2024-2025學(xué)年北京市朝陽市高二上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年北京市朝陽市高二上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題一、單選題（本大題共10小題）1．直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．2．正方體的棱長為a，則棱到面的距離為（

）A． B．a(chǎn) C． D．3．如圖所示，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，（）A． B． C． D．4．已知直線，若，則（

）A．或 B． C．或 D．5．已知為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是(

)A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則6．如圖，將半徑為1的球與棱長為1的正方體組合在一起，使正方體的一個(gè)頂點(diǎn)正好是球的球心，則這個(gè)組合體的體積為（

）A． B． C． D．7．已知直線，，則“”是“直線與相交”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．已知直線：和點(diǎn)，，若l與線段相交，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．或 C． D．或9．當(dāng)曲線與直線有兩個(gè)相異的交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．10．人臉識別是基于人的臉部特征進(jìn)行身份識別的一種生物識別技術(shù)．主要應(yīng)用距離測試樣本之間的相似度，常用測量距離的方式有3種．設(shè)，，則歐幾里得距離；曼哈頓距離，余弦距離，其中（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．若點(diǎn)，，則的最大值為（

）A． B． C． D．二、填空題（本大題共5小題）11．兩平行直線之間的距離是12．如圖，在正方體中，M，N分別為DB，的中點(diǎn)，則直線和BN的夾角的余弦值為13．已知圓，過點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為.14．已知直線過點(diǎn)且與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)三角形面積取最小值時(shí)直線的斜率為．15．如圖，在正方體中，P為的中點(diǎn)，，，則下列說法正確的（請把正確的序號寫在橫線上）①②當(dāng)時(shí)，平面③當(dāng)時(shí)，PQ與CD所成角的余弦值為④當(dāng)時(shí)，平面三、解答題（本大題共4小題）16．已知的頂點(diǎn)，，.(1)求邊上的高所在直線的方程；(2)求邊上的中線所在直線的方程；(3)求的面積.17．已知四邊形為正方形，為，的交點(diǎn)，現(xiàn)將三角形沿折起到位置，使得，得到三棱錐.(1)求證：平面平面；(2)棱上是否存在點(diǎn)，使平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求；若不存在，說明理由.18．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為1的正方形，為棱的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)若，再從條件①?條件②?條件③中選擇若干個(gè)作為已知，使四棱錐唯一確定，并求：（i）直線與平面所成角的正弦值；（ii）點(diǎn)到平面的距離．條件①：二面角的大小為；條件②：條件③：．19．設(shè)二次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別記為，，，曲線是經(jīng)過這三點(diǎn)的圓．(1)求圓的方程；(2)過作直線與圓相交于，兩點(diǎn)．（i）是否是定值？如果是，請求出這個(gè)定值；（ii）設(shè)，求的最大值．

答案1．【正確答案】B【詳解】解：由直線得直線的斜率又直線的傾斜角為，且，所以，得故選：B.2．【正確答案】C【詳解】如圖，連接，它們交于點(diǎn)，正方形中，又平面，平面，所以，平面，所以平面，所以的長即為棱到面的距離，而，所以所求距離為．故選：C．3．【正確答案】B【詳解】由題中所給平行六面體可知，，，故．故選：B4．【正確答案】B【分析】由條件結(jié)合直線平行結(jié)論列方程求，并對所得結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn).【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，解得或，?dāng)時(shí)，，，直線重合，不滿足要求，當(dāng)時(shí)，，，直線平行，滿足要求，故選B.5．【正確答案】D【詳解】A，若，則或異面，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B，若，則或相交，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C，若，則α，β不一定垂直，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D，若，則利用面面垂直的性質(zhì)可得，故該選項(xiàng)正確.故選：D.6．【正確答案】A【分析】該組合體可視作一個(gè)正方體和個(gè)球體的組合體，進(jìn)而求出體積.【詳解】由題意，該組合體是一個(gè)正方體和個(gè)球體的組合體，其體積為.故選：A.7．【正確答案】A【詳解】由題意可得直線與相交，則當(dāng)時(shí)，滿足，即“”是“直線與相交”的充分條件；當(dāng)直線與相交時(shí)，不一定有，比如也滿足，所以“”是“直線與相交”的充分不必要條件.故選:A.8．【正確答案】D【詳解】由直線：可知直線必過定點(diǎn)，且直線的斜率為，如下圖所示：

由斜率公式可知，直線的斜率為，直線的斜率為，若與線段相交，只需要或，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是或.故選：D.9．【正確答案】D【詳解】如圖所示：∵曲線，直線，∴，，，圓心，直線過定點(diǎn)，直線過時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，，直線與下半圓相切時(shí)，，，∴.故答案選D．10．【正確答案】C【詳解】設(shè)，則，即，可知表示正方形，其中，即點(diǎn)在正方形的邊上運(yùn)動(dòng)，因?yàn)椋蓤D可知：當(dāng)取到最小值，即最大，點(diǎn)有如下兩種可能：①點(diǎn)為點(diǎn)，則，可得；②點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，此時(shí)與同向，不妨取，則；因?yàn)?，所以的最大值?故選：C.11．【正確答案】【分析】直接利用兩條平行直線間的距離公式計(jì)算即可.【詳解】兩條平行直線：與：之間的距離為.故答案為.12．【正確答案】【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2，則，故和BN的夾角的余弦值為.故13．【正確答案】【詳解】因?yàn)椋渣c(diǎn)在圓上，設(shè)切線的斜率為，則，.則切線方程為.故14．【正確答案】/【詳解】設(shè)Aa,0，，其中，設(shè)直線的方程為，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，由基本不等式可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號，所以的最小值為16，此時(shí)的面積取最小值8，直線的斜率為.故答案為.15．【正確答案】①②③【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，則，所以，，所以，所以，①正確；當(dāng)時(shí)，，所以，又平面，平面，從而平面，②正確；當(dāng)時(shí)，，DC=1,0,0，所以與所成角的余弦值為，③正確；當(dāng)時(shí)，，，，所以不垂直于，所以不垂直于平面，④錯(cuò)誤．故①②③.16．【正確答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）因?yàn)?，，，所以，所以，則邊上的高所在直線的方程為，即；（2）由題意可知是的中點(diǎn)，所以，從而邊上的中線所在直線的方程為，即；（3）由題意知，邊所在直線的方程為，即，所以點(diǎn)A到直線的距離，又，所以的面積為.17．【正確答案】(1)證明見解析(2)存在，【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，，所以折起后，，，由于折起前有，且折起后，所以折起后有，即，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平?（2）存在，理由如下：由（1）知，，，所以以為原點(diǎn)，以為軸，以為軸，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，則，，，假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，，即，易知平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)槠矫媾c平面夾角的余弦值為，所以，整理得解得或（舍），所以在棱上存在點(diǎn)，使平面與平面夾角的余弦值為，且.18．【正確答案】(1)證明見解析(2)（i）；（ii）【詳解】（1）

（1）連接，交于，連接，底面是正方形，故是的中點(diǎn)，又因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，所以，在中，而平面平面，所以平面．（2）選①②：因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)槎娼堑拇笮?，平面平面，所以，在中，，所以，故，又因?yàn)槠矫?，所以平面，選①③：因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)槎娼堑拇笮?，平面平面，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，所以，所以，即，因?yàn)槠矫妫云矫?，選②③：因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，因?yàn)槠矫妫云矫?，又因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，在中，，故，因?yàn)槠矫?，所以平面，選①②③同上．以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，令為面的一個(gè)法向量，則令，則，（i）因?yàn)?，所以直線與平面所成角的正弦值為，（ii）由（i）知點(diǎn)到平面的距離．

19．【正確答案】(1)(2)（i）是定值，定值為2；（ii）【詳解】（1）設(shè)二次函數(shù)與x軸分別交于，與y軸交于點(diǎn)，令，則，即，令，則，則，設(shè)圓C的方程為，將點(diǎn)M、N、G的坐標(biāo)代入可得，解得，則，化為標(biāo)準(zhǔn)式為.