新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 易錯點11 球（解析版）

易錯點11球球是最常見的一種幾何體,在近幾年高考題中與球有關(guān)的問題頻繁出現(xiàn)。在此類問題中,既可以考查球的表面積、體積及距離等基本量的計算,又可以考查球與多面體的相切接,同時也能很好地考查同學(xué)們的畫圖能力、空間想象能力、推理論證能力。考查形式多以選擇題和填空題出現(xiàn)。易錯點1：公式記憶錯誤易錯點2：多面體與幾何體的結(jié)構(gòu)特征不清楚導(dǎo)致計算錯誤易錯點3：簡單的組合體畫不出適當(dāng)?shù)慕孛鎴D致誤題組一：以三視圖為背景1．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的半徑．若該幾何體的體積是SKIPIF1<0EQ\F(28π,3)，則它的表面積是 () A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】A【解析】由三視圖知：該幾何體是SKIPIF1<0個球，設(shè)球的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以它的表面積是SKIPIF1<0，故選A．2．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為SKIPIF1<0)組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示．若該幾何體的表面積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=A．1 B．2 C．4 D．8【答案】B【解析】由正視圖和俯視圖知，該幾何體是半球與半個圓柱的組合體，圓柱的半徑與球的半徑都為r，圓柱的高為2r，其表面積為SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，解得r=2，故選B．題組二，以棱（圓）柱為載體3.(2010)設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長都為SKIPIF1<0，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為________.【答案】SKIPIF1<0【解析】根據(jù)題意可知三棱柱是棱長都是a的正三棱柱，設(shè)上下底面中心連線EF的中點O，則O就是球心，其外切球的半徑為OA1,又設(shè)D為A1C1中點，在直角三角形EDA1中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<04．(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)已知圓柱的高為，它的兩個底面的圓周在直徑為的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為 ()A． B． C． D．【答案】B【解析】法一：如圖，畫出圓柱的軸截面，所以，那么圓柱的體積是，故選B．法二：設(shè)圓柱的底面圓的半徑為，圓柱的高，而該圓柱的外接球的半徑為根據(jù)球與圓柱的對稱性，可得即，故該圓柱的體積為，故選B．題組三：以棱（圓）錐為載體5．(2021年高考全國甲卷理科)已如A． B．C是半徑為1的球O的球面上的三個點，且SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的體積為 ()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A解析：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等腰直角三角形，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0外接圓的半徑為SKIPIF1<0，又球的半徑為1，設(shè)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：A．6.（2021天津卷）兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為SKIPIF1<0，兩個圓錐的高之比為SKIPIF1<0，則這兩個圓錐的體積之和為A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【解析】如下圖所示，設(shè)兩個圓錐的底面圓圓心為點SKIPIF1<0，設(shè)圓錐SKIPIF1<0和圓錐SKIPIF1<0的高之比為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，設(shè)球的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此，這兩個圓錐的體積之和為SKIPIF1<0.故選：B.7.（2020年全國1卷）已知SKIPIF1<0為球SKIPIF1<0的球面上的三個點，⊙SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的外接圓，若⊙SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則球SKIPIF1<0的表面積為（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【解析】設(shè)圓SKIPIF1<0半徑為SKIPIF1<0，球的半徑為SKIPIF1<0，依題意，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0為等邊三角形，由正弦定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據(jù)球的截面性質(zhì)SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0球SKIPIF1<0的表面積SKIPIF1<0.故選：A

【叮囑】球的有關(guān)性質(zhì)性質(zhì)1.球的任意一個截面都是圓.其中過球心的截面叫做球的大圓，其余的截面都叫做球的小圓.性質(zhì)2.球的小圓的圓心和球心的連線垂直于小圓所在的平面.反之，球心在球的小圓所在平面上的射影是小圓的圓心.性質(zhì)3:球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r的關(guān)系為:R2=d2+r2.性質(zhì)4.球的兩個平行截面的圓心的連線垂直于這兩個截面，且經(jīng)過球心.性質(zhì)5.球的直徑等于球的內(nèi)接長方體的對角線長.性質(zhì)6.若直棱柱的所有頂點都在同一個球面上，則該球的球心SKIPIF1<0是直棱柱的兩個底面的外接圓的圓心的連線的中點.8．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)已知△ABC是面積為SKIPIF1<0等邊三角形，且其頂點都在球O的球面上．若球O的表面積為16π，則O到平面ABC的距離為 ()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】設(shè)球SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0外接圓半徑為SKIPIF1<0，邊長為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是面積為SKIPIF1<0的等邊三角形，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0球心SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0．故選：C．9．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_________．【答案】SKIPIF1<0【解析】易知半徑最大球為圓錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時的軸截面如圖所示，其中SKIPIF1<0，且點M為BC邊上的中點，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，設(shè)內(nèi)切圓半徑為SKIPIF1<0，則：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，其體積：SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．題組四：與最值相關(guān)10．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)已知SKIPIF1<0是球SKIPIF1<0的球面上兩點，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0為該球面上的動點，若三棱錐SKIPIF1<0體積的最大值為36，則球SKIPIF1<0的表面積為 ()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】如圖所示，當(dāng)點C位于垂直于面SKIPIF1<0的直徑端點時，三棱錐SKIPIF1<0的體積最大，設(shè)球SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，則球SKIPIF1<0的表面積為SKIPIF1<0，故選C．考點：外接球表面積和椎體的體積．11．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷（理）)設(shè)SKIPIF1<0是同一個半徑為SKIPIF1<0的球的球面上四點，SKIPIF1<0為等邊三角形且其面積為SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0體積的最大值為 ()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】設(shè)SKIPIF1<0的邊長為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0外接圓的半徑為SKIPIF1<0，故球心SKIPIF1<0到面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，故點SKIPIF1<0到面SKIPIF1<0的最大距離為SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，故選B．12．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)在封閉的直三棱柱SKIPIF1<0內(nèi)有一個體積為SKIPIF1<0的球,若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0的最大值是 ()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】要使球的體積SKIPIF1<0最大,必須球的半徑SKIPIF1<0最大.由題意知球的與直三棱柱的上下底面都相切時,球的半徑取得最大值SKIPIF1<0,此時球的體積為SKIPIF1<0,故選B.1．“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積過程中構(gòu)造的一個和諧優(yōu)美的幾何模型.如圖1，正方體的棱長為2，用一個底面直徑為2的圓柱面去截該正方體，沿著正方體的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一個牟合方蓋（如圖2）.已知這個牟合方蓋與正方體內(nèi)切球的體釈之比為SKIPIF1<0，則正方體除去牟合方蓋后剩余部分的體積為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】正方體的體積為SKIPIF1<0，其內(nèi)切球的體積為SKIPIF1<0，由條件可知牟合方蓋的體積為SKIPIF1<0，故正方體除去牟合方蓋后剩余的部分體積為SKIPIF1<0.故選：C2．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為（）A．200π B．100π C．SKIPIF1<0 D．50SKIPIF1<0【答案】D【解析】由三視圖可得該幾何體為如圖的長方體中的四面體A1BC1D,四面體A1BC1D與長方體的外接球是同一個球，長方體的外接球的直徑即為長方體的對角線，SKIPIF1<0，所以外接球的表面積為SKIPIF1<0，故選：D.3．已知SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為斜邊的直角三角形，SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0外一點，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0外接球的體積為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】取SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0做直線SKIPIF1<0垂直SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0為直角三角形，所以點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0外接圓的圓心，又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，根據(jù)球的性質(zhì)，球心一定在垂線SKIPIF1<0上，且球心為SKIPIF1<0的外心.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0外接圓的半徑為SKIPIF1<0即外接球的半徑為SKIPIF1<0，所以體積為SKIPIF1<0.故選：D4．如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為SKIPIF1<0，粗線畫出的是某個多面體的三視圖，若該多面體的所有頂點都在球SKIPIF1<0的表面上，則球SKIPIF1<0的表面積是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由三視圖可還原幾何體為從長、寬均為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0的長方體中截得的四棱錐SKIPIF1<0，則四棱錐SKIPIF1<0的外接球即為長方體的外接球，SKIPIF1<0球SKIPIF1<0的半徑SKIPIF1<0，SKIPIF1<0球SKIPIF1<0的表面積SKIPIF1<0.故選：A.5．已知邊長為2的等邊三角形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，以SKIPIF1<0為折痕進(jìn)行折疊，使折后的SKIPIF1<0，則過SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四點的球的表面積為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】邊長為2的等邊三角形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，以SKIPIF1<0為折痕進(jìn)行折疊，使折后的SKIPIF1<0，構(gòu)成以D為頂點的三棱錐，且三條側(cè)棱互相垂直，可構(gòu)造以其為長寬高的長方體，其對角線即為球的直徑，三條棱長分別為1，1，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，球面積SKIPIF1<0，故選:D.6．在四邊型SKIPIF1<0中（如圖1所示），SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將四邊形SKIPIF1<0沿對角線SKIPIF1<0折成四面體SKIPIF1<0（如圖2所示），使得SKIPIF1<0，則四面體SKIPIF1<0外接球的表面積為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0為四面體SKIPIF1<0外接球的球心，則外接球的半徑為：SKIPIF1<0，所以四面體SKIPIF1<0外接球的表面積SKIPIF1<0.故選：D.7．已知三棱錐SKIPIF1<0的四個頂點在球SKIPIF1<0的球面上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是邊長為SKIPIF1<0的正三角形，三棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，則球SKIPIF1<0的表面積為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】設(shè)SKIPIF1<0在底面SKIPIF1<0上的射影為SKIPIF1<0，如圖，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中心，由題可知，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0在正SKIPIF1<0中，可得SKIPIF1<0.從而直角三角形SKIPIF1<0中解得SKIPIF1<0.進(jìn)而可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此正三棱錐SKIPIF1<0可看作正方體的一角，正方體的外接球與三棱錐SKIPIF1<0的外接球相同，正方體對角線的中點為球心SKIPIF1<0.記外接球半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，球SKIPIF1<0的表面積為SKIPIF1<0.故選：B8．在體積為SKIPIF1<0的直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為等邊三角形，且SKIPIF1<0的外接圓半徑為SKIPIF1<0，則該三棱柱外接球的表面積為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】設(shè)SKIPIF1<0的邊長為a，由SKIPIF1<0的外接圓半徑為SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0.由三棱柱的體積為SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，設(shè)三棱柱外接球的半徑為R，則SKIPIF1<0，故該三棱柱外接球的表面積為SKIPIF1<0.故選：A．9．在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若該三棱錐的體積為SKIPIF1<0，則其外接球表面積的最小值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故底面三角形外接圓半徑為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時等號成立，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0離平面SKIPIF1<0最遠(yuǎn)時，外接球表面積最小，此時，SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0的投影為SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，設(shè)球心為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，故SKIPIF1<0，化簡得到SKIPIF1<0，雙勾函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故選：D.10．已知三棱錐SKIPIF1<0的頂點SKIPIF1<0在底面的射影SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的垂心，若SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0