山東省聊城市東昌府區(qū)文苑中學2024-2025學年九年級上學期第一次調研數(shù)學試卷

2024-2025學年山東省聊城市東昌府區(qū)文苑中學九年級（上）第一次調研數(shù)學試卷一、選擇題：本題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列圖形中，不是相似圖形的一組是(

)A. B.

C. D.2.已知為銳角，且，則等于(

)A. B. C. D.3.如圖，在中，D、E分別是AB、AC上的點，，BE與CD相交于F，則下列結論一定正確的是(

)A.

B.

C.

D.4.在中，，已知a和，則下列關系式中正確的是(

)A. B. C. D.5.如圖，已知，那么添加下列一個條件后，不能判定∽的是A.

B.

C.

D.6.如圖，以點O為位似中心，把放大為原圖形的2倍得到以下說法中錯誤的是(

)A.∽

B.點A、O、三點在同一直線上

C.

D.BO：：27.如圖，三個頂點的坐標分別為，，，以原點O為位似中心，把這個三角形縮小為原來的，得到，則點B的對應點為，則的坐標為(

)A.

B.

C.或

D.或8.如圖，在中，，，延長CB到D，使，連接AD，則(

)A. B. C. D.9.如圖，在平行四邊形ABCD中，E是DC上的點，DE：：2，連接AE交BD于點F，則與的面積之比為(

)

A.4：40 B.9：40 C.4：25 D.9：2510.如圖，在的正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點，的頂點均在格點上.則的值是(

)A.

B.

C.

D.11.如圖，在矩形ABCD中，點E在DC上，將矩形沿AE折疊，使點D落在BC邊上的點F處．若，，則的值為(

)

A. B. C. D.12.如圖，，點在射線OA上，且，過點作交射線OB于，在射線OA上截取，使；過點作交射線OB于，在射線OA上截取，使按照此規(guī)律，線段的長為(

)A. B. C. D.二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。13.在中，，，，則______.14.中，若，則______度．15.如圖，同一時刻在陽光照射下，樹AB的影子，小明的影子，已知小明的身高，則樹高______.16.如圖，在中，，，點P從點B開始沿BA邊向點A以每秒2cm的速度移動，點Q從點A開始沿AC邊向點C以每秒4cm的速度移動．如果P、Q分別從B、A同時出發(fā)，經過______秒鐘與相似？

17.如圖，CE是平行四邊形ABCD的邊AB的垂直平分線，垂足為點O，CE與DA的延長線交于點連接AC，BE，DO，DO與AC交于點F，則下列結論：①四邊形ACBE是菱形；②；③AF：：3；④：：其中結論正確的結論有______填寫所有正確結論的序號三、解答題：本題共7小題，共69分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。18.本小題8分

計算：

；

19.本小題9分

如圖，在中，，，，求AB和BC的長結果保留根號20.本小題9分

如圖，的頂點坐標分別為，，

作出先向左平移4個單位，再向上平移1個單位后得到的；

在第三象限內，以點O為位似中心作出的位似圖形，使新圖與原圖的位似比為2：1，并寫出、、的坐標.21.本小題9分

已知：如圖在中，，高，它的內接矩形點E在邊AB上，點H、G在邊BC上，點F在邊AC上，F(xiàn)G與EF邊之比為1：2，求EF的長.22.本小題10分

如圖，，，E是BC上一點，使得

求證：∽；

若，，求CD的長.23.本小題12分

學習了相似三角形相關知識后，小明和同學們想利用“標桿”測量大樓的高度．如圖，小明站立在地面點F處，他的同學在點B處豎立“標桿”AB，使得小明的頭頂點E、桿頂點A、樓頂點C在一條直線上點F、B、D也在一條直線上已知小明的身高米，“標桿”米，且米，米．

求大樓的高度CD為多少米垂直地面？

小明站在原來的位置，同學們通過移動標桿，可以用同樣的方法測得樓CD上點G的高度米，那么相對于第一次測量，標桿AB應該向大樓方向移動多少米？

24.本小題12分

某學校“智慧方園”數(shù)學社團遇到這樣一個題目：

如圖1，在中，點O在線段BC上，，，，BO：：3，求AB的長．

經過社團成員討論發(fā)現(xiàn)，過點B作，交AO的延長線于點D，通過構造就可以解決問題如圖

請回答：______，______.

請參考以上解決思路，解決問題：

如圖3，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，，，，BO：：3，求DC的長．

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：A、形狀相同，但大小不同，符合相似形的定義，故不符合題意；

B、形狀相同，但大小不同，符合相似形的定義，故不符合題意；

C、形狀相同，但大小不同，符合相似形的定義，故不符合題意；

D、形狀不相同，不符合相似形的定義，故符合題意；

故選：

根據相似圖形的定義，對選項進行一一分析，排除錯誤答案．

本題考查的是相似形的定義，結合圖形，即圖形的形狀相同，但大小不一定相同的變換是相似變換．2.【答案】A

【解析】解：，

，

故選：

根據特殊角的三角函數(shù)值可得，進而可得的值．

此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，關鍵是掌握、、角的各種三角函數(shù)值．3.【答案】B

【解析】解：，

∽，

，故A不正確，B正確，

，

∽，

，故C、D不正確，

故選：

根據，得∽，∽，再利用相似三角形對應邊成比例即可．

本題主要考查了相似三角形的判定與性質，熟練掌握相似三角形的對應邊成比例是解題的關鍵．4.【答案】B

【解析】解：在中，，

，，，

，，，

故選：

利用直角三角形的邊角關系進行計算，逐一判斷即可解答．

本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握直角三角形的邊角關系是解題的關鍵．5.【答案】D

【解析】解：，

，

A、添加，可用兩角法判定∽，故本選項不符合題意；

B、添加，可用兩角法判定∽，故本選項不符合題意；

C、添加，可用兩邊及其夾角法判定∽，故本選項不符合題意；

D、添加，不能判定∽，故本選項符合題意；

故選：

先根據求出，再根據相似三角形的判定方法解答．

本題主要考查了相似三角形的判定：①如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似；②如果兩個三角形的兩條對應邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；③如果兩個三角形的兩個對應角相等，那么這兩個三角形相似．6.【答案】D

【解析】解：以點O為位似中心，把放大為原圖形的2倍得到，

∽，點A、O、三點在同一直線上，，，

選項A、B、C說法正確，不符合題意；

，

∽，

，

：：3，故選項D說法錯誤，符合題意；

故選：

根據位似圖形的概念、相似三角形的性質判斷即可．

本題考查的是位似變換的概念，兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形．7.【答案】C

【解析】解：以原點O為位似中心，把這個三角形縮小為原來的，，

的坐標為或，

即的坐標為或，

故選：

根據位似變換的性質解答即可．

本題考查的是位似變換的性質，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或8.【答案】A

【解析】解：，，

是等腰直角三角形，

，

，

，

，

，

，

設，則，

，

故選：

設，則，根據計算即可．

本題考查解直角三角形的應用，解題的關鍵是學會用轉化的思想思考問題，學會把問題轉化為特殊角，屬于中考?？碱}型．9.【答案】B

【解析】解：在平行四邊形ABCD中，E是DC上的點，DE：：2，

，

：：5，

∽，

：：5，

：：25，

：：：：：15，

：：40，

故選：

可證明∽，根據相似三角形的面積之比等于相似比的平方可得出：：25，又根據：：3即可得出答案．

本題考查了相似三角形的判定與性質，平行四邊形的性質，解答本題的關鍵要明確：相似三角形的面積之比等于相似比的平方．10.【答案】A

【解析】解：延長AC至格點D，連接BD，如圖，

由題意得：

，，，

，

，

故選：

延長AC至格點D，連接BD，利用勾股定理及其逆定理得到為直角三角形，，在中，利用直角三角形的邊角關系定理解答即可．

本題主要考查了解直角三角形，直角三角形的邊角關系定理，延長AC至格點D，連接BD，利用勾股定理及其逆定理得到為直角三角形是解題的關鍵．11.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，翻折變換，矩形的性質，勾股定理，靈活運用這些性質進行推理是本題的關鍵．

先根據矩形的性質得，，再根據折疊的性質得，，在中，利用勾股定理計算出，則，設，則，然后在中根據勾股定理得到，解方程即可得到x，進一步得到EF的長，再根據正切的定義即可求解．

【解答】

解：四邊形ABCD為矩形，

，，

矩形ABCD沿直線AE折疊，頂點D恰好落在BC邊上的F處，

，，

在中，，

，

設，則，

在中，

，

，

解得，

，

，

故選：12.【答案】B

【解析】解：，且，，

，

，

同理：，

，

，

同理：，

；

……，

線段的長為：，

故選：

根據直角三角形的性質，先求出前幾個水平線段的長，找出規(guī)律再求解．

本題考查了圖形的變化類，找到變化規(guī)律是解題的關鍵．13.【答案】

【解析】解：如圖所示：，，，

，

故答案為：

根據題意畫出圖形，進而利用勾股定理得出AB的長，再利用銳角三角函數(shù)關系，即可得出答案．

此題主要考查了銳角三角函數(shù)關系以及勾股定理，得出AB的長是解題關鍵．14.【答案】105

【解析】解：由題意知，，

，，

，

根據非負數(shù)的性質可求出和的值，根據特殊角的三角函數(shù)值，求出和的值，再根據三角形的內角和是180度，求出的值．

本題考查了非負數(shù)的性質、特殊角的三角函數(shù)值、三角形內角和定理．

初中階段有三種類型的非負數(shù)：①絕對值；②偶次方；③二次根式算術平方根當它們相加和為0時，必須滿足其中的每個部分都等于15.【答案】

【解析】解：根據題意得，即，

所以

故答案為

利用同一時刻物體的高度與其影長成正比得到，然后利用比例性質求出AB即可．

本題考查了平行投影：由平行光線形成的投影是平行投影，如物體在太陽光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物體與投影面平行時的投影是全等的．16.【答案】或2

【解析】解：設經過t秒兩三角形相似，

則，，

①AP與AB是對應邊時，與相似，

，

即，

解得，

②AP與AC是對應邊時，與相似，

，

即，

解得，

綜上所述，經過或2秒鐘，與相似．

故答案為：或

設經過t秒兩三角形相似，分別表示出AP、AQ，然后分①AP與AB是對應邊，②AP與AC是對應邊兩種情況，利用相似三角形對應邊成比例列式求解即可．

本題考查了相似三角形的對應邊成比例的性質，注意要分對應邊的不同進行分情況討論求解，避免漏解而導致出錯．17.【答案】①②

【解析】解：CE是平行四邊形ABCD的邊AB的垂直平分線，垂足為點O，

，，，，

，

∽，

，

，，

，，

四邊形ACBE是平行四邊形，

，

四邊形ACBE是菱形，

故①選項正確，符合題意；

，，

，

，

故②選項正確，符合題意；

，

∽，

，

，

故③選項錯誤，不符合題意；

設的面積為a，則的面積為2a，的面積為4a，的面積的面積，

的面積為6a，

：：2，

故④選項錯誤，不符合題意，

故答案為：①②．

根據菱形的判定方法、相似三角形的判定和性質、直角三角形斜邊中線的性質一一判斷即可．

本題考查相似三角形的判定與性質，線段垂直平分線的性質，平行四邊形的性質，菱形的判定與性質，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的性質．18.【答案】解：原式

；

原式

【解析】將特殊角的三角函數(shù)值代入進行計算即可；

根據零指數(shù)冪運算法則，絕對值意義，特殊角的三角函數(shù)值進行計算即可．

本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，實數(shù)的運算，0指數(shù)冪，熟知以上知識是解題的關鍵．19.【答案】解：如圖，作邊AB上的高

在中，

，，，

在中，

，，

，

，

【解析】如圖，作邊AB上的高，，分別使用勾股定理，計算即可．

本題考查了化斜為直解直角三角形，熟練掌握作高是解題的關鍵．20.【答案】解：如圖所示，為所求圖形；

；

如圖所示，為所求圖形，

，，

【解析】根據題意得到對應點的坐標，畫出平移圖形即可；

根據相似比分別求出對應點的坐標，進行畫圖即可．

本題主要考查作圖-平移變換，作圖-位似變換，熟練掌握位似圖形是解題的關鍵．21.【答案】解：設矩形EFGH的長，則寬，

四邊形EFGH是矩形，

，，

∽，

是的高，

，

四邊形EHDK是矩形，

，

∽，

相似三角形對應邊上的高的比等于相似比，

，，

，

，

解得：，

【解析】設矩形EFGH的長，則寬，易證四邊形EHDK是矩形，則，根據矩形的性質得出，推出∽，根據相似三角形的性質計算即可得解．

本題考查了相似三角形的判定和性質，矩形的判定和性質．解題的關鍵是掌握相似三角形的判定和性質，矩形的判定和性質的運用，注意：矩形的對邊相等且平行，相似三角形的對應高的比等于相似比．22.【答案】解：證明：如圖，

，

，

，

，，

，

，

∽；

在中，由勾股定理得，

，

由得∽，

，即，

解得

【解析】先根據同角的余角相等可得，利用兩角相等證明三角形相似；

先根據勾股定理得：，根據∽，列比例式可得結論．

本題考查學生對相似三角形的判定與性質的理解和掌握，熟練記憶相關知識是解題關鍵．23.【答案】解：如圖1所示，過點