專題07 平面向量與復(fù)數(shù)（知識梳理+考點精講精練+實戰(zhàn)訓(xùn)練）（含答案解析）

專題07平面向量與復(fù)數(shù)目錄TOC\o"1-2"\h\u明晰學(xué)考要求 1基礎(chǔ)知識梳理 2考點精講講練 6考點一：平面向量的線性運算 6考點二：平面向量的數(shù)量積運算 8考點三：平面向量的坐標(biāo)運算 11考點四：復(fù)數(shù)的概念與幾何意義 14考點五：復(fù)數(shù)的運算 16實戰(zhàn)能力訓(xùn)練 18明晰學(xué)考要求1、了解平面向量的概念；2、掌握平面向量的加減、數(shù)乘運算法則，并了解其幾何意義；3、了解數(shù)量積的定義，會利用運算律和法則進行簡單的數(shù)量積計算；4、了解平面向量基本定理；5、理解復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)相等的充要條件，了解其幾何意義；6、掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算和運算律.基礎(chǔ)知識梳理1、平面向量的有關(guān)概念（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量.向量不能比較大小.（2）向量可以用有向線段eq\o(AB,\s\up6(→))來表示.向量eq\o(AB,\s\up6(→))的大小稱為向量eq\o(AB,\s\up6(→))的長度(或稱模)，記作|eq\o(AB,\s\up6(→))|.向量也可以用字母a，b，c，…表示，或用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示，例如：eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→)).（3）常用概念辨析向量名稱定義零向量長度為0的向量，記作0單位向量長度等于1個單位長度的向量平行向量(共線向量)方向相同或相反的非零向量，向量a，b平行，記作a∥b，規(guī)定：零向量與任意向量平行相等向量長度相等且方向相同的向量；向量a，b相等，記作a＝b相反向量與向量a長度相等，方向相反的向量，記作－a.①單位向量有無數(shù)個，它們大小相等，但方向不一定相同.②若a，b互為相反向量，則a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.③零向量的相反向量仍是零向量.2、平面向量的線性運算（1）加法的三角形法則：如圖，已知非零向量a，b，在平面內(nèi)任取一點A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，則向量eq\o(AC,\s\up6(→))叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).（2）加法的平行四邊形法則：如圖，以同一點O為起點的兩個已知向量a，b，以O(shè)A，OB為鄰邊作?OACB，則以O(shè)為起點的向量eq\o(OC,\s\up6(→))(OC是?OACB的對角線)就是向量a與b的和.（3）向量的減法：已知非零向量a，b，在平面內(nèi)任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(BA,\s\up6(→))＝a－b，如圖所示.即a－b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量.（4）向量的數(shù)乘：①定義：實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，記作λa，它的長度與方向規(guī)定如下：|λa|＝|λ||a|.若，當(dāng)λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0.當(dāng)時，.②數(shù)乘運算的運算律設(shè)λ，μ為實數(shù)，則有：λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb.特別地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb，λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.③若λa＝0，則λ＝0或a＝0；當(dāng)a≠0時，向量eq\f(a,|a|)是與向量a同向的單位向量.3、向量的數(shù)量積（1）平面向量的夾角①定義：已知兩個非零向量a，b，O是平面上的任意一點，作向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角.②特例：當(dāng)θ＝0時，a與b同向；當(dāng)θ＝π時，a與b反向.如果a與b的夾角是eq\f(π,2)，我們說a與b垂直，記作a⊥b.（2）平面向量數(shù)量積①定義：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，把數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.②向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a，b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則a·e＝e·a＝|a|cos__θ.a⊥b?a·b＝0.當(dāng)a與b同向時，a·b＝|a||b|；當(dāng)a與b反向時，a·b＝－|a||b|，特別地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).|a·b|≤|a|·|b|(當(dāng)且僅當(dāng)向量a，b共線時，等號成立).cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).（3）投影的概念設(shè)與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，則a在b上的投影向量eq\o(OM1,\s\up6(→))＝|a|cos__θ__e.（4）向量數(shù)量積的運算律a·b＝b·a(交換律)，(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結(jié)合律)，(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).①a·b＝b·c推不出a＝c；②(a·b)c≠a(b·c)，它們表示不同的向量.4、共線向量定理與共面向量基本定理（1）向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)λ，使b＝λa.（2）平面向量基本定理條件e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量結(jié)論對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2基底若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底5、向量的坐標(biāo)表示（1）向量的坐標(biāo)：在平面直角坐標(biāo)系中，以原點O為起點作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj，則向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐標(biāo)(x，y)就是終點A的坐標(biāo)；反過來，終點A的坐標(biāo)(x，y)也就是向量a的坐標(biāo).（2）加減運算的坐標(biāo)表示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a±b＝(x1±x2，y1±y2).（3）數(shù)乘運算的坐標(biāo)表示：a＝(x，y)，λ∈R，則λa＝(λx，λy).（4）數(shù)量積的坐標(biāo)表示：兩個非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.（5）向量共線、垂直的坐標(biāo)表示：設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共線的充要條件是的充要條件是x1y2－x2y1＝0.設(shè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.（6）夾角、模的坐標(biāo)表示：若a＝(x，y)，則|a|2＝x2＋y2，|a|＝eq\r(x2＋y2)；兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)間的距離公式|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)；兩向量夾角的余弦公式：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a與b的夾角，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).6、復(fù)數(shù)的概念（1）復(fù)數(shù)的代數(shù)形式為z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a與b分別叫做復(fù)數(shù)z的實部與虛部.①i2＝－1，②a，b∈R.（2）復(fù)數(shù)的分類：設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R).①z為實數(shù)?b＝0，②z為虛數(shù)?b≠0，③z為純虛數(shù)?a＝0且b≠0.（3）復(fù)平面中的x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸.實軸上的點都表示實數(shù)；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù).（4）復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點組成的集合是一一對應(yīng)的，即復(fù)數(shù)z＝a＋bi復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b)，這是復(fù)數(shù)的一種幾何意義.（5）復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(a，b∈R).（6）共軛復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的共軛復(fù)數(shù)eq\o(z,\s\up6(－))＝a－bi.7、復(fù)數(shù)的運算（1）加減運算①設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意兩個復(fù)數(shù)，那么(a＋bi)±(c＋di)＝(a＋c)±(b＋d)i；②運算律：對任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).（2）乘除運算：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意兩個復(fù)數(shù)，則z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i，(a＋bi)÷(c＋di)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i.考點精講講練考點一：平面向量的線性運算【典型例題】例題1．（2023高三·江蘇·學(xué)業(yè)考試）已知是邊長為2的等邊三角形，分別是邊的中點，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的運算法則得到ABC錯誤，，D正確，得到答案.【詳解】對選項A：，錯誤；對選項B：，錯誤；對選項C：，錯誤；對選項D：，正確.故選：D例題2．（2023高三上·江蘇徐州·學(xué)業(yè)考試）在中，已知為的中點，為的中點，則為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平面向量的線性運算求得正確答案.【詳解】.故選：B例題3．在中，為的中點，為的中點，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的加法、減法和數(shù)乘運算表示所求向量即可.【詳解】因為為中點，為中點，所以.故選：B.【即時演練】1．如圖，平行四邊形中，是邊上的一點，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量線性運算化簡求解即可.【詳解】，故A錯誤；，故B正確；，故C錯誤；，故D錯誤.故選：B2.如圖，四邊形是菱形，下列結(jié)論正確的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量相等的概念及向量的加法法則判斷選項即可.【詳解】因為四邊形是菱形，所以根據(jù)向量加法的平行四邊形法則知，，，故C對D錯；因為向量方向不同，所以，，故AB錯誤.故選：C3.如圖，在矩形中，（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的加法法則計算即得.【詳解】在矩形中，.故選：B.考點二：平面向量的數(shù)量積運算【典型例題】例題1．（2024江蘇省揚州市學(xué)業(yè)水平考試模擬）已知，且，則等于（

）A．5 B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量垂直得出其數(shù)量積為0，即可根據(jù)向量的模長求法得出答案.【詳解】，，，故選：A.例題2.（2023高三上·江蘇徐州·學(xué)業(yè)考試）在平行四邊形中，是線段的中點，則（

）A．1 B．4 C．6 D．7【答案】A【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積運算求得正確答案.【詳解】.故選：A例題3．（2022高三上·江蘇徐州·學(xué)業(yè)考試）如圖，在邊長為3的正中，D，E分別在AC，AB上，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合平面向量的線性運算得到，進而根據(jù)平面向量的數(shù)量積的定義即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以又因為正邊長為3，所以，，故故選：C.【即時演練】1.如圖，是邊長為2的等邊三角形，則（

）A．4 B． C．2 D．【答案】C【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義進行運算即可.【詳解】因為是邊長為2的等邊三角形，所以，所以.故選：C2.已知向量滿足，，則（）A． B．6 C． D．5【答案】C【分析】利用平面向量數(shù)量積的運算律計算即得.【詳解】向量滿足，，所以.故選：C3．在邊長為3的菱形ABCD中，，，則=（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)、定義，結(jié)合平面向量基本定理進行求解即可.【詳解】因為，，菱形ABDC邊長為3，，所以，故選：C.考點三：平面向量的坐標(biāo)運算【典型例題】例題1．（2024高二·江蘇·學(xué)業(yè)考試）已知兩點，與平行，且方向相反的向量可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出向量的坐標(biāo)，利用平面向量共線的基本定理可得出結(jié)論.【詳解】由，得，對于A：，故A項正確；對于B：設(shè)，即，無解，故B項錯誤；對于C：設(shè)，即，無解，故C項錯誤；對于D：設(shè)，即，無解，故D項錯誤；故選：A.例題2.（2024江蘇省揚州市學(xué)業(yè)水平考試模擬）已知，，若，則（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】利用平面向量平行的坐標(biāo)表示即可得解.【詳解】因為，，，所以，解得.故選：C.例題3．（2023高三·江蘇·學(xué)業(yè)考試）已知向量，則實數(shù)（

）A． B．0 C．1 D．或1【答案】D【分析】求出的坐標(biāo)表示，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示，可列方程，即可求得答案.【詳解】由已知向量，可得，由可得，即，解得，故選：D例題4．（江蘇省徐州市2024屆高三上學(xué)期合格考試學(xué)情調(diào)研）已知向量．若，則實數(shù)（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】先求出，再利用平行關(guān)系即可求出.【詳解】由題，因為，所以.故選：A．【即時演練】1．（2022高三上·江蘇徐州·學(xué)業(yè)考試）已知，若，則實數(shù)x=（

）A．8 B．-2 C．2 D．-8【答案】D【分析】根據(jù)平面向量垂直的充要條件即可求解.【詳解】因為，且，所以，解得：，故選：.2.若向量，則的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量線性運算得坐標(biāo)公式計算即可.【詳解】因為，所以.故選：D.3．已知，若，則的值為（

）A．-2 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示，列式求解，即得答案.【詳解】由題意知，，故，所以，故選：D考點四：復(fù)數(shù)的概念與幾何意義【典型例題】例題1．（2023高三上·江蘇徐州·學(xué)業(yè)考試）復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，可得復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限.故選：D.例題2．（2023高三·江蘇·學(xué)業(yè)考試）已知，則（

）A．3 B．4 C． D．10【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計算公式，即可求得答案.【詳解】因為，所以.故選：C.例題3．（2024高二上·江蘇揚州·學(xué)業(yè)考試）已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則為（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模長公式求出答案.【詳解】.故選：A例題4．（江蘇省南京市金陵中學(xué)2022屆高三學(xué)業(yè)水平選擇性模擬考前最后一卷）已知復(fù)數(shù)滿足，復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)模的三角不等式可求得的最大值.【詳解】由已知，由復(fù)數(shù)模的三角不等式可得.故選：D.【即時演練】1．復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的模為（

）A．3 B．5 C．4 D．7【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計算公式計算即可.【詳解】.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)虛部的定義進行求解即可.【詳解】因為復(fù)數(shù)，所以的虛部為.故選：D.3．在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】，對應(yīng)的點，位于第二象限.故選：B考點五：復(fù)數(shù)的運算【典型例題】例題1．（2023江蘇省徐州市高三上學(xué)期學(xué)業(yè)合格模擬考試）復(fù)數(shù)（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算，即可化簡，求得答案.【詳解】由復(fù)數(shù)四則運算規(guī)律知，故選D.【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運算，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的除法運算的法則，準(zhǔn)確運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.例題2．（2024高三上·江蘇南京·學(xué)業(yè)考試）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z在第二象限，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點所在象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，利用復(fù)數(shù)的除法運算求出即可判斷得解.【詳解】由在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z在第二象限，設(shè)，則，顯然，所以點在第一象限，A正確.故選：A.例題3．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】利用求出模長.【詳解】.故選：A.【即時演練】1．已知復(fù)數(shù)，則的虛部是（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的除法求出復(fù)數(shù)，可得復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】復(fù)數(shù)，則的虛部是2.故選：C.2.i為虛數(shù)單位，若，則（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算及復(fù)數(shù)的模求解.【詳解】因為，所以，即，所以，故選：A3．復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．i【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算求得正確答案.【詳解】由于，所以.故選：D實戰(zhàn)能考點精講講練力訓(xùn)練1.如圖，O是正六邊形的中心，下列向量中，與是平行向量的為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行向量的定義判斷即可.【詳解】方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共線向量.由圖可知，與方向相反，因此是平行向量.故選：C.2.已知為虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù)，則（

）A．1 B．4 C． D．【答案】B【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)的加法計算即可.【詳解】因為，所以.故選：B.3.已知向量，則（

）A．2 B． C．10 D．【答案】A【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示計算即可求解.【詳解】由題意知，.故選：A.4.若，，（

）A．10 B． C． D．【答案】B【分析】先求得，進而可得模長.【詳解】因為，，則，所以.故選：B.5.已知平面向量.若，則實數(shù)的值是（

）A．4 B．1 C