2024-2025學年浙江省臺州市山海協(xié)作體高二上學期期中聯(lián)考數(shù)學試題（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年浙江省臺州市山海協(xié)作體高二上學期期中聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.直線x=tan75°A.0° B.75° C.92.在長方體ABCD?A1B1C1D1中，若a=2AB+AD?3AA.?1,?3,2 B.2,1,?3 C.1,9,?8 D.?1,?9,83.已知雙曲線x2m?y2=1A.y=±22x B.y=±24.已知向量a，b是平面α的兩個不共線向量，非零向量c是直線l的一個方向向量，則“a，b，c三個向量共面”是“l(fā)//α”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件5.已知P是直線l：x?2y+6=0上一動點，過點P作圓C：x2+y2?4x=0的兩條切線，切點分別為A、B，則四邊形A.5π B.6π C.8π5 D.6.橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0A.12 B.24 C.7.數(shù)學中有許多寓意美好的曲線，曲線C:(x2+y2)①曲線C關(guān)于直線y=x對稱；②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過2；③存在一個以原點為中心、邊長為22的正方形，使曲線C在此正方形區(qū)域內(nèi)(含邊界其中，正確結(jié)論的序號是(

)A.①② B.②③ C.①③ D.①②③8.如圖，在三棱錐P?ABC中，點G為?ABC的重心，點M在PG上，若PD=mPA，PE=nPB，PF=tPCA.若點G為?ABC的重心，則PG=13PA+12PB+16PC

B.若PM=12mPA+13nPB+1二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知直線l：3kx+k+2y?6k=0，則下列選項正確的是(

)A.當直線l與直線x+y+2=0平行時，k=1

B.當直線l與直線x+y+2=0垂直時，k=?12

C.當實數(shù)k變化時，直線，恒過點2,1

D.原點到直線l10.如圖，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1A.三棱錐A1?PC1D的體積為定值

B.若E為DD1的中點，則直線BD1⊥平面A1C1E

C.若點P運動到線段B11.已知點P是橢圓x24+y2=1上的一點，O為坐標原點，橢圓的左、右焦點分別為FA.PF2∈2?3,2+3

B.若PF1=3，且N是PF1的中點，則ON=12

C.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知方程x22k?1+y22?k=1表示焦點在y13.已知a=x1,y1,z1，b=x2,14.設(shè)O為坐標原點，A(3,4)，若⊙M：x2+y+832=r2(r>0)上存在點四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)已知A1,1，B(1)若直線l過點M2,0，且點A，B到l的距離相等，求直線l(2)在y軸上存在一點P，使得PA+PB的值最小，求出點P16.(本小題15分)已知圓C：x2+y2+Dx+Ey+F=0過點P0,1，直線l1：x?3y+1=0(1)求圓的標準方程；(2)過點P的直線l與圓C相交于M點，且∠PCM=2π3，求直線l17.(本小題15分)動點Mx,y與定點F3,0的距離和它到定直線l：x=33(1)求動點M的軌跡；(2)已知直線x?y+m=0與曲線C交于不同的兩點A,B，且線段AB的中點在圓x2+y218.(本小題17分)如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD//BC，PA=BC=3，AB=AD=2，PB=13，E為PD中點，點F在PC上，且

(1)求證：AB⊥平面PAD；(2)求平面FAE與平面AED夾角的余弦值；(3)線段AD上是否存在點Q，使得CQ//平面FAE，說明理由？19.(本小題17分)已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0，若點(1)求C的方程；(2)如圖所示，記橢圓的左、右頂點分別為A，B，當動點M在定直線x=4上運動時，直線AM、BM分別交橢圓于兩點P，Q．(ⅰ)證明：點B在以PQ為直徑的圓內(nèi)；(ⅱ)求四邊形APBQ面積的最大值．

參考答案1.C

2.A

3.B

4.B

5.D

6.C

7.A

8.D

9.AB

10.ACD

11.ABC

12.k<113.?314.[515.解：(1)當直線l過線段AB中點時，則線段AB的中點C的坐標為2,?1∵直線l過點M2,0，且點A，B到l∴直線l的方程為x?2=0，當直線l與線段AB平行時，則kl得直線l的方程為：y=?32x?2∴綜上所知：所求的直線l的方程為x?2=0和3x+2y?6=0；(2)點A1,1關(guān)于y軸對稱的點為A′?1,1，則當且僅當A′，P，B三點共線時，PA+PB的最小值為由兩點式可知，直線A′B的方程為y?1?2?1化簡，得3x+4y?1=0，當x=0時，y=1所以點P的坐標為0,1

16.解：(1)由點P在圓C上，則1+E+F=0①，又直線l1和l2均平分圓C，則直線l1和l聯(lián)立方程組x?3y+1=0x?y?1=0，解得所以直線l1和l2的交點坐標為(2,1)，即圓心C的坐標為由圓C：x2+y2+Dx+Ey+F=0則?D2將E=?2代入①，得F=1，所以圓C的方程為：x2+y故圓C的標準方程為：x?22(2)由題可知，直線l的斜率存在，故設(shè)直線l的方程為y=kx+1，即kx?y+1=0，取弦PM的中點為N，則CN⊥PM，由∠PCM=2π3，且?PCM為等腰三角形，則又PC=CM=2，則圓心C2,1到直線由點到直線的距離公式可知：CN=2k所以直線l的方程為y=±33x+1，即直線l的一般式方程為：

17.解：(1)設(shè)d是點M到直線l的距離，則動點M的軌跡就是點的集合P=M由此得x?兩邊平方，并化簡，得2x2?即點M的軌跡是焦點在x軸上，實軸長為2、虛軸長為2(2)設(shè)曲線C與直線x?y+m=0的交點分別為Ax1,則x?y+m=0x2?∴∴y∴線段AB的中點坐標為m,2m，又∵線段AB的中點在圓x2∴m2+4

18.解：(1)∵PA=3，AB=2，PB=∴PA∴∠PAB=90°又∵AB⊥AD，且AD∩AP=A，且兩直線在平面內(nèi)，∴AB⊥平面PAD．(2)∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=ABAB⊥AD，AD?平面ABCD，∴AD⊥平面PAB，又因為AP?面PAB，∴AD⊥AP．由(1)已證AB⊥AP，且已知AB⊥AD，以A為原點，建立空間直角坐標系A(chǔ)?xyz如圖所示，

則A0,0,0，B0,2,0，D2,0,0，C∴AD=2,0,0，AB=∵E為PD的中點，∴又∵PF=2FC，∴設(shè)平面FAE的法向量為n=x,y,z令x=?3，則y=3，z=2，∴由(1)可知，AB⊥平面PAD，∴平面PAD的法向量為AB=∴∴平面FAE與平面AED夾角的余弦值為3(3)線段AD上存在點Q，使得CQ//平面FAE，設(shè)Qa,0,0，則由(2)可知，平面FAE的法向量n=則n?解得a=1∴當Q是AD中點時，則CQ//平面FAE．

19.解：(1)由橢圓對稱性可知，P31,3則P1，P設(shè)點P1則4a2+代入P22,0，可得a=2，b=3，即橢圓方程為x24+y23=1．

(2)(ⅰ)易知A根據(jù)題意可知直線AM，BM斜率均存在，且kMA=t所以直線AM的方程為y=t6x+2，BM聯(lián)立直線AM和橢圓方程y=t6x+2x2由韋達定理可得?2xP=4t聯(lián)立直線BM和橢圓方程y=t2x?2x2由韋達定理可得2xq=4t則BP=BQ=所以BP?