數(shù)學素材：綜合法與分析法

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精教材習題點撥習題2。21．證明：a2＋b2＋5－2（2a－b)＝a2＋b2＋5－4a＋2b＝(a－2）2＋（b＋1）2?！?a－2)2≥0，（b＋1）2≥0，∴(a－2)2＋(b＋1)2≥0.∴a2＋b2＋5≥2(2a－b)．2．證明:(1)∵ab＋a＋b＋1≥4eq\r(4，ab·a·b·1)＝4eq\r(4，a2b2),當且僅當a＝b＝1時,等號成立，ab＋ac＋bc＋c2≥4eq\r（4,ab·ac·bc·c2）＝4eq\r（4,a2b2c4），當且僅當a＝b＝c時，等號成立,∴（ab＋a＋b＋1）（ab＋ac＋bc＋c2）≥4eq\r（4，a2b2)·4eq\r(4，a2b2c4)＝16abc，當且僅當a＝b＝c＝1時，等號成立．（2)∵(a－b)2＝a2－2ab＋b2≥0，∴a2－ab＋b2≥ab.∵a，b∈R＋,∴(a＋b）(a2－ab＋b2）≥ab（a＋b），即a3＋b3≥a2b＋ab2，b3＋c3≥b2c＋bc2,c3＋a3≥c2a＋ca2,以上三個同向不等式相加，得2（a3＋b3＋c3)≥a2(b＋c)＋b2(a＋c）＋c2（a＋b)．3．證明：eq\r(3)＋eq\r(8）＞1＋eq\r(10)3＋2eq\r（24)＋8＞1＋10＋2eq\r（10）eq\r(24）＞eq\r(10)24＞10。顯然，eq\r(3）＋eq\r（8)＞1＋eq\r(10)成立．4．證明：∵a＞b＞c，∴a－c＞a－b＞0.∴a－c＞b－c＞0.∴eq\f(1，a－c)＜eq\f（1，a－b），eq\f（1，a－c)＜eq\f(1，b－c)，eq\f（1,a－b)＋eq\f（1，b－c）＞eq\f(1,a－c）＋eq\f（1,a－c)＞eq\f（1,a－c)?！鄀q\f(1，a－b）＋eq\f（1,b－c)－eq\f（1,a－c)＞0，即eq\f(1,a－b)＋eq\f（1,b－c）＋eq\f（1,c－a)＞0。5．證明:∵，當m≥n時，eq\f（m,n)≥1，m－n≥0，∴.∴?！啵?∵,∴.∴eq\f(m＋n,2)≥eq\r（m＋n,mnnm)。6．證明：∵f(a)＝eq\r(1＋a2)，f（b)＝eq\r（1＋b2），∴|f（a)－f（b)｜＜｜a－b|?｜eq\r（1＋a2）－eq\r（1＋b2）|＜｜a－b｜?！遖≠b，∴eq\f(｜a－b|，｜\r(1＋a2）－\r（1＋b2）｜)＝eq\f(｜a－b｜|\r(1＋a2）＋\r(1＋b2)｜,｜a2－b2｜)＝eq\f(｜a－b｜|\r(1＋a2)＋\r（1＋b2)｜，|a－b||a＋b｜)＝eq\f(\r（1＋a2)＋\r(1＋b2）,|a＋b|）＞1?！鄚f(a)－f(b）｜＜｜a－b｜。點撥：兩邊同為正數(shù),可考慮用作商比較法，結合綜合法來證明．7．解：設P＝logeq\o\al（2，a)(1－x）－logeq\o\al(2,a）(1＋x)＝[loga（1－x）－loga（1＋x）］[loga(1－x)＋loga（1＋x）]＝loga（1－x2）·logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－x，1＋x））).當a＞1時，∵0＜1－x2＜1,0＜eq\f(1－x，1＋x)＜1,∴l(xiāng)oga(1－x2）＜0,logaeq\f（1－x，1＋x)＜0。∴P＞0?！鄉(xiāng)ogeq\o\al（2，a)（1－x）＞logeq\o\al（2,a）(1＋x）．當0＜a＜1時，loga(1－x2）＞0，logaeq\f（1－x,1＋x）＞0.∴l(xiāng)ogeq\o\al(2,a)(1－x）＞logeq\o\al(2，a）（1＋x）．∴當a＞0且a≠1時，logeq\o\al（2，a)(1－x)＞logeq\o\al（2,a)(1＋x）．∴|loga(1－x）｜＞|loga(1＋x）|.點撥：當差的結果不確定時，需要分類討論．8．證明：∵n＞0，∴n＋eq\f（4,n2)＝eq\f（n，2)＋eq\f（n，2）＋eq\f(4，n2）≥3eq\r(3，\f(n,2)·\f（n,2）·\f(4,n2)）＝3.∴n＋eq\f(4，n2）≥3.當且僅當eq\f（n，2）＝eq\f（n,2)＝eq\f(4,n2）,即n＝2時“＝”成立．點撥：需要構造成能利用均值不等式的形式．9．證明：|1－ab｜＞｜a－b｜a2b2－2ab＋1＞a2－2ab＋b2a2b2＋1＞a2＋b2a2b2＋1－a2－b2＞0(a2－1)(b2－1)＞0?！遼a|＜1，｜b｜＜1，