值為D．已知平面，直線（為任意實數(shù)），當且時，三、填空題（本大題共3小題）12．若直線經(jīng)過，則直線的斜率為.13．盒子中有四個大小質(zhì)地完全相同的小球，分別寫有“安”、“寧”、“聯(lián)”、“盟”四個字，有放回地從中任取一個小球，將三次抽取后“聯(lián)”、“盟”兩個字都抽取到記為事件.用隨機模擬的方法估計事件發(fā)生的概率，利用電腦隨機產(chǎn)生整數(shù)四個隨機數(shù)，分別代表“安”、“寧”、“聯(lián)”、“盟”這四個字，以每三個隨機數(shù)為一組，表示取球三次的結果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了以下組隨機數(shù)：233，103，122，320，031，231，133，130，231，001，220，132，021，123，023，230，321，232，由此可以估計，事件發(fā)生的概率為.14．在三棱錐中，平面平面，，，點為的中點，是上的一個動點，則三棱錐外接球表面積的最小值為.

四、解答題（本大題共5小題）15．在2024年法國巴黎奧運會上，中國乒乓球隊包攬了乒乓球項目全部5枚金牌，國球運動再掀熱潮.現(xiàn)有甲、乙兩名運動員進行乒乓球比賽（五局三勝制），其中每局中甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，每局比賽都是相互獨立的.(1)求比賽只需打三局的概率；(2)已知甲在前兩局比賽中獲勝，求甲最終獲勝的概率.16．已知直線過兩點.(1)求直線的一個單位方向向量的坐標及直線的方程；(2)若過點的直線滿足，設直線與軸的正半軸的交點為點，求的面積.17．會理石榴，涼山彝族自治州會理市特產(chǎn).會理石榴果大、色艷、皮薄、粒軟、味濃、有微香、余味長，含有人體所需的多種維生素和氨基酸，可食部分百分率較高，可溶性固性物含量較高，籽?！巴该骶Я寥粽渲椋稘馓鹑绶涿邸?，品質(zhì)佳良.每年月份正是石榴成熟之季，各大網(wǎng)紅、電商紛紛前來會理帶貨石榴.一電商老板收果時要求石榴重量(單位：克)如下：克以下的為次果，克為小果，克為中果，克為大果，克及以上為特大果.為了了解果農(nóng)家石榴情況，在果園里隨機摘取了個石榴稱重量（單位：克）并統(tǒng)計分析，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖（各區(qū)間分別為，，，，）.(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求圖中的值和估計這個石榴的平均重量及第百分位數(shù)(每組數(shù)據(jù)用所在區(qū)間的中點值作代表)(2)此電商老板來收購果農(nóng)家石榴，同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表，用樣本估計總體，該石榴果園中有石榴大約萬個，在今年的石榴行情下，電商老板提出以下兩種收購方案：方案①：所有石榴以元/千克收購；方案②：對重量低于克的石榴以元/個收購，對重量高于或等于克的石榴以元/個收購．請通過計算確定果農(nóng)選擇哪種方案獲利更多？18．如圖（1），在平行四邊形中，，把△ABD沿向上折起得到一個三棱錐如圖（2），且平面平面.(1)求點到平面的距離；(2)求平面與平面的夾角的余弦值.19．如圖，在三棱錐中，，，是線段上的點.

(1)求證：平面平面；(2)若直線與平面所成角為，求的長；(3)若平面，為垂足，直線與平面的交點為，當三棱錐體積最大時，求的值．

參考答案1．【答案】D【詳解】由可得，即，解之可得.故選：D2．【答案】D【詳解】對于A，因為這組數(shù)據(jù)為4，4，5，6，7，7，7，8，9，10，共10個數(shù)，又，所以該組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為，故A正確；對于B，該組數(shù)據(jù)的極差為，故B正確；對于C，易知該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為7，故C正確；對于D，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故D錯誤.故選：D.3．【答案】C【詳解】因為直線與直線相互平行，所以，即，解得或.故選：C.4．【答案】C【詳解】由對立事件的概率公式可得，因為，即，可得，所以，，因此，事件與事件獨立.故選：C.5．【答案】A【詳解】因為是靠近的三等分點，則，所以，，所以，，則，因為為的中點，則，因為為的中點，則，因此，.故選：A.6．【答案】A【詳解】如圖，以為原點，分別以，，為，，軸的正向建立空間直角坐標系，則A2,0,0，，，，，，設直線與的公垂線的方向向量為，則，取，則，，，又，異面直線與的距離是.故選：A.7．【答案】C【詳解】按照分層隨機抽樣，設在男生?女生中分別抽取m名和n名，則，解得，由題意，男生樣本的平均數(shù)為，樣本方差為，女生樣本的平均數(shù)為，樣本方差為，記抽取的總樣本的平均數(shù)為，總樣本的樣本方差為，可得，所以.故選：C.8．【答案】C【詳解】直線的方程可整理為，令，解得，所以，直線的方程可整理為，令，解得，所以，又對于直線與直線，因為，所以，所以兩直線的交點為以為直徑的圓上的點，而，所以，所以，當且僅當時，等號成立，所以.故選：C.9．【答案】CD【詳解】A選項：事件與事件滿足：且，故A選項錯誤；B選項：由古典概型得一正一反的概率為，故B選項錯誤；C選項：分層抽樣也叫按比例抽樣，樣本比例與總數(shù)比例相同，即，C選項正確；D選項：因為，即，所以當時，，D選項正確.故選：CD.10．【答案】ACD【詳解】對于A,首先，..展開.已知，.可得，，.則，所以，A正確.對于B,因為，所以異面直線與所成角等于或其補角.由，.，，，所以.又，.可得，則，B錯誤.對于C,因為平行六面體，所以，..則..因為且，即垂直于平面內(nèi)相交直線和，所以平面.C正確.對于D,，,則由對稱性知道在平面的投影一定在上，則即為直線與平面所成角.由于.兩邊平方則.則.又.則所以，則.且得.又.則.則.D選項正確.故選：ACD.11．【答案】ACD【詳解】A選項：平面，即，則平面的法向量，直線，即，直線的方向向量，則，即，A正確；B：平面過點，法向量，直線過點，方向向量，則，即，則平面，又，則直線到平面的距離，B錯誤；C：平面的法向量，直線，即，方向向量，則，所以與所成角的正弦值為，C正確；D：平面的法向量，直線，過點，方向向量，則，又當且時，點不在平面上，所以，D正確；故選：ACD.12．【答案】43/【詳解】因為直線經(jīng)過，所以直線的斜率為.故答案為：.13．【答案】【詳解】根據(jù)題意可知“聯(lián)”、“盟”兩個字都抽取到，代表三個數(shù)字中同時出現(xiàn)數(shù)字2和3，觀察發(fā)現(xiàn)組隨機數(shù)中有233，320，231，231，132，123，023，230，321，232，共10組，再由古典概型公式計算可得事件發(fā)生的概率為.故答案為：14．【答案】【詳解】因為平面平面，,且平面平面，平面,所以平面，平面,所以.在△中，因為，，∴，，所以以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，過且垂直于平面ABC的直線為軸，建立空間直角坐標系.∵點為的中點，是上的一個動點，∴，，設△的重心為，則，三棱錐外接球的球心為，則，則有，即則，∴，當且僅當，即時，等號成立.設三棱錐外接球半徑為，表面積為，則所以.故答案為：.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設事件=“甲前三局都獲勝”，事件=“乙前三局都獲勝”，則，，比賽只需打三局的概率為：.（2）甲需要打三局的概率為：，甲需要打四局的概率為：，甲需要打五局的概率為：，則甲最終獲勝的概率為：.16．【答案】(1)（也可），(2)【詳解】（1）因為直線過兩點，所以直線的斜率，所以是直線的一個方向向量，則，則取即為直線的一個單位方向向量，（也可），又因為直線的斜率，則直線的方程為，即.（2）因為，所以直線的斜率，，則直線的方程為，即，在方程中，令得，即，所以，由（1）知，所以.17．【答案】(1)，平均重量為克，第百分位數(shù)為克(2)選擇方案②獲利多【詳解】（1）表由題知，解得；平均重量：由頻率分布直方圖可知：前組的頻率之和為，前組的頻率之和為，則第百分位數(shù)一定位于內(nèi)，設第百分位數(shù)為，則，解得；（2）方案①收入：（元），方案②收入：低于克的石榴收入為（元），不低于克的石榴收入為（元），故方案②的收入（元）；由于，所以選擇方案②獲利多．18．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為平面平面，且平面平面，平面，，所以平面.

又因為平面，所以，

再由，平面，所以平面，

又因為平面，所以平面平面.

因此B點到的距離即為所求，因為所以由等面積法，有所以（2）由所在的直線分別為x，y軸，以過點且垂直于平面的直線為z軸建立空間直角坐標系，則.

則，設平面的一個法向量為，由，令，則，可得，

同理可得平面的一個法向量為，

不妨設二面角的夾角為，則所以平面與平面的夾角的余弦值為.19．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）證明：取的中點，連接、，因為，，則，

所以，所以，所以，又因為，所以，則，又因為，所以，又因為，，、平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面.（2）解：因為平面，，