《實變函數》課程教學大綱

《實變函數》教學大綱課程名稱：實變函數英文名稱：FunctionsofRealVariables課程編號：F035091111學分：4總學時/課內實踐學時：64/0課程性質：必修課程開課單位：數理科學與工程學院數學系基層教學組織適應對象：信息與計算科學專業(yè)一、課程簡介實變函數是信息與計算科學的重要專業(yè)核心基礎課之一，主要講述勒貝格積分理論。它不僅是數學分析中經典黎曼積分的改進與完善，更是學生進一步學習泛函分析、概率論和偏微分方程等后繼專業(yè)課程的基礎。本課程的內容主要包括：集合，點集，測度論，可測函數，積分論。本課程的教學以講授為主，輔以習題練習與學生自主自學。在課程中，思政元素的融入體現在通過數學家們的事跡，弘揚科學精神與學術誠信，增強學生的責任感與使命感。同時，結合中華優(yōu)秀傳統文化和現代科學成就，培養(yǎng)學生的文化自信。考核方式包括期末考試和平時作業(yè)，強調理論理解與實際問題解決能力的培養(yǎng)。FunctionsofRealVariablesisacorefoundationalcourseinInformationandComputationalScience,focusingprimarilyonthetheoryofLebesgueintegration.ItservesasanextensionandrefinementoftheclassicalRiemannintegralintroducedin"MathematicalAnalysis,"anditprovidestheessentialfoundationforadvancedcoursessuchasFunctionalAnalysis,ProbabilityTheory,andPartialDifferentialEquations.Themaintopicsofthiscourseincludesets,pointsets,measuretheory,measurablefunctions,andintegrationtheory.Thecourseisprimarilylecture-based,supplementedbyproblem-solvingexercisesandself-directedlearningbystudents.Theintegrationofideologicalandpoliticalelementsintothecourseisachievedbysharingthestoriesofmathematicians,promotingscientificspiritandacademicintegrity,andenhancingstudents'senseofresponsibilityandmission.Additionally,bylinkingChinesetraditionalculturewithmodernscientificachievements,thecourseaimstofosterstudents'culturalconfidence.Theassessmentincludesafinalexamandregularassignments,withanemphasisonunderstandingtheoreticalconceptsanddevelopingproblem-solvingskills.二、課程目標1．通過實變函數的學習，培養(yǎng)學生的科學素養(yǎng)和嚴謹的學術態(tài)度，增強對數學在科學技術及日常生活中應用的認識，激發(fā)探索精神與創(chuàng)新能力。2．學生將掌握實變函數的基本概念和理論，如集合論基礎、測度理論、可測函數與Lebesgue積分，并理解其與微積分、函數分析、概率論等其他數學分支的聯系。3．課程旨在提升學生的邏輯思維和抽象思維能力，培養(yǎng)獨立解決復雜數學問題的能力，增強研究與數學表達能力。1.Thiscourseaimstocultivatestudents'scientificliteracyandrigorousacademicattitudethroughthestudyofrealfunctions,enhancingtheirunderstandingoftheapplicationofmathematicsinscience,technology,anddailylife,andinspiringexplorationandinnovation.2.Studentswillgraspfundamentalconceptsandtheoriesofrealfunctions,includingsettheoryfoundations,measuretheory,measurablefunctions,andtheLebesgueintegral,andunderstandtheirconnectionswithotherbranchesofmathematicssuchascalculus,functionalanalysis,andprobabilitytheory.3.Thecoursealsoaimstodevelopstudents'logicalandabstractthinkingskills,enhancetheirabilitytoindependentlysolvecomplexmathematicalproblems,andstrengthentheirresearchandmathematicalcommunicationabilities.三、課程目標與畢業(yè)要求對應關系本課程的課程目標對信息與計算科學專業(yè)畢業(yè)要求指標點的支撐情況如表1所示：表1課程目標與畢業(yè)要求對應關系畢業(yè)要求指標點課程目標畢業(yè)要求1：知識要求具有扎實的數學基礎，掌握信息科學、計算科學和計算機科學的基本理論和基本知識課程目標2畢業(yè)要求2：能力要求通過系統的數學思維訓練，掌握數學科學的思想方法，具有扎實的數學基礎和較強的數學語言表達能力課程目標3畢業(yè)要求3：素質要求具有正確的人生觀、價值觀和道德觀，愛國、誠信、友善、守法，具有高度的社會責任感；具有良好的心理素質和積極的人生態(tài)度。課程目標1四、課程教學安排課程共有5項教學內容，具體安排如下。表2：課程教學安排表序號教學內容思政元素課堂教學學時實驗/實踐教學學時學時小計1集合職業(yè)教育12122點集——12123測度論——12124可測函數認知規(guī)律16165積分論科學精神培養(yǎng)1212合計6464教學安排1.集合教學要求：要求掌握集之間的運算，理解集合的極限概念，了解域，掌握映射、集合基數的概念，熟悉可數集合及其性質，熟悉不可數無窮集合及其性質。重點難點：集合的運算，對等與基數，可數集及其相關定理。教學內容：集合的表示；集合的運算；對等與基數；可數集合；不可數集合。。思政元素：引入勒貝格事跡，激勵學生刻苦鉆研。2.點集教學要求：要求掌握聚點、內點、邊界點、孤立點的概念，理解Bolzano-Weierstrass定理，理解孤立集合、離散集合概念，掌握開集、閉集、自密集、完備集、無處稠密集的概念，了解進p-位表數法，掌握開集、閉集、自密集、完備集、無處稠密集的構造，熟悉Cantor集合。重點難點：內點、極限點、開集、閉集等拓撲概念及其性質；康托爾集的構造及其性質。教學內容：Rn中的點與點集的關系：內點、聚點、邊界點等；以及點集：開集、閉集、完備集、Cantor集、直線中開（閉）集的結構、R3.測度論教學要求：要求了解外測度概念，熟練掌握可測空間及可測集的概念，掌握集的測度理論及其性質，掌握開集的可測性質，了解測度的延拓理論，掌握Lebesgue測度理論，理解乘積空間概念。重點難點：外測度；可測集及其性質；可測集的結構。教學內容：外測度，可測集，可測集類，Lebesgue不可測集。4.可測函數教學要求：理解非負可測函數概念，熟練掌握可測函數的概念，了解可測函數的基本性質，熟練掌握Egoroff定理，了解可測函數的結構與可測函數列的收斂性，掌握依測度收斂概念，掌握用集合可測性解決函數可測性的方法。重點難點：可測函數的定義，可測函數的結構，可測函數的各種收斂之間的關系。教學內容：可測函數及其性質，葉戈洛夫定理，可測函數的構造，依測度收斂。思政元素：定理證明中的由特殊到一般或一般到特殊的認知規(guī)律。5.積分論教學要求：理解非負函數積分的概念，理解可積函數概念，掌握可積函數性質，了解Fubini定理，熟練掌握積分及性質，掌握Lebesgue積分與Riemann積分的概念不同之處，了解單調函數與有界變差函數。重點難點：勒貝格積分的定義和性質，黎曼積分和勒貝格積分的關系，富比尼定理。教學內容：黎曼積分的局限性，勒貝格積分，非負簡單函數的勒貝格積分，非負可測函數的勒貝格積分，一般可測函數的勒貝格積分，黎曼積分和勒貝格積分，勒貝格積分的幾何意義，富比尼定理。思政元素：介紹黎曼積分和勒貝格積分時，引導學生科學的思維方式。五、課內實踐教學內容及要求無六、課