《實變函數(shù)》課程教學大綱

《實變函數(shù)》教學大綱課程名稱：實變函數(shù)英文名稱：FunctionsofRealVariables課程編號：F035091111學分：4總學時/課內(nèi)實踐學時：64/0課程性質(zhì)：必修課程開課單位：數(shù)理科學與工程學院數(shù)學系基層教學組織適應對象：信息與計算科學專業(yè)一、課程簡介實變函數(shù)是信息與計算科學的重要專業(yè)核心基礎課之一，主要講述勒貝格積分理論。它不僅是數(shù)學分析中經(jīng)典黎曼積分的改進與完善，更是學生進一步學習泛函分析、概率論和偏微分方程等后繼專業(yè)課程的基礎。本課程的內(nèi)容主要包括：集合，點集，測度論，可測函數(shù)，積分論。本課程的教學以講授為主，輔以習題練習與學生自主自學。在課程中，思政元素的融入體現(xiàn)在通過數(shù)學家們的事跡，弘揚科學精神與學術誠信，增強學生的責任感與使命感。同時，結(jié)合中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化和現(xiàn)代科學成就，培養(yǎng)學生的文化自信?？己朔绞桨ㄆ谀┛荚嚭推綍r作業(yè)，強調(diào)理論理解與實際問題解決能力的培養(yǎng)。FunctionsofRealVariablesisacorefoundationalcourseinInformationandComputationalScience,focusingprimarilyonthetheoryofLebesgueintegration.ItservesasanextensionandrefinementoftheclassicalRiemannintegralintroducedin"MathematicalAnalysis,"anditprovidestheessentialfoundationforadvancedcoursessuchasFunctionalAnalysis,ProbabilityTheory,andPartialDifferentialEquations.Themaintopicsofthiscourseincludesets,pointsets,measuretheory,measurablefunctions,andintegrationtheory.Thecourseisprimarilylecture-based,supplementedbyproblem-solvingexercisesandself-directedlearningbystudents.Theintegrationofideologicalandpoliticalelementsintothecourseisachievedbysharingthestoriesofmathematicians,promotingscientificspiritandacademicintegrity,andenhancingstudents'senseofresponsibilityandmission.Additionally,bylinkingChinesetraditionalculturewithmodernscientificachievements,thecourseaimstofosterstudents'culturalconfidence.Theassessmentincludesafinalexamandregularassignments,withanemphasisonunderstandingtheoreticalconceptsanddevelopingproblem-solvingskills.二、課程目標1．通過實變函數(shù)的學習，培養(yǎng)學生的科學素養(yǎng)和嚴謹?shù)膶W術態(tài)度，增強對數(shù)學在科學技術及日常生活中應用的認識，激發(fā)探索精神與創(chuàng)新能力。2．學生將掌握實變函數(shù)的基本概念和理論，如集合論基礎、測度理論、可測函數(shù)與Lebesgue積分，并理解其與微積分、函數(shù)分析、概率論等其他數(shù)學分支的聯(lián)系。3．課程旨在提升學生的邏輯思維和抽象思維能力，培養(yǎng)獨立解決復雜數(shù)學問題的能力，增強研究與數(shù)學表達能力。1.Thiscourseaimstocultivatestudents'scientificliteracyandrigorousacademicattitudethroughthestudyofrealfunctions,enhancingtheirunderstandingoftheapplicationofmathematicsinscience,technology,anddailylife,andinspiringexplorationandinnovation.2.Studentswillgraspfundamentalconceptsandtheoriesofrealfunctions,includingsettheoryfoundations,measuretheory,measurablefunctions,andtheLebesgueintegral,andunderstandtheirconnectionswithotherbranchesofmathematicssuchascalculus,functionalanalysis,andprobabilitytheory.3.Thecoursealsoaimstodevelopstudents'logicalandabstractthinkingskills,enhancetheirabilitytoindependentlysolvecomplexmathematicalproblems,andstrengthentheirresearchandmathematicalcommunicationabilities.三、課程目標與畢業(yè)要求對應關系本課程的課程目標對信息與計算科學專業(yè)畢業(yè)要求指標點的支撐情況如表1所示：表1課程目標與畢業(yè)要求對應關系畢業(yè)要求指標點課程目標畢業(yè)要求1：知識要求具有扎實的數(shù)學基礎，掌握信息科學、計算科學和計算機科學的基本理論和基本知識課程目標2畢業(yè)要求2：能力要求通過系統(tǒng)的數(shù)學思維訓練，掌握數(shù)學科學的思想方法，具有扎實的數(shù)學基礎和較強的數(shù)學語言表達能力課程目標3畢業(yè)要求3：素質(zhì)要求具有正確的人生觀、價值觀和道德觀，愛國、誠信、友善、守法，具有高度的社會責任感；具有良好的心理素質(zhì)和積極的人生態(tài)度。課程目標1四、課程教學安排課程共有5項教學內(nèi)容，具體安排如下。表2：課程教學安排表序號教學內(nèi)容思政元素課堂教學學時實驗/實踐教學學時學時小計1集合職業(yè)教育12122點集——12123測度論——12124可測函數(shù)認知規(guī)律16165積分論科學精神培養(yǎng)1212合計6464教學安排1.集合教學要求：要求掌握集之間的運算，理解集合的極限概念，了解域，掌握映射、集合基數(shù)的概念，熟悉可數(shù)集合及其性質(zhì)，熟悉不可數(shù)無窮集合及其性質(zhì)。重點難點：集合的運算，對等與基數(shù)，可數(shù)集及其相關定理。教學內(nèi)容：集合的表示；集合的運算；對等與基數(shù)；可數(shù)集合；不可數(shù)集合。。思政元素：引入勒貝格事跡，激勵學生刻苦鉆研。2.點集教學要求：要求掌握聚點、內(nèi)點、邊界點、孤立點的概念，理解Bolzano-Weierstrass定理，理解孤立集合、離散集合概念，掌握開集、閉集、自密集、完備集、無處稠密集的概念，了解進p-位表數(shù)法，掌握開集、閉集、自密集、完備集、無處稠密集的構(gòu)造，熟悉Cantor集合。重點難點：內(nèi)點、極限點、開集、閉集等拓撲概念及其性質(zhì)；康托爾集的構(gòu)造及其性質(zhì)。教學內(nèi)容：Rn中的點與點集的關系：內(nèi)點、聚點、邊界點等；以及點集：開集、閉集、完備集、Cantor集、直線中開（閉）集的結(jié)構(gòu)、R3.測度論教學要求：要求了解外測度概念，熟練掌握可測空間及可測集的概念，掌握集的測度理論及其性質(zhì)，掌握開集的可測性質(zhì)，了解測度的延拓理論，掌握Lebesgue測度理論，理解乘積空間概念。重點難點：外測度；可測集及其性質(zhì)；可測集的結(jié)構(gòu)。教學內(nèi)容：外測度，可測集，可測集類，Lebesgue不可測集。4.可測函數(shù)教學要求：理解非負可測函數(shù)概念，熟練掌握可測函數(shù)的概念，了解可測函數(shù)的基本性質(zhì)，熟練掌握Egoroff定理，了解可測函數(shù)的結(jié)構(gòu)與可測函數(shù)列的收斂性，掌握依測度收斂概念，掌握用集合可測性解決函數(shù)可測性的方法。重點難點：可測函數(shù)的定義，可測函數(shù)的結(jié)構(gòu)，可測函數(shù)的各種收斂之間的關系。教學內(nèi)容：可測函數(shù)及其性質(zhì)，葉戈洛夫定理，可測函數(shù)的構(gòu)造，依測度收斂。思政元素：定理證明中的由特殊到一般或一般到特殊的認知規(guī)律。5.積分論教學要求：理解非負函數(shù)積分的概念，理解可積函數(shù)概念，掌握可積函數(shù)性質(zhì)，了解Fubini定理，熟練掌握積分及性質(zhì)，掌握Lebesgue積分與Riemann積分的概念不同之處，了解單調(diào)函數(shù)與有界變差函數(shù)。重點難點：勒貝格積分的定義和性質(zhì)，黎曼積分和勒貝格積分的關系，富比尼定理。教學內(nèi)容：黎曼積分的局限性，勒貝格積分，非負簡單函數(shù)的勒貝格積分，非負可測函數(shù)的勒貝格積分，一般可測函數(shù)的勒貝格積分，黎曼積分和勒貝格積分，勒貝格積分的幾何意義，富比尼定理。思政元素：介紹黎曼積分和勒貝格積分時，引導學生科學的思維方式。五、課內(nèi)實踐教學內(nèi)容及要求無六、課