2024年新高一數(shù)學初升高銜接《同角三角函數(shù)的基本關系》含答案解析

數(shù)學PAGE1數(shù)學第24講同角三角函數(shù)的基本關系模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1．理解并掌握同角三角函數(shù)基本關系式的推導及應用；2．會利用同角三角函數(shù)的基本關系進行化簡、求值與恒等式證明.知識點1同角三角函數(shù)的基本關系1、同角三角函數(shù)的基本關系基本關系基本關系式語言描述平方關系同一個角的正弦、余弦的平方和等于1商數(shù)關系同一個角QUOTE的正弦、余弦的商等于角QUOTE的正切2、基本關系式的要點剖析（1）“同角”有兩層含義，一是“角相同”；二是對“任意”一個角(在使函數(shù)有意義的前提下)關系式都成立，即與角的表達形式無關，如成立，但是就不一定成立．（2）是的簡寫，讀作“的平方”，不能將寫成，前者是的正弦的平方，后者是的正弦，兩者是不同的，要弄清它們的區(qū)別，并能正確書寫．（3）注意同角三角函數(shù)的基本關系式都是對于使它們有意義的角而言的，對一切恒成立，而僅對成立．知識點2關系式的常用等價變形1、2、【注意】使用變形公式，時，“±”由的終邊所在的象限來確定，而對于其他形式的變形公式則不必考慮符號問題．知識點3基本關系式常用解題方法1、已知某個三角函數(shù)值求其余三角函數(shù)值的步驟第一步：由已知三角函數(shù)的符號，確定其角終邊所在的象限；第二步：依據(jù)角的終邊所在象限分類討論；第三步：利用同角三角函數(shù)關系及其變形公式，求出其余三角函數(shù)值。2、三角函數(shù)式的化簡技巧①化切為弦，即把正切函數(shù)都化為正、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱，達到化繁為簡的目的．②對于含有根號的，常把根號里面的部分化成完全平方式，然后去根號達到化簡的目的．③對于化簡含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或構(gòu)造＋＝1，以降低函數(shù)次數(shù)，達到化簡的目的．3、三角函數(shù)恒等式證明證明三角恒等式的過程，實質(zhì)上是化異為同的過程，證明恒等式常用以下方法：①證明一邊等于另一邊，一般是由繁到簡．②證明左、右兩邊等于同一個式子(左、右歸一)．③比較法：即證左邊－右邊＝0或eq\f(左邊,右邊)＝1(右邊≠0)．④證明與已知等式等價的另一個式子成立，從而推出原式成立．考點一：sina、cosa、tana知一求二例1．（23-24高一上·湖南株洲·月考）已知，是第三象限角，則（

）A． B． C． D．【變式1-1】（23-24高一下·河南南陽·月考）已知是第二象限角，且，則（

）A． B． C． D．【變式1-2】（23-24高一下·北京·月考）已知，且，則（

）A． B． C． D．【變式1-3】（23-24高一下·山西臨汾·月考）已知為第三象限角，，則（

）A． B． C． D．考點二：sina、cosa齊次式的求值例2.（23-24高一下·山東濟寧·月考）已知，則等于（

）A． B． C． D．【變式2-1】（23-24高一下·上?！ぴ驴迹┤簦瑒t（）A． B． C． D．【變式2-2】（23-24高一上·浙江湖州·月考）已知，則.【變式2-3】（23-24高一上·全國·課時練習）已知，求：（1）；（2）.考點三：sina·cosa、sina±cosa關系例3.（22-23高一上·浙江杭州·期末）已知，則的值為（

）A． B． C． D．不存在【變式3-1】（23-24高一下·遼寧沈陽·月考）已知，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C． D．【變式3-2】（22-23高一下·遼寧沈陽·月考）已知在中，，則（

）A． B． C． D．【變式3-3】（23-24高一上·安徽合肥·月考）已知關于的一元二次不等式的解集中有且只有一個元素，(1)計算的值；(2)計算的值.考點四：三角函數(shù)式的化簡求值例4.（23-24高一上·四川成都·月考）化簡：.【變式4-1】（2024高一上·全國·專題練習）化簡：【變式4-2】（2023高一上·河北保定·競賽）化簡(1)；(2)已知是第三象限角，化簡【變式4-3】（2023高一上·江蘇·專題練習）化簡：(1)－；(2)；(3)．考點五：三角恒等式的證明例5.（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）求證：．【變式5-1】（23-24高一上·全國·專題練習）求證：.【變式5-2】（21-22高一上·甘肅蘭州·期末）求證：(1)；(2).【變式5-3】（22-23高一·全國·隨堂練習）求證：(1)；(2)；(3)．一、單選題1．（23-24高一上·山東濟寧·月考）已知，則的值為（

）A． B． C． D．2．（23-24高一下·安徽蚌埠·月考）已知為第二象限角，且，則（

）A． B． C． D．3．（23-24高一下·遼寧沈陽·期中）化簡的結(jié)果是（

）A． B． C． D．4．（22-23高一下·湖北黃岡·月考）已知，且，則的值為（

）A． B． C． D．5．（23-24高一下·四川成都·期末）已知，則的值為（

）A． B． C． D．6．（22-23高一下·河南·月考）已知，則（

）A． B． C． D．2二、多選題7．（23-24高一上·新疆·月考）若是第二象限角，則下列各式中成立的是（

）A． B．C． D．8．（23-24高一上·河北邯鄲·月考）已知，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題9．（22-23高一下·新疆和田·月考）已知是第四象限角，且，那么tanθ的值為10．（23-24高一上·四川雅安·月考）已知，則．11．（23-24高一下·廣東深圳·月考）若，則四、解答題12．（23-24高一上·山東濟寧·月考）已知角的終邊經(jīng)過點，(1)求的值；(2)若是方程的兩個根，求的值.13．（23-24高一上·湖北荊門·期末）已知(1)化簡；(2)若為第三象限角，且，求，.第24講同角三角函數(shù)的基本關系模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1．理解并掌握同角三角函數(shù)基本關系式的推導及應用；2．會利用同角三角函數(shù)的基本關系進行化簡、求值與恒等式證明.知識點1同角三角函數(shù)的基本關系1、同角三角函數(shù)的基本關系基本關系基本關系式語言描述平方關系同一個角的正弦、余弦的平方和等于1商數(shù)關系同一個角QUOTE的正弦、余弦的商等于角QUOTE的正切2、基本關系式的要點剖析（1）“同角”有兩層含義，一是“角相同”；二是對“任意”一個角(在使函數(shù)有意義的前提下)關系式都成立，即與角的表達形式無關，如成立，但是就不一定成立．（2）是的簡寫，讀作“的平方”，不能將寫成，前者是的正弦的平方，后者是的正弦，兩者是不同的，要弄清它們的區(qū)別，并能正確書寫．（3）注意同角三角函數(shù)的基本關系式都是對于使它們有意義的角而言的，對一切恒成立，而僅對成立．知識點2關系式的常用等價變形1、2、【注意】使用變形公式，時，“±”由的終邊所在的象限來確定，而對于其他形式的變形公式則不必考慮符號問題．知識點3基本關系式常用解題方法1、已知某個三角函數(shù)值求其余三角函數(shù)值的步驟第一步：由已知三角函數(shù)的符號，確定其角終邊所在的象限；第二步：依據(jù)角的終邊所在象限分類討論；第三步：利用同角三角函數(shù)關系及其變形公式，求出其余三角函數(shù)值。2、三角函數(shù)式的化簡技巧①化切為弦，即把正切函數(shù)都化為正、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱，達到化繁為簡的目的．②對于含有根號的，常把根號里面的部分化成完全平方式，然后去根號達到化簡的目的．③對于化簡含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或構(gòu)造＋＝1，以降低函數(shù)次數(shù)，達到化簡的目的．3、三角函數(shù)恒等式證明證明三角恒等式的過程，實質(zhì)上是化異為同的過程，證明恒等式常用以下方法：①證明一邊等于另一邊，一般是由繁到簡．②證明左、右兩邊等于同一個式子(左、右歸一)．③比較法：即證左邊－右邊＝0或eq\f(左邊,右邊)＝1(右邊≠0)．④證明與已知等式等價的另一個式子成立，從而推出原式成立．考點一：sina、cosa、tana知一求二例1．（23-24高一上·湖南株洲·月考）已知，是第三象限角，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，是第三象限角，.故選：A.【變式1-1】（23-24高一下·河南南陽·月考）已知是第二象限角，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因是第二象限角，且，故，則.故選：B.【變式1-2】（23-24高一下·北京·月考）已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，，得，則，所以.故選：B【變式1-3】（23-24高一下·山西臨汾·月考）已知為第三象限角，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，解得，因為為第三象限角，所以，故選：C.考點二：sina、cosa齊次式的求值例2.（23-24高一下·山東濟寧·月考）已知，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得.故選：A【變式2-1】（23-24高一下·上?！ぴ驴迹┤?，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以.故選：D【變式2-2】（23-24高一上·浙江湖州·月考）已知，則.【答案】5【解析】因為，解得，所以.故答案為：5.【變式2-3】（23-24高一上·全國·課時練習）已知，求：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）【解析】（1）；（2）=.考點三：sina·cosa、sina±cosa關系例3.（22-23高一上·浙江杭州·期末）已知，則的值為（

）A． B． C． D．不存在【答案】B【解析】，由，則，解得，由三角函數(shù)的值域可知，不成立，故.故選：B【變式3-1】（23-24高一下·遼寧沈陽·月考）已知，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，得，解得，對于A，，則，，A正確；對于D，，D正確；對于B，由，，得，B錯誤；對于C，，C正確.故選：B【變式3-2】（22-23高一下·遼寧沈陽·月考）已知在中，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，則，可得，又，則，即，可得，又因為，所以.故選：B.【變式3-3】（23-24高一上·安徽合肥·月考）已知關于的一元二次不等式的解集中有且只有一個元素，(1)計算的值；(2)計算的值.【答案】(1)；(2)【解析】（1）由已知，關于的不等式的解集中有且只有一個元素，，則..（2），，.考點四：三角函數(shù)式的化簡求值例4.（23-24高一上·四川成都·月考）化簡：.【答案】1【解析】.故答案為：1.【變式4-1】（2024高一上·全國·專題練習）化簡：【答案】.【解析】解析：＝【變式4-2】（2023高一上·河北保定·競賽）化簡(1)；(2)已知是第三象限角，化簡【答案】(1)1；(2)【解析】（1）由.（2）因為是第三象限角，可得，，則.【變式4-3】（2023高一上·江蘇·專題練習）化簡：(1)－；(2)；(3)．【答案】(1)；(2)1；(3)．【解析】（1）原式＝.（2）原式＝（3）原式＝考點五：三角恒等式的證明例5.（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）求證：．【答案】證明見解析【解析】因為左邊，右邊．所以．【變式5-1】（23-24高一上·全國·專題練習）求證：.【答案】證明見解析【解析】所以原等式成立．【變式5-2】（21-22高一上·甘肅蘭州·期末）求證：(1)；(2).【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析【解析】（1）證明：左邊==右邊.（2）證明：左邊==右邊.【變式5-3】（22-23高一·全國·隨堂練習）求證：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)證明見解析.【解析】（1）.故成立.（2）故成立.（3）.故成立.一、單選題1．（23-24高一上·山東濟寧·月考）已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，故選：C2．（23-24高一下·安徽蚌埠·月考）已知為第二象限角，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為為第二象限角，且，所以，所以，故選：B3．（23-24高一下·遼寧沈陽·期中）化簡的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】,而，故，故，故選：C4．（22-23高一下·湖北黃岡·月考）已知，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，則，，又，∴，∴，故選：B．5．（23-24高一下·四川成都·期末）已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，因為，所以.故選：B.6．（22-23高一下·河南·月考）已知，則（

）A． B． C． D．2【答案】B【解析】∵，∴則.故選：B二、多選題7．（23-24高一上·新疆·月考）若是第二象限角，則下列各式中成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】由是第二象限角，得，，，對于A，，即有，A錯誤；對于B，由，即，得，