浙江省強(qiáng)基聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

浙江強(qiáng)基聯(lián)盟2024年11月高二聯(lián)考數(shù)學(xué)試題浙江強(qiáng)基聯(lián)盟研究院命制考生注意：1.本試卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷?草稿紙上作答無(wú)效.一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.若集合，則（）A.B.C.D.2.如果橢圓的方程是，那么它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.B.C.D.3.已知點(diǎn)，若，則（）A.1B.C.1或D.或54.已知圓和圓，則與的位置關(guān)系是（）A.外切B.內(nèi)切C.相交D.外離5.在正方體中，以下說(shuō)法正確的是（）A.若為的中點(diǎn)，則平面B.若為的中點(diǎn)，則平面C.若為的中點(diǎn)，則D.若為的中點(diǎn)，則6.已知，則函數(shù)的最小值是（）A.B.C.3D.27.在平行六面體中，若直線(xiàn)與的交點(diǎn)為.設(shè)，則下列向量中與共線(xiàn)的向量是（）A.B.C.D.8.如果函數(shù)那么（）A.2020B.2021C.2023D.2025二?多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，以下說(shuō)法正確的是（）A.的實(shí)部是3B.C.D.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限10.拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，記隨機(jī)事件“點(diǎn)數(shù)為”，其中，則以下說(shuō)法正確的是（）A.若隨機(jī)事件“點(diǎn)數(shù)不大于3”，則與互斥B.若隨機(jī)事件“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，則C.若隨機(jī)事件“點(diǎn)數(shù)不大于2”，則與對(duì)立D.若隨機(jī)事件“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，則與相互獨(dú)立11.棱長(zhǎng)為1的正四面體的內(nèi)切球球心為，點(diǎn)是該內(nèi)切球球面上的動(dòng)點(diǎn)，則以下說(shuō)法正確的是（）A.記直線(xiàn)與直線(xiàn)的夾角是，則B.記直線(xiàn)與平面的夾角是，則C.記的最小值為，則D.記在上的投影向量為，則三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是__________.13.已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為，弧長(zhǎng)為的扇形，則該圓錐的體積是__________.14.設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，橢圓上的點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是，若，則該橢圓的離心率是__________.四?解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明?證明過(guò)程及演算步驟.15.（13分）已知圓，點(diǎn)，且直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）若與相切，求的方程；（2）若的傾斜角為，求被圓截得的弦長(zhǎng).16.（15分）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，記的面積為，已知.（1）若，求外接圓的半徑；（2）求的值.17.（15分）如圖，在四棱錐中，是正三角形，四邊形為等腰梯形，且有分別是的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在上.（1）證明：平面平面；（2）當(dāng)時(shí)，求平面與平面所成角的余弦值.18.（17分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，直線(xiàn)相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積是.記點(diǎn)的軌跡是曲線(xiàn)，點(diǎn)是曲線(xiàn)上的一點(diǎn).（1）求曲線(xiàn)的方程；（2）若，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)與曲線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn)為，求面積的最大值；（3）過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)交曲線(xiàn)于兩點(diǎn)，且，證明：為定值.19.（17分）在平面直角坐標(biāo)系中，我們可以采用公式（其中為常數(shù)），將點(diǎn)變換成點(diǎn)，我們稱(chēng)該變換為線(xiàn)性變換，上式為坐標(biāo)變換公式.常見(jiàn)的線(xiàn)性變換有平移變換和旋轉(zhuǎn)變換.（1）將點(diǎn)向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，得到點(diǎn)，求該變換的坐標(biāo)變換公式，并求將橢圓向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位后，所得新橢圓的方程；（2）將點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到點(diǎn)，求上述變換的坐標(biāo)變換公式，并求將橢圓繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，所得新橢圓的方程；（3）若點(diǎn)滿(mǎn)足，證明：點(diǎn)的軌跡是橢圓.浙江強(qiáng)基聯(lián)盟2024年11月高二聯(lián)考數(shù)學(xué)卷參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)1.D，故選D.2.C由，則它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，故選C.3.C由兩點(diǎn)間的距離公式可得，解得或，選C.4.A由，可得與的圓心距是5，又，所以與外切，故選A.5.A如圖所示，，則有平面，故選A.6.B令，則在單調(diào)遞增，所以的最小值是，故選B.7.C由空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算可得.選項(xiàng)D中，，與共線(xiàn)，故選D.8.B記，根據(jù)定義可得，考慮，，所以（2022）=，所以周期為5，取值分別是，故選B.9.ABC，則的實(shí)部是3，故A正確；，B正確；正確，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，在第四象限，故D錯(cuò)誤.故選ABC.10.BD“點(diǎn)數(shù)為”，“點(diǎn)數(shù)為1”，則，則與不互斥，A錯(cuò)誤；“點(diǎn)數(shù)為，”點(diǎn)數(shù)為2“，則，B正確；”點(diǎn)數(shù)為“點(diǎn)數(shù)為3”，“點(diǎn)數(shù)為”，不是全集，故C錯(cuò)誤；“點(diǎn)數(shù)為”，“點(diǎn)數(shù)為3，4”，則.，故D正確.故選BD.11.ACD如圖，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，易得正確；直線(xiàn)與平面的夾角是，則，B錯(cuò)誤；令，則是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，即球面上的點(diǎn)到平面上點(diǎn)之間的距離，最小值表示球面上的點(diǎn)到平面的距離，，即，C正確；點(diǎn)在線(xiàn)段上的投影為線(xiàn)段的中心，點(diǎn)在線(xiàn)段上的投影點(diǎn)位于點(diǎn)的左側(cè)或右側(cè)，且的最大值等于，則，D選項(xiàng)正確.故選ACD.12.由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式.13.，則圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)是，由，得圓錐底面半徑，則，由圓錐的體積公式可得.14.由，可得.【法一】則由橢圓的定義不妨設(shè)，由余弦定理和中線(xiàn)長(zhǎng)公式得即得，則，【法二】設(shè)，即化簡(jiǎn)得，即，得.15.解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，則直線(xiàn)的斜率為，則直線(xiàn)的斜率是，可得直線(xiàn)的方程是，即.（2）由于直線(xiàn)的傾斜角是，則直線(xiàn)的斜率是，可得，則圓心到直線(xiàn)的距離是，則直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)是.16.解：（1）由，得，由，可得，的外接圓半徑是.（2）.17.解：（1）因?yàn)樗倪呅蔚妊菪危謩e為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以平面，而平面，所以平面平?（2）當(dāng)時(shí).假設(shè)，所以，得到，所以.如圖建立空間直角坐標(biāo)系，得，.設(shè)平面的一個(gè)法向量，.則取得.設(shè)平面的一個(gè)法向量取得.設(shè)平面與平面所成角為，則，所以平面與平面所成角的余弦值為.18.解：（1）設(shè)點(diǎn)，所以直線(xiàn)的斜率為，同理直線(xiàn)的斜率為，由已知可得，化簡(jiǎn)得點(diǎn)的軌跡的方程是.（2）計(jì)算得，則直線(xiàn)，當(dāng)直線(xiàn)且與相切，切點(diǎn)為，此時(shí)的面積取最大值，設(shè)直線(xiàn)，聯(lián)立方程組得，，解得，直線(xiàn)與之間的距離，所以.（2）由題知直線(xiàn)的斜率存在且不為0，設(shè)直線(xiàn)，設(shè)，聯(lián)立方程組得，則所以，因?yàn)?，則直線(xiàn)，聯(lián)立方程組得，所以，得，所以，為定值.19.解：（1）由平移可得，所以此即為坐標(biāo)變換公式.設(shè)上任一點(diǎn)，向左平移1個(gè)單位，向上平移2個(gè)單位.得到的新的橢圓上一點(diǎn)，則所以所以.所以新橢圓的方程為.（2）設(shè)將軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)到的角為點(diǎn)，點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)由三角函數(shù)可得當(dāng)時(shí)，此即為坐標(biāo)變換式.設(shè)將上