初中幾何常見輔助線作法50種(一)

初中常見輔助線作法

任何幾何題目都需分析題目條件和結(jié)論找到解題思路，本講從常

見的條件和結(jié)論出發(fā)說明50種輔助線作法，分三角形部分、四

邊形部分、解直角三角形部分、圓。每種輔助線作法均配備了例

題和練習(xí)。

三角形部分

1.在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時，如果直接證不出來，可連結(jié)兩點或延長某

邊構(gòu)造三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再利用三邊關(guān)系定

理及不等式性質(zhì)證題.

例：如圖，已知。、E為△ABC內(nèi)兩點，求證：AB+AOBD+DE^CE.

證法（小將?！晗騼蛇呇覭，分別交A3、AC于M、N

在△AMN中，AM+AN>MD+DE+NE①

在中，MB+MD>BD②

在aCEN中，CN+NE>CE③

①+②+③得

AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE

工AB+AC>BD+DE+CE

證法（二）延長8。交于尸，延長CE交8產(chǎn)于G,

在△A5F和△GFC和aGOE中有，

①AB+AQ>8O+OG+GF

②G產(chǎn)+FC>GE+CE口

③DG+GE>DE

??.①+②+③有

AB+AF+GF+FC+DG+GE>80+OG+G尸+GE+CE+DE

：.AB-\-AOBD-\-DE-\-CE

注意：利用三角形三邊關(guān)系定理及推論證題時，常通過引輔助線，把求證的量（或與求

證有關(guān)的量）移到同一個或幾個三角形中去然后再證題.

練習(xí)：己知：如圖P為AABC內(nèi)任一點，

求證：,（A8+8C+AOV陰+P8+PCV48+BC+4C

2

2.在利用三角形的處角大于任何和它丕相鄰的內(nèi)角證明角的不等關(guān)系時，如果直接證不出來,

可連結(jié)兩點或延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個三角形外角的位置上，

小角處在內(nèi)角的位置上，再利用外角定理證題.

例：已知。為△4BC內(nèi)任一點，求證：NBDONBAC

證法（一）：延長8。交AC于E,

,：4BDC是叢EDC的外角,

:"BDO/DECA

同理：ZDEOZBAC

:?NBDC>/BAC

證法（二）：連結(jié)A。，并延長交5c于產(chǎn)

尸是△ABD的外角，

/.NBDF>ZBAD

同理/8產(chǎn)>NCA￡>

???NBDF+/CDF>Z5AD+ACAD

即：NBDONBAC

3.有角平分線時常在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形.

例：己知，如圖，A。為△力8c的中線且Nl=N2,Z3=Z4,

求證：BE+CF>EF

證明：在04上截取ON=Q8,連結(jié)NE、NF,則DN=OC

在△BOE和中，

DN=DB

Zl=Z2

ED=ED）

:.ABDE出4NDE\/_J_\

：,BE=NE.Air

同理可證：CF=NFD

在△E/W中，EN+FN>EF

:?BE+CF>EF

4.有以線段中點為端點的線段時，常加倍延長此線段構(gòu)造全等三角形.

例：已知，如圖，A。為△ABC的中線，且N1=N2,Z3=Z4,求證：BE+CF>EF

證明：延長ED到M,使DM=DE,連結(jié)CM、FM

XBDE和△CQM中，

BD=CD

Zl=Z5

ED=MD

:,ABDEqACDM

:?CM=BE

又???N1=N2,N3=N4

Z1+Z2+Z3+Z4=180°

AZ3+N2=9（T

即NEZ）尸=90°

/./FDM=ZEDF=90"木

△EOF和△“口尸中/]\

,

ED=MDR/W\

NFDM=NEDF*{

DF=DFM

:AEDgAMDF

:?EF=MF

???在尸中，CF+CM>MF

BE+CF>EF

（此題也可加倍FD,證法同上

5.在三角形中有中線時，常加倍延長中線構(gòu)造全等三角形.

例：已知，如圖，AO為△ABC的中線，求證：A8+AO24。

證明：延長AD至七，使=連結(jié)BE

:AO為△ABC的中線

：,BD=CD

在△ACO和中

BD=CD

Zl=Z2

AD=ED

???AACD迫4EBD

V4ABE中有AB-^-BE>AE

：.AB+AC>2AD

6.截長補短作輔助線的方法

截長法：在較長的線段上截取一條線段等于較短線段；

補短法：延長較短線段和較長線段相等.

這兩種方法統(tǒng)稱截長補短法.

當(dāng)已知或求證中涉及到線段。、b、c、d有下列情況之一時用此種方法:

①a>b

②a*b=c

③a*b=c±d

例：已知，如圖，在△ABC中，AB>AC,Zl=Z2,P為AO上任一點，

求證：AB-AOPB-PC

證明：⑴截長法：在AB上截取AN=AC,連結(jié)PN

在和△APC中，

AN=AC

Zl=Z2

AP=AP

：,^APN^/^APC

：.PC=PN

*：ABPN中有PB—PCVBN

?,依一尸AB-AC

⑵補短法：延長AC至M,使AM=A8,連結(jié)「何

在和△AMP中

AB=AM

Zl=Z2

AP=AP

：,/XABPg△AMP

：.PB=PM

又,：在/\PCM中有CM>PM~PC

：,AB-AC>PB-PC

練習(xí)：1.已知，在△ABC中，ZB=60°AD.CE是△ABC的角平分線，并且它們交于點O

求證:AC=AE+CD

2.已知，如圖，AB〃CON1=/2,N3=N4.

求證:BC=AB+CD

7.條件不足時延長已知邊構(gòu)造三角形.

例：已知AC=80,于4,BCBD于B

求證：AD=BC

證明：分別延長。A、CB交于息E

*：ADLACBC1BD

：.ZCAE=NDBE=9(T

在△OBE和△G4E中

ZDBE=ZCAE

BD=AC

/E=/E

:.4DBE04CAE

工ED=EC,EB=EA

：.ED~EA=EC-EB

：,AD=BC

8.連接四邊形的對角線，把四邊形問題轉(zhuǎn)化成三角形來解決問題.

例：已知，如圖，AB//CD,AD//BC

求證：AB=CD

證明；連結(jié)人C（或8。）

?:AB//CD,AD//BC

AZI=Z2

在△ABC和△CD4中.

Zl=Z2

AC=CA

Z3=Z4

J△ABCg△CZM

：,AB=CD

練習(xí)：己知，如圖，AB=DC,AD=BC,DE=BF,

求證：BE=DF

9.有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長。可歸結(jié)為“垂直加平分出等腰三角形”.

例：已知，如圖，在心△ABC中，AB=AC,NB4C=9(T,Z1=Z2,CEJ_8。的延長線

于E

求證：BD=2CE

證明：分別延長84、CE交于F

*：BELCF

；?/BEF=NBEC=9(T

F

在尸和△6EC中、

"E上

NBEF=NBECB(

:ABEF冬ABEC

：,CE=FE=-CF

2

*：ZBAC=9(y,,BE±CF

r.ZBAC=ZCAF=90°

N1+ZBDA=9(T

N1+NBFC=9(T

ZBDA=ZBFC

在△48。和AAC尸中

ZBAC=ZCAF

ZBDA=ZBFC

AB=AC

，△ABDWAACF

：.BD=CF

：.BD=2CE

練習(xí)：已知，如圖，NAC8=3NB,N1=N2,CO_LA。于。，

求證：AB-AC=2CD

10.當(dāng)證題有困難時，可結(jié)合已知條件，把圖形中的某兩點連接起來構(gòu)造全等三角形.

例：已知，如圖，AC、B￡＞相交于O,且A8=OC,AC=BD,

求證：ZA=ZD

證明：（連結(jié)8C,過程略）

11.當(dāng)證題缺少線段相等的條件時，可取某條線段中點，為證題提供條件.

例：已知，如圖，AB=DC,N4=NO

求證：NABC=/DCB

證明：分別取A。、8C中點MM,An

連結(jié)N8、NM、NC（過程略）/\

12.有角平分線時，常過角平分線上的點向角兩邊做垂線，利用角平分線上的點到角兩邊距

離相等證題.

例：已知，如圖，Zl=Z2,P為BN上一點，且PD_L8C于O,AB-\-BC=2BD,

求證：ZBAP+ZBCP=18(T)

證明：過P作PE.LBA于E

YPDLBC,Zl=Z2

：,PE=PD

在RiABPE和RtABPD中

BP二BP

PE=PD

:?R[4BPEWRtABPD

BE-BD~DC

*：AB^-BC=2BD,BC=CD+BD,AB=BE~AE

：.AE=CD

???尸E_L3E,PD.LI3C

NPEB=NPDC=9V

在△2以和△PQC中

PE=PD

ZPEB=ZPDC

AE=CD

.,.△PEA^APDC

ANPCB=NEAP

??'NBA尸+NEAP=180"

：.ZBAP+ZBCP=180°

練習(xí)：1.已知，如圖，PA.PC分別是△ABC外角NMAC與NNCA的平分線，它們交于P,

PO_LBM于M,PF上BN于F,求證：BP為NMBN的平分線

2.已知，如圖，在△ABC中，NA8C=IO(r,ZACB=2(T,CE是NACB的平分線,

。是AC上一點，若/CBD=2”求NCE￡＞的度數(shù)。

13.有等腰三角形時常用的輔助線

⑴作頂角的平分線，底邊中線，底邊高線

例：已知，如圖，AB=AC,8Q_LAC于￡）,

求證：NBAC=2NOBC

證明：（方法一）作NBAC的平分線AE,交BC于E,則N1=N2=-ZBAC

2

又???A8=AC

：.AELBC

工Z2+ZACB=90"八

???皿AC/\

:.NO8C+NACB=90〃

???Z2=NDBC

：.ZBAC=2ZDBC

（方法二）過A作4E_L3C于E（過程略）

（方法三）取BC中點￡連結(jié)AE（過程略）

⑵有底邊中點時，常作底邊中線

例：已知，如圖，△ABC中，AB=AC,。為3C中點，。七于E,DFLACTF,

求證：DE二DF

證明：連結(jié)AD

???。為中點，A

：,BD=CD/\

又???A8=AC。人/

???AO平分NBAC0"

*：DELAB,DFA.AC

:,DE=DF

⑶將腰延長一倍，構(gòu)造直角三角形解題

例：已知，如圖，ZXABC中，AB=AC,在BA延長線和AC上各取一點E、F,使AE二

A尸，求證：EF1BC

證明：延長BE到N,使4N=AB,連結(jié)CM則48=AN=4C

???ZB=/ACB,4ACN=NANC

VNB+N4C8+NACN+ZANC=180°N

???2NBCA+2NACN=180。/

.??NBCA+NACN=9陰/

即N8CN=9（T/X

/?NCI.BCB------X'

'：AE=AF

/.ZAEF=ZAFE

又〈NBAC:NAEf4-ZAFE

NB4C=NACN+NANC

AZBAC=2ZAEF=2ZANC

:.ZAEF=/ANC

：.EF//NC

：,EFLBC

⑷常過一腰上的某一已知點做另一腰的平行線

例：已知，如圖，在△48C中，AB=AC,。在4B上，E在AC延長線上，且BD=CE,連

結(jié)OE交BC于尸

求證：DF=EF

證明：（證法一）過。作ON〃4E,交BC于N,則NONB二NACB,NNDE=/E,

yAB=AC,

ANB=NACB

:,/B=/DNBAA

:?BD=DN/\/\

又，：BD=CE/\/\

ZNDF=/E

DN=EC

：?4DNF迫叢ECF

：.DF=EF

（證法二）過七作EM〃AB交8C延長線于M,則NEWB=N8（過程略）

⑸常過一腰上的某一已知點做底的平行線

例：己知，如圖，△A6C中，AB=AC,E在AC上，。在延K線上，KAD=AE,連

結(jié)OE

求證：DELBCN—D

證明：（證法一）過點E作七尸〃BC交AB于F,則「應(yīng)1

/AFE=NB/\

ZAEF=ZC

'：AB=AC

:?NB=NC

：.ZAFE=ZAEF

a：AD=AE

：.ZAED=ZADE

又VN4/E+ZAEF+NAEO+ZADE=180〃

：.2ZAEF+2ZAED=9（T

即N尸EO=90"

/.DE1.FE

又,：EF//BC

：.DE±BC

（證法二）過點。作DN〃8C交CA的延長線于N,（過程略）

（證法三）過點A作AM〃8C交OE于M,（過程略）

⑹常將等腰三角形轉(zhuǎn)化成特殊的等腰三角形……等邊三角形

例：已知，如圖，/XABC中，A8=AC,ZBAC=80°,P為形內(nèi)一點，若NP8C=1（T

NPCB=3（f求N附B的度數(shù).

解法一：以AB為一邊作等邊三角形，連結(jié)CE

則N84E=NABE=6（r

AE=AB=BE

*：AB=AC

：.AE=ACZABC=ZACB

???ZAEC=ZACE

*：ZEAC=ZBAC-ZBAE

=80°-60,=20"

ZACE=1(1800-NE4C)=80"

2

VZACB=；(I8(T-N84C)=5O。

/./BCE=/ACE—ZACB

=8"—50。=30。

VNPCB=30”

:.ZPCB=ZBCE

VZABC=ZACB=5(T,NABE=60°

???/EBC=/ABE—NABC=6*50。=1(T

*：ZPBC=10"

:?/PBC=/EBC

在△P8C和△E8C中

/PBC=/EBC

BC二BC

ZPCB=/BCE

:.APBgAEBC

：.BP=BE

'：AB=BE

：.AB=BP

???NBAP=NB朋

VNABP=ZABC-NPBC=50。-10。=40。

???ZB4fi=-(180°-NABP)=70。

2

解法二:以AC為一邊作等邊三角形，證法同一。

解法三:以BC為一邊作等邊三隹形△BCE,連結(jié)AE,則

EB=EC=BC,NBEC=NEBC=6(T

,:EB=EC

.??E在3c的中垂線上五

同理A在BC的中垂線上

???1四所在的直線是BC的中垂線

：.EALBC/

NAEB=-ZBEC=300=ZPCB

由解法一知：NA8C=5y

；?ZABE=ZEBC-ZABC=W=ZPBC

VNABE=NPBC,BE=BC/AEB=4PCB

J△ABEW4PBC

：.AB=BP

/.ZBAP=ZBR\

:ZABP=ZABC-ZPBC=5(T>-1(T=40°

11

???N^8二一（18（T-NABP）=—（180"—40°）=70"

22

14.有二倍角時常用的輔助線

⑴構(gòu)造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的頂角的外角

例：已知，如圖，在△4BC中，Zl=Z2,NABC=2NC,

求證：AB-1-BD=AC

證明：延長AB到E,使8E=8￡>,連結(jié)OE

則/阻）=NBDE

V/AB。=NE+/8DE

:.ZABC=2ZE

VZABC=2ZC

AZE=ZC

在△AEO和△4CD中

ZE=ZC

Zl=Z2

AD=AD

△A￡￡＞名△AC。

：,AC=AE

?；AE=AB+BE

：.AC=AB+BE

即AB~\~BD=AC

⑵平分二倍角

例：已知，如圖，在△ABC中，BO_LAC于O,ZBAC=2ZDBC

求證：ZABC=ZACB

證明：作N8AC的平分線AE交8C于E,^iZBAE=ZCAE=ZDBC

?：BDVAC

:,ZCBD+NC=90°、

AZCAE+ZC=90"人

VNAEC=180°-ZCAE-ZC=90"/\

C.AEVBC/

：.NABC+ZBAE=90°//

VZCAE+ZC=90pBE

ZBAE=ZCAE

:.ZABC=NACB

⑶加倍小角

例：已知，如圖，在△ABC中，8O_LAC于。，ZBAC=2ZDBC

求證：ZABC=ZACB

證明：作/尸8。=/。4。,6尸交4。于尸（過程略）

D

C

15.有垂直平分線時常把垂直平分線上的點與線段兩端點連結(jié)起來.

例：己知，如圖，△A3C中，AB=AC,ZBAC=120O,￡尸為A5的垂直平分線，EF文BC

于F,交A8于E

求證：BF=-FC

2

證明：連結(jié)AF,則A尸二8尸

:?NB=NFAB

\'AB=AC

:?NB=NC

???N8AC=120"

???N8=NCN8AC=g(180"-N8AC)=3(r

/.NFAB=3(T

???/布C=NBAC-N%8=12(r-3(r=9(r^\

D------------------

又,.,NC=3(r

：,AF=-FC

2

：.BF=-FC

2

練習(xí)：已知，如圖，在AABC中，/CAB的平分線40與8c的垂直平分線OE交于點D,

OM_L46于M,ON_LAC延長線于N

求證：BM=CN

16.有垂直時常構(gòu)造垂直平分線.

例；己知，如圖，在△A〃C中，/占=2NC,人力_L〃C于。

求證：CD=AB+BD

證明：(一)在8上截取。E=D8,連結(jié)AE,則A5=AE

:.NB=ZAEB

VZB=2ZC

???ZAEB=2ZC\

又V/AEB=ZC+ZEAC\

.”/ED"

：,AE=CE

又,；CD=DE+CEA

???CD=BD+AB

(二)延長CB到F,使DF=DC,連0』-----------ETAF結(jié)

AF則A尸=4C(過程略)

17.有中點時常構(gòu)造垂直平分線.

例：已知，如圖，在△A8C中，BC=2AB.ZABC==CD

求證：△A5C為直角三角形

證明：過。作OE_L8C,交AC于E,連結(jié)BE,則8E=CE,

:./C=/EBC

VZABC=2ZC

???/ABE=/EBC

*：BC=2AB,BD=CD

：,BD=AB

在△ABE和△08七中

AB=BD

/ABE=NEBC

BE=BE

???△ABESDBE

:?NBAE=ZBDE

?:/BDE=9(T

???N3AE=9(T

即△ABC為直角三角形

18.當(dāng)涉及到線段平方的關(guān)系式時常構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理證題.

例：已知，如圖，在△ABC中，NA=90",。石為BC的垂直平分線

求證：BE2—AE2=AC2

證明：連結(jié)CE,則BE=CE

VZA=90"

：.AE2-^-AC2=EC2

.\AE2+AC2=BE?

：.BE1-A^=AC2

練習(xí)：已知，如圖，在△ABC中，/BAC=9(T,AB=AC,P為BC

上一點

求證：PB2+PC2=2PA2

19.條件中出現(xiàn)特殊角時常作高把特殊角放在直角三角形中.

例：已知，如圖，在△ABC中，NB=45。，NC=30",AB=O,求4。的長.

解：過A作AO_L8C于。

???NB+NBAD=90°,

VZB=45°,/B=/BAD=45”,

：,AD=BD

A

「A/=">2+53，AB=y/2

B

：.AD=[

VZC=3(T,,AD±BC

：.AC=2AD=2

四邊形部分

20.有平行線時常作平行線構(gòu)造平行四邊形

例：已知，如圖，RtAABC,=90",COJ_4B于O,AE平分NCAB交CO于F,過尸

作FH//AB交BC于H

求證：CE=BHc

證明：過戶作FP//BC交AB于P,則四邊形FPBH/

為平行四邊形/

：?4B=4FPA,BH=FP\

NACB=9(T,CDA.AB-----------D—P—

???N5+NCAB=45",N8+NCAB=9(T

???N5=NB

r.Z5=ZFB4

又TNI=Z2,AF=AF

.,.△CAF^ABAF

：.CF=FP

VZ4=Z1+Z5,N3=N2+NB

/.Z3=Z4

:?CF=CE

：,CE=BH

練習(xí)：已知，如圖，AB//EF//GH,BE=GC

求證：AB=EF+GH

21.有以平行四邊形一邊中點為端點的線段時常延長此線段.

例：已知，如圖，在口N8C。中，AB=2BC,M為AB中點

求證：CM1DM

證明：延長OM、CB交于N

???四邊形A8C。為平行四邊形

：,AD=BC,AD//BC

=4NBAZADN

又=

/.叢AMD92BMN

：,AD=BN

:?BN=BC

'：AB=2BC,AM=BM

:?BM=BC=BN

AZI=Z2,N3二NN

VZ1+Z2H-Z3+Z.V=18（T,

???N1+N3=9（T

：.CMLDM

22.有垂直時可作垂線構(gòu)造矩形或平行線.

例：已知，如圖，E為矩形A8CZ）的邊AO上一點，且BE=ED,P為對角線B。上一點,

于產(chǎn)，PGJ_AO于G

求證：PF+PG=AB

證明：證法一：過P作PH_LA5于"，則四邊形AHPG為矩形

:,AH=GPPH//AD

：.ZADB=ZHPB

"：BE=DE

：./EBD=ZADB

：.NHPB=NEBD

又*：4PFB=4BHP=9V

:.APFB冬ABIIP

：,HB=FP

:?AH+HB=PG+PF

即AB=PG-\~PF

證法二：延長GP交3c于N,則四邊形ABNG為矩形，（證明略）

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23.直角三角形常用輔助線方法：

⑴作斜邊上的高

例：己知，如圖，若從矩形A5C。的頂點C作對角線8。的垂線與N5AD的平分線交于點E

求證：AC=CE

證明：過A作A尸_LB。，垂足為凡則4尸〃EG

NFAE=ZAEG

???四邊形ABCZ)為矩形

??.ZBAD=9(T0A=ODB'

r.ABDA=ZCAD\\\

VAF±BD

/.ZABD+ZADB=/A8O+N8A尸=\\90〃

???ZBAF=NADB=ZCAD、E

??,4E為/B4O的平分線

：.ZBAE=ZDAE

：.ZBAE-ZBAF=ZDAE-ZDAC

即NHE:NCAE

/.ZCAE=ZAEG

:?AC=EC

⑵作斜邊中線，當(dāng)有下列情況時常作斜邊中線：

①有斜邊中點時

例：己知，如圖，AD.BE是△ABC的高，尸是OE的中點，G

是4B的中點

求i正：GFLDE

證明：連結(jié)GE、GD

???A。、BE是△ABC的高，G是AB的中點\

1]B-----?-------C

：.GE=-AB,GD=-AB

22

:?GE=GD

???尸是。七的中點

：.GFLDE

②有和斜邊倍分關(guān)系的線段時

例：已知，如圖，在△ABC中，。是8C延長線上一點，且。A_LB4于4,AC=-BD

2

求證：ZACB=2ZB

證明：取8。中點E,連結(jié)4E,則AE=BE=-BD

2

AZI=NB

1

VAC=-BD

2

：.AC=AE

:.NACB=Z2

VZ2=Z1+ZB

AZ2=2ZB

???ZACB=2ZB

24.有正方形一邊中點時常取另一邊中點.

例：已知,如圖，正方形ABC。中，M為AB的中點，MMLMD,BN平分NCBE并交MN于

N

求證：MD=MN

證明：取AO的中點P,連結(jié)則

2

???四邊形ABC。為正方形

：.AD=AB,NA=NABC=90°

???N1+NAMD=9(T,又DMLMN

：.Z2+NAMD=9(T

AZI=Z2

???M為48中點

：.AM=MB=-AB

2

:,DP=MBAP=AM

JZAPM=ZAMP=45°

/.ZDPAf=135n

，：BN平分ZCBE

:./CBN=45。

：.NMBN=NMBC+ACBN=900+45°=135°

即NDPM=NMBN

???ADPM@AMBN

:?DM=MN

注意：把〃改為AB上任一點，其它條件不變，結(jié)論仍然成立。

練習(xí)：已知，。為正方形ABC。的CO邊的中點，P為C。上一點，且AP=PC+8C

求證：ZBAP=2ZQAD

25.利用正方形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換

旋轉(zhuǎn)變換就是當(dāng)圖形具有鄰邊相等這一特征時，可以把圖形的某部分繞相等鄰邊的

公共端點旋轉(zhuǎn)到另一位置的引輔助線方法.

旋轉(zhuǎn)變換主要用途是把分散元素通過旋轉(zhuǎn)集中起來，從而為證題創(chuàng)造必要的條件.

旋轉(zhuǎn)變換經(jīng)常用于等腰三角形、等邊三角形及正方形中.

例：己知，如圖，在△ABC中，AB=AC,N8AC=9(r,。為BC邊上任一點

求證：2AD1=BDi^Cb1

證明：把△ABQ繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得△4CE

：.BD=CENB=/ACE

*：ZBAC=90°

???/￡>AE=90"

：.DE1=AD2-\-AEr=2Ab2

VNB+NACB=9(T

：.ZDCE=90°

:?CN+CR=D^

：,2AD1=BD1-\-Cb1

注意：把△ADC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)9(T也可，方法同上。

練習(xí)：已知，如圖，在正方形ABC。中，E為A。上一點，8/平分NCBE交CD于尸

求證：BE=CF+AE

26.有以正方形一邊中點為端點的線段時，常把這條線段延長，構(gòu)造全等三角形.

例：如圖，在正方形4BCO中，E、尸分別是C。、D4的中點，BE與C尸交于尸點

求證：AP=AB

證明：延長C尸交BA的延長線于K

??,四邊形ABC。為正方形

：.BC^AB-CD^DA/BCD二/D=/BAD—9G>

?:E、F分別是C。、D4的中點

.11

：.CE=-CDDF=AF=-AD

22

：.CE=DF

:?ABCE出ACDF

：?4CBE=4DCF

*：ZBCF+ZDCF=W

:?/BCF+/CBE=9y

：.BEVCF

又?「NO=/OAK=9(TDF=AFZ1=Z2

:.△CDgRKAF

:?CD=KA

：.BA=KA

又<BE'CF

：,AP=AB

練習(xí)：如圖，在正方形48C￡>中，Q在CD上,且OQ=QC,P在3c上，且4尸=CO+CP

求證：AQ平分ND4P

27.從梯形的一個頂點作一腰的平行線，把梯形分成一個平行四邊形和一個三角形.

例：已知，如圖，等腰梯形48。中，AD//BC,4。=3,AB=4,BC=7

求N8的度數(shù)

解：過A作4E〃C短交BC于E,則四邊形AECO為平行四邊形

：,AD=EC,CD=AE

Vz4B=CD=4,D

AD=3,BC=1

ABE=AE=AB=4/\

???AABE為等邊三角形BZ------------------、

???ZB=60°

28.從梯形同一底的兩端作另一底所在直線的垂線，把梯形轉(zhuǎn)化成一個矩形和兩個三角形.

例：已知，如圖，在梯形ABCOU,AD//BC,AB=AC,ABAC=90%BD=BC,BD交

AC于。

求證：CO=CD

證明：過A、O分別作DFA.BC,垂足分別為E、”則四邊形4￡尸。為矩形

：.AE=DF

\*AB=AC,AErBC,ZBAC=90%

：.AE=BE=CE=-BC,ZACB=45°

2

?：BC=BD

：,AE=DF=-BD

2AD

又???。以8。ZXA

JNDBC=3(T\\

,?BD=BC-----E-------Fc

:./BDC=/BCD

1

=-(18(r-/OBO

2

二75。

VNOOC=NOBC+ZACB=3伊+45"=75"

：.ZBDC=ZDOC

：.CO=CD

29.從梯形的一個頂點作一條對角線的平行線，把梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形和三角形.

例：已知，如圖，等腰梯形中，AD//BC,AC±BD,AD+BC=10,DELBC于E

求DE的長.

解；過。作。尸〃八C,交"C的延長線于F,則四邊形

ACFO為平行四邊形

：,AC=DF,AD=CF穴7K

???四邊形ABCD為等腰梯形\

--AC=DB/、

Drcr

:?BD=FD

*：DEVBC

1

:?BE=EF=-BF

2

=-(BC+CF)=-(BC+AD)

22

1八

=-xl0=5

2

,:AC〃DF,BDLAC

：.BD±DF

,:BE=FE

工DE=BE=EF=-BF=5

2

答：OE的長為5.

30.延長梯形兩腰使它們交于一點，把梯形轉(zhuǎn)化成三角形.

例：已知，如圖，在四邊形A8CZ）中，有AB=DC,NB=/C,AD<BC

求證：四邊形A6CO等腰梯形

證明：延長84、CD,它們交于點E

VZB=ZC

：,EB=ECE

又???A8=OC

：,AE=DE'J?

：.ZEAD=ZEDA/\