陜西省榆林市定邊縣第四中學(xué)2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷含答案

陜西省榆林市定邊縣第四中學(xué)2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．直線的斜率為（

）A． B． C． D．2．已知向量，若，則（

）A． B．0 C．1 D．23．已知圓與圓，則與的位置關(guān)系為（

）A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．外離4．在長方體中，為棱的中點.若，則等于（

）A． B．C． D．5．兩平行直線與之間的距離為（）A． B． C． D．6．已知曲線，過上任意一點向軸引垂線，垂足為，則線段的中點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．7．過作與圓相切的兩條直線，切點分別為，且，則（

）A．3 B．2 C．1 D．08．如圖，圓柱的母線長和底面直徑相等，分別是下底面圓和上底面圓的直徑，且，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知橢圓的兩個焦點分別為，，P是C上任意一點，則（

）A．長軸長為6 B．兩個焦點的坐標(biāo)分別為，C．的最大值是5 D．的周長為1210．設(shè)，直線的方程為，則（

）A．直線過定點B．若直線在軸上的截距為-2，則在軸上的截距為-23C．直線與圓相交D．點到直線的最大距離為11．在四面體ABCD中，，，，若四面體的體積為，則（

）A．二面角的大小可能為B．二面角的大小可能為C．AC的長可能為2D．AC的長可能為三、填空題（本大題共3小題）12．已知平面的法向量為，平面的法向量為，若α//β，則.13．若圓上恰有2個點到直線的距離等于1，則的取值范圍是.14．設(shè)，分別為橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點，過點且傾斜角為60°的直線與橢圓交于，兩點，若，則橢圓四、解答題（本大題共5小題）15．已知直線經(jīng)過點，直線的方程為.(1)若，求直線的方程；(2)若，求直線的方程.16．已知三點，記的外接圓為.(1)求的方程；(2)若直線與交于兩點，求的面積.17．如圖，在四棱錐中，，，點為棱上一點.

(1)證明：；(2)當(dāng)點為棱的中點時，求直線與平面所成角的正弦值.18．已知橢圓經(jīng)過點A-2,0與點.(1)求橢圓的方程；(2)若直線與橢圓交于異于的，兩點，且.①證明：直線過定點；②求的面積的最大值.19．在空間直角坐標(biāo)系中，定義：過點，且方向向量為的直線的點方向式方程為；過點，且法向量為的平面的點法向式方程為，將其整理為一般式方程為，其中．(1)求經(jīng)過的直線的點方向式方程；(2)已知平面，平面，平面，若，證明：；(3)已知斜三棱柱中，側(cè)面所在平面經(jīng)過三點，，側(cè)面所在平面的一般式方程為，側(cè)面所在平面的一般式方程為，求平面與平面的夾角大?。?/p>

參考答案1．【答案】A【詳解】直線可化為，所以直線的斜率.故選：A.2．【答案】B【詳解】因為，所以，解得.故選：B.3．【答案】D【詳解】易知圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，所以，所以與外離.故選：D.4．【答案】A【詳解】因為長方體中，為棱的中點，所以，故選：A.5．【答案】C【詳解】由題意知，所以，則化為，所以兩平行直線與之間的距離為．故選：C．6．【答案】D【詳解】設(shè)，，，則，由題意可知，即，將點代入，得，即故選：D.7．【答案】A【詳解】

圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，則圓心，半徑，由題意知，解得，負(fù)值舍去，在中，，且，所以，解得故選：A8．【答案】A【詳解】以點為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，所在直線為軸，在底面圓中，過點且垂直于的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，所以，設(shè)異面直線與所成的角為，則.故選：A9．【答案】AC【詳解】橢圓化為，于是，，所以長軸長為，A正確；由方程可知，橢圓C的兩個焦點在y軸上，又，所以兩個焦點的坐標(biāo)分別為，，B錯誤;由橢圓的性質(zhì)知的最大值為，C正確;根據(jù)橢圓的定義知的周長，D錯誤.故選：AC.10．【答案】BCD【詳解】解：對于A項，直線的方程為化為，由解得所以直線恒過定點，A錯誤；對于B項，當(dāng)直線在x軸上的截距為-2時，令，則，解得，此時直線l的方程為，則在軸上的截距為-23，B正確；對于C項，由A項可知直線過點，因為，所以點在圓的內(nèi)部，故直線與圓相交，C正確；對于D項，當(dāng)點與點的連線與垂直時，點到直線的距離最大，且該最大距離為，D正確.故選：BCD.11．【答案】BCD【詳解】過作面于，連接，因為面所以，又，面所以面，則為二面角平面角或其補角，又，其中h為點C到平面ABD的距離，所以，所以，即二面角的大小為（如圖1）或（如圖2），故A錯誤，B正確；因為，，所以．當(dāng)時，；當(dāng)時，，故C，D均正確．故選:BCD．12．【答案】/【詳解】因為α//β，所以，則存在實數(shù)，使，即，解得，所以故答案為：13．【答案】【詳解】，圓心為，半徑，圓心到直線的距離為.恰有2個點到直線的距離等于1，則，即，解得.故答案為：14．【答案】【詳解】由題意，直線過且斜率為，所以直線為：，與橢圓：聯(lián)立消去，得，設(shè)，則，因為，所以，可得，代入上式得，消去并化簡整理得：，將代入化簡得：，解得，因此，該雙曲線的離心率.故答案為：.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，直線的方程為，可設(shè)直線的方程為，將點帶入方程，得，解得，所以直線的方程為.（2）因為，直線的方程為，可設(shè)直線的方程為，將點代入方程，得，解得，所以直線的方程為.16．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)的一般方程為，由題意可知，解得，所以，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）可知，，半徑.則圓心到直線的距離為，所以，故的面積為..17．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因為，所以，所以，又，且平面，所以平面，又平面，所以.（2）因為，所以，則.由（1）可知兩兩垂直，以為原點，以所在直線分別為軸?軸?軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則，當(dāng)點為棱的中點時，.設(shè)平面的一個法向量，則即令，解得，故，設(shè)直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為.18．【答案】(1)(2)①證明見解析；②【詳解】（1）設(shè)橢圓為，因為橢圓經(jīng)過點A-2,0與點，所以，解得，所以橢圓的方程為.（2）①由（1）知，橢圓的方程為，設(shè)，不妨令在軸上方，則，假設(shè)直線斜率不存在，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程，可得，所以解得或（舍去），所以直線方程為；假設(shè)斜率存在，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程，得，所以，，由，可得，解得或，所以直線方程為或，所以直線恒過或（舍去），綜上，直線恒過定點.②由上述可知，當(dāng)直線斜率不存在時，，設(shè)定點為點，則，所以；當(dāng)直線斜率存在時，，則設(shè)方程為，聯(lián)立得，則，，所以，設(shè)，則，所以，由函數(shù)在上單調(diào)遞增知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等，故的面積的最大值為.

19．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【詳解】（1）由得，直線的方向向量為，故直線的點方向式方程為．（2）由平面可知，平面的法向量為，由平面可知，平面的法向量為，設(shè)交線