2024-2025學(xué)年安徽省“江淮名校”高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年安徽省“江淮名?！备叨蠈W(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知直線(a?3)x?y+2=0的傾斜角為30°，則A.23 B.433 2.若復(fù)數(shù)z滿足(2+3i)z=1+8i，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.若方程x2+y2A.f<12 B.f>2 C.f<?14.已知向量a=(x,1,2)，b=(1,y,?2)，c=(3,1,z)，若a/?/b，bA.?1 B.1 C.?2 D.25.兩平行直線l1:mx?2y?10=0，A.522 B.3 C.6.如圖，在三棱錐P?ABC中，?PAC是邊長(zhǎng)為3的正三角形，M是AB上一點(diǎn)，AM=12MB，D為BC的中點(diǎn)，N為PD上一點(diǎn)且PN=23A.5 B.3 C.5 D.7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2+y2?4y+3=0，若直線y=kx?1上存在點(diǎn)P，使以P點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)A.(?∞,?14]∪[14,+∞) B.(?∞,?8.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且asinA=(b+c)sinB，則a?bA.(13,12) B.(二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知直線l:2x?3y+1=0，則(

)A.l不過原點(diǎn) B.l在x軸上的截距為12

C.l的斜率為23 D.l10.如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，P為空間一動(dòng)點(diǎn)，若BPA.若λ=μ，則點(diǎn)P的軌跡為線段BC1

B.若λ+μ=1，則點(diǎn)P的軌跡為線段B1C

C.存在λ，μ∈(0,1)，使得AP⊥BC

D.存在λ，μ∈(0,1)11.若點(diǎn)P的坐標(biāo)是(a,b)，圓M:x2+y2+2x?4y+3=0關(guān)于直線2ax+by+6=0對(duì)稱，Q(m,n)A.點(diǎn)P在直線x?y?3=0上

B.2m+n的取值范圍是[?5,5]

C.以PM為直徑的圓過定點(diǎn)R(2,?1)

D.若直線PA三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.數(shù)據(jù)1，3，2，2，5，8，3，6，9，8的70%分位數(shù)是

．13.在四面體ABCD中，∠BAC=∠CAD=∠DAB=90°，AB=AC=AD=3，點(diǎn)E在棱CD上，CE=2ED，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，若BE=xAB+yAC+zAD，則x+y+z=

14.已知點(diǎn)P(a,b)在圓C:(x?4)2+(y+3)2=1上，則四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的頂點(diǎn)A(3,3)，B(2,1)，B，C關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱．(1)求BC邊上的高所在直線的一般式方程;(2)已知過點(diǎn)B的直線l平分△ABC的面積，求直線l的方程．16.如圖所示的幾何體是圓錐的一部分，其中PO是圓錐的高，AB是圓錐底面的一條直徑，PO=?2，OA=1，C是AB的中點(diǎn)．

(1)求直線BC與PA所成角的余弦值;(2)求直線PA與平面PBC所成角的正弦值．17.某公司年會(huì)擬通過摸球抽獎(jiǎng)的方式對(duì)員工發(fā)紅包.先在一個(gè)不透明的袋子中裝入10個(gè)標(biāo)有一定金額的球(除標(biāo)注的金額不同外，其余均相同)，其中標(biāo)注的金額為100元、200元、300元的球分別有5個(gè)、3個(gè)、2個(gè).參與的員工每次從袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球，記錄球上標(biāo)注的金額后放回袋中，連續(xù)摸n次.規(guī)定：每人摸出的球上所標(biāo)注的金額之和為其所獲得的紅包的總金額．(1)當(dāng)n=1時(shí)，求甲員工所獲得的紅包金額不高于200元的概率;(2)當(dāng)n=2時(shí)，設(shè)事件A=“甲員工獲得的紅包總金額不低于300元”，事件B=“甲員工獲得的紅包總金額不高于500元”，試判斷事件A，B是否相互獨(dú)立，并說明理由．18.已知圓C:x2(1)若直線l1過點(diǎn)P(?3,1)且與圓C相切，求直線l1(2)設(shè)直線l2:12x+5y+12=0與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓C上異于A，B的動(dòng)點(diǎn).求△ABQ19.球面幾何在研究球體定位等問題有重要的基礎(chǔ)作用.球面上的線是彎曲的，不存在直線，連接球面上任意兩點(diǎn)有無數(shù)條曲線，它們長(zhǎng)短不一，其中這兩點(diǎn)在球面上的最短路徑的長(zhǎng)度稱為兩點(diǎn)間的球面距離.球面三角學(xué)是研究球面三角形的邊、角關(guān)系的一門學(xué)科.如圖1，球O的半徑為R，A，B，C為球面上三點(diǎn)，曲面ABC(陰影部分)叫做球面三角形.若設(shè)二面角C?OA?B，A?OB?C，B?OC?A分別為α，β，γ，則球面三角形ABC的面積為S球面△ABC=?(α+β+γ?π)R2(1)若平面OAB，平面OAC，平面OBC兩兩垂直，求球面三角形ABC的面積;(2)將圖1中四面體OABC截出得到圖2，若平面三角形ABC為直角三角形，AC⊥BC，設(shè)∠AOC=θ1，∠BOC=θ?①證明：cos?②延長(zhǎng)AO與球O交于點(diǎn)D，連接BD，CD，若直線DA，DC與平面ABC所成的角分別為π4，π3，且BE=λBD，λ∈(0,1]，S為AC的中點(diǎn)，T為BC的中點(diǎn)，設(shè)平面OBC與平面EST的夾角為θ，求sinθ參考答案1.B

2.D

3.A

4.B

5.A

6.D

7.C

8.A

9.ACD

10.ABC

11.AC

12.7

13.0；314.[1?15.解：(1)因?yàn)锽，C關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，所以C(?2,?1)，

kBC=1?(?1)2?(?2)=12，

所以BC邊上高所在直線的斜率為?2，

因?yàn)锳(3,3)，所以BC邊上高所在直線的方程為y?3=?2(x?3)，

所以BC邊上高所在直線的一般式方程為2x+y?9=0．

(2)因?yàn)檫^點(diǎn)B的直線l平分△ABC的面積，

所以直線l經(jīng)過邊AC的中點(diǎn)(12,1)16.解：(1)以O(shè)為原點(diǎn)，OC,OB,OP的方向分別作為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,?1,0)，B(0,1,0)，P(0,0,2)，C(1,0,0)，

所以PA=(0,?1,?2)，BC=(1,?1,0)，

設(shè)直線BC與PA所成的角為θ，

則cosθ=|cos<PA，BC>|=|PA?BC||PA|?|BC|=15×2=1010，

故直線BC與PA所成角的余弦值是1010．

(2)由(1)知PA=(0,?1,?2)，BC=(1,?1,0)，PC=(1,0,?2)，

設(shè)平面PBC的法向量為17.解：(1)n=1即只摸1次球，

紅包總金額不高于200元，即為100元或200元，

從袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球，對(duì)應(yīng)的紅包金額為100元的概率為12，為200元的概率為310，

故甲員工所獲得的紅包金額不高于200元的概率為12+310=45．

(2)當(dāng)n=2時(shí)，AB=“甲員工獲得的紅包總金額為300元或400元或500元”，

因?yàn)?00=100+200=200+100，

400=200+200=100+300=300+100，

500=200+300=300+200，

所以P(AB)=510×310+310×510+310×310+510×218.解：(1)圓

C

：

(x+5)2+(y?7)2=4

，圓心

C

的坐標(biāo)為

?5.7當(dāng)直線

l1

的斜率不存在時(shí)，直線

l1

的方程為

x=?3圓心

C

到

l1

的距離

d=2=r

，

l1

與圓

C當(dāng)直線

l1

的斜率存在時(shí)，設(shè)直線

l1

的方程為

y?1=kx+3

，即

由直線

l1

與圓

C

相切，得

d=?5k?7+3k+1k2+1所以直線

l1

的方程為

4x+3y+9=0

綜上所述：直線

l1

的方程為

x=?3

或

4x+3y+9=0

(2)圓心

C

到直線

l2

的距離

d=?60+35+12122因?yàn)?/p>

Q

為圓

C

上異于A

，

B

的動(dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)

Q

到直線

l2

的距離

?≤r+d=3

所以

?ABQ

的面積

S=12當(dāng)

CQ⊥l2

且

Q

，l2

在圓心

所以

?ABQ

的面積的最大值為

33

19.(1)解：若平面OAB，平面OAC，平面OBC兩兩垂直，有α=β=γ=π所以球面三角ABC的面積為S=(α+β+γ?π)R(2)①證明：由余弦定理有：AC2=R消去R2，可得：cos②解：由AD是球的直徑，則AB⊥BD,AC⊥CD，且AC⊥BC,CD∩BC=C，CD,BC?平面BCD，所以AC⊥平面BCD，且BD?平面BCD，則AC⊥BD，且AB∩AC=A，AB,AC?平面ABC，可得BD⊥平面ABC，由直線直線DA，DC與平面ABC所成的角分別為π4，π所以∠DAB=π不妨先令R=3，則由AC⊥BC,AC⊥BD,BC⊥BD，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CB,CA所在直線為x,y軸，過點(diǎn)C作BD的平行線為z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系：設(shè)