專項(xiàng)27-相似三角形的應(yīng)用-七大題型

相似三角形的應(yīng)用-七大題型【知識(shí)點(diǎn)相似三角形的應(yīng)用】在實(shí)際生活中，我們面對(duì)不能直接測(cè)量物體的高度和寬度時(shí)，可以把它們轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立相似三角形模型，再利用對(duì)應(yīng)邊的比相等來達(dá)到求解的目的。同時(shí)，需要掌握并應(yīng)用一些簡單的相似三角形模型?！绢}型1相似三角形的應(yīng)用（九章算術(shù)）】【例1】（2021·北京大興·九年級(jí)期中）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，在“勾股”章中有這樣一個(gè)問題：“今有邑方二百步，各中開門，出東門十五步有木，問：出南門幾步而見木？”用今天的話說，大意是：如圖，DEFG是一座邊長為200步（“步”是古代的長度單位）的正方形小城，東門H位于GD的中點(diǎn)，南門K位于ED的中點(diǎn)，出東門15步的A處有一樹木，求出南門多少步恰好看到位于A處的樹木（即點(diǎn)D在直線AC上）．【變式1-1】（2022·湖南株洲·九年級(jí)期末）《九章算術(shù)》中記載了一種測(cè)量古井水面以上部分深度的方法．如圖所示，在井口A處立一根垂直于井口的木桿AB，從木桿的頂端B觀察井水水岸D，視線BD與井口的直徑AC交于點(diǎn)E，如果測(cè)得AB=1米，AC=1.6米，AE=0.4米，那么CD為（

）米．A．5 B．4 C．3 D．2【變式1-2】（2022·河北·二模）《九章算術(shù)》的“勾股”章中有這樣一個(gè)問題：“今有邑方不知大小，各中開門．出北門二十步有木，出南門十四步，折而西行一千七百七十五步見木．問邑方幾何？”大意是：如圖，四邊形EFGH是一座正方形小城，北門A位于FG的中點(diǎn)，南門B位于EH的中點(diǎn)．從北門出去正北方向20步遠(yuǎn)的C處有一樹木，從南門出去向南行走14步，再向西行走1775步，恰好能看見C處的樹木，則正方形小城的邊長為（

）A．105步 B．200步 C．250步 D．305步【變式1-3】（2021·河南·鶴壁市淇濱中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）《海島算經(jīng)》是中國最早的一部測(cè)量數(shù)學(xué)著作，由劉徽于三國魏景元四年（公元263年）所撰，本為《九章算術(shù)注》之第十卷，題為《重差》，所有問題都是利用兩次或多次測(cè)望所得的數(shù)據(jù)來推算可望而不可及的目標(biāo)的高、深、廣、遠(yuǎn)，因首題測(cè)算海島的高、遠(yuǎn)得名《海島算經(jīng)》，亦為地圖學(xué)提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．《海島算經(jīng)》中的第4道“望谷”的題目為：今有望深谷，偃矩岸上，令勾高六尺．從勺端望谷底，入下股九尺一寸．又設(shè)重矩于上，其矩間相去三丈，更從勺端望谷底，入上股八尺五寸．問谷深幾何？大致意思是：望一個(gè)如圖所示的深谷，深谷的底部為線段MN，在山谷邊緣處放置一個(gè)直角三角尺ABC，∠ACB＝90°，AC＝6尺，A，C，N在一條直線上，CN⊥MN，從點(diǎn)A處望山谷底部M處時(shí)，視線經(jīng)過BC上的點(diǎn)E處，測(cè)得EC長為9尺1寸；將三角尺沿著射線CA方向向上平移3丈得到△A′B′C′，從A′處望山谷底部M處時(shí)，視線經(jīng)過B【題型2相似三角形的應(yīng)用（影長問題）】【例2】（2022·浙江金華·九年級(jí)期末）如圖，小明在8：30測(cè)得某樹的影長為16m，13：00時(shí)又測(cè)得該樹的影長為4m，若兩次日照的光線互相垂直，則這棵樹的高度為（

）A．10m B．8m C．6m D．4m【變式2-1】（2022·江蘇徐州·中考真題）如圖，公園內(nèi)有一個(gè)垂直于地面的立柱AB，其旁邊有一個(gè)坡面CQ，坡角∠QCN=30°．在陽光下，小明觀察到在地面上的影長為120cm，在坡面上的影長為180【變式2-2】（2022·江蘇宿遷·九年級(jí)期末）如圖，河對(duì)岸有一路燈桿AB，在燈光下，小明在點(diǎn)D處，自己的影長DF=4m，沿BD方向到達(dá)點(diǎn)F處再測(cè)自己的影長FG=5m，如果小明的身高為1.6m，求路燈桿【變式2-3】（2022·黑龍江·大慶市慶新中學(xué)八年級(jí)期末）如圖,小華在晚上由路燈A走向路燈B，當(dāng)她走到P點(diǎn)時(shí),發(fā)現(xiàn)她身后影子的頂端剛好接觸到路燈A的底部,當(dāng)她向前再步行12m到Q點(diǎn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)她身前影子的頂端剛好接觸到路燈B的底部.已知小萌的身高是1.6m，兩路燈的高度都是9.6m，且AP=QB=xm.(1)求兩路燈之間的距離.(2)當(dāng)小萌在A，B之間走動(dòng)時(shí)，在兩燈光下的影子長是變化的，那么兩個(gè)影子的長的和變嗎?請(qǐng)說明理由.【題型3相似三角形的應(yīng)用（杠桿問題）】【例3】（2022·山東臨沂·二模）如圖，EF是一個(gè)杠桿，可繞支點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動(dòng)，若動(dòng)力F動(dòng)和阻力F阻的施力方向都始終保持豎直向下，當(dāng)阻力F阻不變時(shí)，則杠桿向下運(yùn)動(dòng)時(shí)FA．越來越小 B．不變 C．越來越大 D．無法確定【變式3-1】（2019·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是用杠桿撬石頭的示意圖，C是支點(diǎn)，當(dāng)用力壓杠桿的A端時(shí)，杠桿繞C點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端B向上翹起，石頭就被撬動(dòng)，現(xiàn)有一塊石頭，要使其滾動(dòng)，杠桿B端必須向上翹10cm，已知杠桿上的AC與BC長度之比為5:1，則要使這塊石頭滾動(dòng)，至少要將杠桿的A端向下壓多少厘米？【變式3-2】一根均勻的木棒OA所受重力G=10N，小亮以木棒的一端O為支點(diǎn)，豎直向上將木棒的另一端A緩慢拉到如圖所示的位置，保持不動(dòng)，此時(shí)拉力為F，若點(diǎn)B為OA的中點(diǎn)，AC，BD分別垂直地面于點(diǎn)C，D，則根據(jù)杠桿平衡原理得拉力F的大小為（

）A．5N B．10N C．15N D．20N【變式3-3】（2021·甘肅白銀·九年級(jí)期末）如圖，以點(diǎn)O為支點(diǎn)的杠桿，在A端用豎直向上的拉力將重為G的物體勻速拉起，當(dāng)杠桿OA水平時(shí)，拉力為F；當(dāng)杠桿被拉至OA1時(shí)，拉力為F1，過點(diǎn)B1作B1C⊥OA，過點(diǎn)A1作A1D⊥OA，垂足分別為點(diǎn)C、D．在下列結(jié)論中：①△OB1C∽△OA1D；②OA?OC=OB?OD；③OC?G=OD?FA．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④【題型4相似三角形的應(yīng)用（建筑物問題）】【例4】（2019·四川·成都市雙流區(qū)立格實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）劉徽，公元3世紀(jì)人，是中國歷史上最杰出的數(shù)學(xué)家之一．《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》是他留給后世最寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)．《海島算經(jīng)》第一個(gè)問題的大意是：如圖，要測(cè)量海島上一座山峰A的高度AH，立兩根高3丈的標(biāo)桿BC和DE，兩桿之間的距離BD＝1000步，點(diǎn)D、B、H成一線，從B處退行123步到點(diǎn)F處，人的眼睛貼著地面觀察點(diǎn)A，點(diǎn)A、C、F也成一線，從DE退行127步到點(diǎn)G處，從G觀察A點(diǎn)，A，E，G三點(diǎn)也成一線，試計(jì)算山峰的高度AH及BH的長（這里古制1步＝6尺，1里＝180丈＝1800尺＝300步，結(jié)果用步來表示）．【變式4-1】（2022·陜西·武功縣教育局教育教學(xué)研究室一模）千佛鐵塔位于陜西省咸陽市之北杜鎮(zhèn)，用純鐵鑄成，中空有梯可攀登，四角柱鑄成金剛力士像，頂立層樓，各層環(huán)周鑄鐵佛多尊，故名“千佛塔”，此塔為中國現(xiàn)存鐵塔中最高的一座．某數(shù)學(xué)興趣小組本著用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的想法，欲測(cè)量該塔的高度．如圖，在點(diǎn)C處有一建筑物，小麗同學(xué)站在建筑物上，眼睛位于點(diǎn)D處，她手拿一支長0.5米的竹竿EF，邊觀察邊移動(dòng)竹竿（竹竿EF始終與地面垂直），當(dāng)移動(dòng)到如圖所示的位置時(shí)，眼睛D與竹竿、塔的頂端E、A共線，同時(shí)眼睛D與它們的底端F、B也恰好共線，此時(shí)測(cè)得∠BDC=63°，小麗的眼睛距竹竿的距離為0.5米，小麗的眼睛距地面的高度CD=17米，已知AB⊥BC，DC⊥BC．請(qǐng)你根據(jù)以上測(cè)量結(jié)果計(jì)算該塔的高度AB．【參考數(shù)據(jù)：tan63°≈2【變式4-2】（2022·陜西·模擬預(yù)測(cè)）延安寶塔，是歷史名城延安的標(biāo)志，是革命圣地的象征，坐落在陜西省延安市主城東南的寶塔山景區(qū)內(nèi)．周末，數(shù)學(xué)實(shí)踐小組的同學(xué)帶著測(cè)量工具測(cè)量延安寶塔的高度．測(cè)量方案如下：首先，在A處豎立一根高4m的標(biāo)桿AB，發(fā)現(xiàn)地面上的點(diǎn)D、標(biāo)桿頂端B與寶塔頂端M在一條直線上，測(cè)得AD=4.3m；然后，移開標(biāo)桿，在A處放置測(cè)角儀，調(diào)整測(cè)角儀的高度，當(dāng)測(cè)角儀高AC為1m時(shí)，恰好測(cè)得點(diǎn)M的仰角為45°已知MN⊥ND，AB⊥ND，點(diǎn)D、A、N在一條直線上，點(diǎn)A，C、B在一條直線上，求延安寶塔的高M(jìn)N．【變式4-3】（2022·陜西西安·一模）“攬?jiān)麻w”位于西安市雁塔南路最南端，是西安唐文化的標(biāo)志性建筑，陽光明媚的一天，某校九年級(jí)一班的興趣小組去測(cè)量攬?jiān)麻w的高度．?dāng)堅(jiān)麻w前面有個(gè)高1米的平臺(tái)，身高1.8米的小強(qiáng)在臺(tái)上走動(dòng)，當(dāng)小強(qiáng)走到點(diǎn)C處，小紅蹲在臺(tái)下點(diǎn)N處，其視線通過邊緣點(diǎn)M和小強(qiáng)頭頂點(diǎn)D正好看到塔頂A點(diǎn)，測(cè)得CM=0.9米，然后小強(qiáng)從正前方跳下后，往前走到點(diǎn)E處，此時(shí)發(fā)現(xiàn)小強(qiáng)頭頂F在太陽下的影子恰好和塔頂A在地面上的影子重合于點(diǎn)P處，測(cè)得NE=5米，EP=1米．請(qǐng)你根據(jù)以上數(shù)據(jù)幫助興趣小組求出攬?jiān)麻w的高度．【題型5相似三角形的應(yīng)用（樹高問題）】【例5】（2011·遼寧大連·中考真題）為了測(cè)量校園內(nèi)一棵不可攀的樹的高度，學(xué)校數(shù)學(xué)應(yīng)用實(shí)踐小組做了如下的探索：根據(jù)光的反射定律，利用一面鏡子和皮尺，設(shè)計(jì)如圖所示的測(cè)量方案：把鏡子放在離樹(AB)8.7m的點(diǎn)E處，然后觀測(cè)考沿著直線BE后退到點(diǎn)D，這時(shí)恰好在鏡子里看到樹梢頂點(diǎn)A，再用皮尺量得DE＝2.7m，觀測(cè)者目高CD＝1.6m，則樹高AB約是____．（精確到0.1m）【變式5-1】（2021·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）據(jù)《九章算術(shù)》記載：“今有山居木西，不知其高.山去五十三里，木高九丈西尺，人立木東三里，望木末適與山峰斜平.人目高七尺.問山高幾何？”大意如下：如圖，今有山AB位于樹CD的西面.山高AB為未知數(shù)，山與樹相距53里，樹高9丈5尺，人站在離樹3里的F處，觀察到樹梢C恰好與山峰A處在同一斜線上，人眼離地7尺，問山AB的高約為多少丈？(1丈=10尺，結(jié)果精確到個(gè)位)【變式5-2】（2022·全國·九年級(jí)單元測(cè)試）小明想用鏡子測(cè)量一棵松樹的高度，但因樹旁有一條河，不能測(cè)量鏡子與樹之間的距離，于是他兩次利用鏡子，如圖所示，第一次他把鏡子放在C點(diǎn)，人在F點(diǎn)時(shí)正好在鏡子中看到樹尖A；第二次把鏡子放在D點(diǎn)，人在G點(diǎn)正好看到樹尖A．已知小明的眼睛距離地面1.70m，量得CD＝12m，CF＝1.8m，DH＝3.8m．請(qǐng)你求出松樹的高．【變式5-3】（2021·陜西寶雞·一模）傍晚，小張和媽媽在某公園散步，發(fā)現(xiàn)公園的一路燈旁有一棵古老的大樹，小華激動(dòng)地說：媽媽，我可以通過測(cè)量您的影長，測(cè)得媽媽的影長DF＝1.6m．媽媽沿BD的方向到達(dá)點(diǎn)F處，此時(shí)小華測(cè)得媽媽的影長FG＝2m．已知媽媽的身高為1.6m（即CD＝EF＝1.6m），AB⊥BG，CD⊥BG，求這棵大樹的高度．【題型6相似三角形的應(yīng)用（河寬問題）】【例6】（2021·河北·石家莊市第四十一中學(xué)九年級(jí)期中）為了估計(jì)河的寬度，我們可以在河對(duì)岸的岸邊選定一個(gè)目標(biāo)記為點(diǎn)A，再在河的這一邊選點(diǎn)B和點(diǎn)C，使得AB⊥BC，CE⊥BC，設(shè)BC與AE交于點(diǎn)D，如圖所示測(cè)得BD=120m，DC=40m，EC=30m，那么這條河的大致寬度是（

）A．60m B．90m C．100m D．120m【變式6-1】（2019·全國·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，為了估計(jì)河的寬度，在河的對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)A，在近岸取點(diǎn)B，C，D，E，使點(diǎn)A，B，D在一條直線上，且AD⊥DE，點(diǎn)A，C，E也在一條直線上且DE∥BC．如果BC＝24m，BD＝12m，DE＝40m，則河的寬度AB約為(

)A．20m B．18m C．28m D．30m【變式6-2】（2022·貴州畢節(jié)·二模）如圖，一條河的兩岸有一段是平行的，在河的南岸岸邊每隔5m有一棵樹，小華站在離南岸20m的點(diǎn)P處看北岸，在兩棵樹之間的空隙中，恰好看見一條龍舟的龍頭和龍尾（假設(shè)龍頭、龍尾和小華的眼睛位于同一水平平面內(nèi)），已知龍舟的長為18.5m，若龍舟行駛在河的中心，且龍舟與河岸平行，則河寬為_______m．【變式6-3】（2022·陜西·西安工業(yè)大學(xué)附中九年級(jí)期中）為了加快城市發(fā)展，保障市民出行方便，某市在流經(jīng)該市的河流上架起一座橋，連通南北，鋪就城市繁榮之路．小明和小穎想通過自己所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)計(jì)算該橋AF的長．如圖，該橋兩側(cè)河岸平行，他們?cè)诤拥膶?duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn)A，再在河岸的這一邊選出點(diǎn)B和點(diǎn)C，分別在AB、AC的延長線上取點(diǎn)D、E，使得DE∥BC．經(jīng)測(cè)量，BC＝120米，DE＝210米，且點(diǎn)E到河岸BC的距離為60米．已知AF⊥BC于點(diǎn)F，請(qǐng)你根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，幫助他們計(jì)算橋AF的長度．【題型7相似三角形的應(yīng)用（內(nèi)接矩形問題）】【例7】（2020·江蘇無錫·九年級(jí)期中）一塊直角三角形木板，它的一條直角邊AC長為1cm，面積為1cm2，甲、乙兩人分別按圖①、②把它加工成一個(gè)正方形桌面，則①、②中正方形的面積較大的是(A．① B．② C．一樣大 D．無法判斷【變式7-1】（2021·遼寧·沈陽市第七中學(xué)九年級(jí)期中）如圖有一塊直角邊AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的鐵片，現(xiàn)要把它加工成一個(gè)正方形（加工中的損耗忽略不計(jì)），則正方形的邊長為（）A．67 B．3037 C．127【變式7-2】（2019·浙江寧波·九年級(jí)期末）如圖，已知在RtΔABC中，∠C為直角，AC=5，BC=12，在RtΔABC內(nèi)從左往右疊放邊長為1的正方形小紙片，第一層小紙片的一條邊都在AB上，依次這樣往上疊放上去，則第二層最多能疊放_(tái)__個(gè)正方形小紙片.【變式7-3】（2021·浙江臺(tái)州·九年級(jí)期末）一塊材料的形狀是等腰△ABC，底邊BC=120cm，高AD=120cm．(1)若把這塊材料加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC上（如圖1），則這個(gè)正方形的邊長為多少？(2)若把這塊材料加工成正方體零件（如圖2，陰影部分為正方體展開圖），則正方體的表面積為多少？

相似三角形的應(yīng)用-七大題型（解析版）【知識(shí)點(diǎn)相似三角形的應(yīng)用】在實(shí)際生活中，我們面對(duì)不能直接測(cè)量物體的高度和寬度時(shí)，可以把它們轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立相似三角形模型，再利用對(duì)應(yīng)邊的比相等來達(dá)到求解的目的。同時(shí)，需要掌握并應(yīng)用一些簡單的相似三角形模型?！绢}型1相似三角形的應(yīng)用（九章算術(shù)）】【例1】（2021·北京大興·九年級(jí)期中）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，在“勾股”章中有這樣一個(gè)問題：“今有邑方二百步，各中開門，出東門十五步有木，問：出南門幾步而見木？”用今天的話說，大意是：如圖，DEFG是一座邊長為200步（“步”是古代的長度單位）的正方形小城，東門H位于GD的中點(diǎn)，南門K位于ED的中點(diǎn)，出東門15步的A處有一樹木，求出南門多少步恰好看到位于A處的樹木（即點(diǎn)D在直線AC上）．【答案】20003【分析】本題只需要證出△CDK∽△DAH，利用相似三角形的性質(zhì)可以得到：CK100【詳解】解：由題意可知：DE=DG=200，AH＝15∵H為GD的中點(diǎn)，K為DE的中點(diǎn)DH＝100，DK＝100∵AH∥DK∴∠CDK＝∠A而∠CKD＝∠AHD∴△CDK∴CK即CK100∴CK=答：出南門20003步恰好看到位于A【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用：本題需要把實(shí)際問題抽象到相似三角形中，利用視點(diǎn)和盲區(qū)的知識(shí)構(gòu)建相似三角形，用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出物體的高度．【變式1-1】（2022·湖南株洲·九年級(jí)期末）《九章算術(shù)》中記載了一種測(cè)量古井水面以上部分深度的方法．如圖所示，在井口A處立一根垂直于井口的木桿AB，從木桿的頂端B觀察井水水岸D，視線BD與井口的直徑AC交于點(diǎn)E，如果測(cè)得AB=1米，AC=1.6米，AE=0.4米，那么CD為（

）米．A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】由題意知：△ABE∽△CDE，得出對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出CD．【詳解】解：由題意知：AB∥CD，則∠BAE=∠C，∠B=∠CDE，∴△ABE∽△CDE，∴ABCD∴1CD∴CD=3，經(jīng)檢驗(yàn)，CD=3是所列方程的解，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意得出△ABE∽△CDE是解決問題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2022·河北·二模）《九章算術(shù)》的“勾股”章中有這樣一個(gè)問題：“今有邑方不知大小，各中開門．出北門二十步有木，出南門十四步，折而西行一千七百七十五步見木．問邑方幾何？”大意是：如圖，四邊形EFGH是一座正方形小城，北門A位于FG的中點(diǎn)，南門B位于EH的中點(diǎn)．從北門出去正北方向20步遠(yuǎn)的C處有一樹木，從南門出去向南行走14步，再向西行走1775步，恰好能看見C處的樹木，則正方形小城的邊長為（

）A．105步 B．200步 C．250步 D．305步【答案】C【分析】此題文字?jǐn)⑹霰容^多，解題時(shí)首先要理解題意，找到相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)解題，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例．【詳解】設(shè)小城的邊長為x步，根據(jù)題意，Rt△CAF∽R(shí)t△CDM，∴CACD即2020+14+x去分母并整理，得x2+34x-71000=0，解得x1=250，x2=-284（不合題意，舍去），∴小城的邊長為250步．故選：C．【點(diǎn)睛】本題只要是把實(shí)際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通過解方程即可求出小城的邊長．【變式1-3】（2021·河南·鶴壁市淇濱中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）《海島算經(jīng)》是中國最早的一部測(cè)量數(shù)學(xué)著作，由劉徽于三國魏景元四年（公元263年）所撰，本為《九章算術(shù)注》之第十卷，題為《重差》，所有問題都是利用兩次或多次測(cè)望所得的數(shù)據(jù)來推算可望而不可及的目標(biāo)的高、深、廣、遠(yuǎn)，因首題測(cè)算海島的高、遠(yuǎn)得名《海島算經(jīng)》，亦為地圖學(xué)提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．《海島算經(jīng)》中的第4道“望谷”的題目為：今有望深谷，偃矩岸上，令勾高六尺．從勺端望谷底，入下股九尺一寸．又設(shè)重矩于上，其矩間相去三丈，更從勺端望谷底，入上股八尺五寸．問谷深幾何？大致意思是：望一個(gè)如圖所示的深谷，深谷的底部為線段MN，在山谷邊緣處放置一個(gè)直角三角尺ABC，∠ACB＝90°，AC＝6尺，A，C，N在一條直線上，CN⊥MN，從點(diǎn)A處望山谷底部M處時(shí)，視線經(jīng)過BC上的點(diǎn)E處，測(cè)得EC長為9尺1寸；將三角尺沿著射線CA方向向上平移3丈得到△A′B′C′，從A′處望山谷底部M處時(shí)，視線經(jīng)過B【答案】山谷深CN為41.9丈．【分析】根據(jù)題目中的條件，需要兩次利用三角形相似的判定定理及性質(zhì)，證明兩個(gè)三角形相似，再利用對(duì)應(yīng)邊成比例建立等式，進(jìn)行求解．【詳解】：解：由題意知：AC=60寸，EC=91寸，F(xiàn)C′＝85寸，∵∠EAC=∠MAN,∠ACE=∠ANM，∴△ACE～△ANM．∴AC∴60AN∴MN=91∵∠FA∴△FA∴A即A′∴60解得：AN=4250經(jīng)檢驗(yàn)：AN=4250符合題意，∴CN=AN?AC=4190寸＝41.9丈．答：山谷深CN為41.9丈．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定定理及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握相似三角形的判定定理及性質(zhì)，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例建立等式，再通過等量代換進(jìn)行求解．【題型2相似三角形的應(yīng)用（影長問題）】【例2】（2022·浙江金華·九年級(jí)期末）如圖，小明在8：30測(cè)得某樹的影長為16m，13：00時(shí)又測(cè)得該樹的影長為4m，若兩次日照的光線互相垂直，則這棵樹的高度為（

）A．10m B．8m C．6m D．4m【答案】B【分析】根據(jù)題意，畫出示意圖，證明△EDC∽△FDC，進(jìn)而可得EDDC=DCFD，即DC2=【詳解】解：根據(jù)題意，作△EFC，樹高為CD，且∠ECF=90°，ED=4m，F(xiàn)D=16m；∵∠E+∠F=90°，∠E+∠ECD=90°，∴∠ECD=∠F，又∠CDE=∠FDC∴△EDC∽△CDF，∴EDDC=DCFD，即DC2=解得CD=8m（負(fù)值舍去）．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的應(yīng)用，熟知相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例是解答此題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2022·江蘇徐州·中考真題）如圖，公園內(nèi)有一個(gè)垂直于地面的立柱AB，其旁邊有一個(gè)坡面CQ，坡角∠QCN=30°．在陽光下，小明觀察到在地面上的影長為120cm，在坡面上的影長為180【答案】(170+603)cm【分析】延長AD交BN于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥BN于點(diǎn)F，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出DF，根據(jù)余弦的定義求出CF，根據(jù)題意求出EF，再根據(jù)題意列出比例式，計(jì)算即可．【詳解】解：延長AD交BN于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥BN于點(diǎn)F，在Rt△CDF中，∠CFD=90°，∠DCF=30°，則DF=12CD=90（cm），CF=CD?cos∠DCF=180×32=90由題意得：DFEF=6090，即90EF解得：EF=135，∴BE=BC+CF+EF=120+903+135=(255+903)cm，則AB255+903=解得：AB=170+603，答：立柱AB的高度為(170+603)cm．【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題、平行投影的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，正確作出輔助線，利用銳角三角函數(shù)和成比例線段計(jì)算．【變式2-2】（2022·江蘇宿遷·九年級(jí)期末）如圖，河對(duì)岸有一路燈桿AB，在燈光下，小明在點(diǎn)D處，自己的影長DF=4m，沿BD方向到達(dá)點(diǎn)F處再測(cè)自己的影長FG=5m，如果小明的身高為1.6m，求路燈桿【答案】8【分析】在同一時(shí)刻物高和影長成正比，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：∵CD∥EF∥AB，∴可以得到△ABF∽△CDF，△ABG∽△EFG，∴ABCD=BF又∵CD=EF，∴BF∵DF=4，F(xiàn)G=5，BF=BD+DF=BD+4，BG=BD+DF+FG=BD+9，∴4+BD4∴BD=16,BF=16+4=20，∴AB1.6解得AB=8．答：路燈桿AB的高度為8米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，本題只要是把實(shí)際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊成比例就可以求出結(jié)果．【變式2-3】（2022·黑龍江·大慶市慶新中學(xué)八年級(jí)期末）如圖,小華在晚上由路燈A走向路燈B，當(dāng)她走到P點(diǎn)時(shí),發(fā)現(xiàn)她身后影子的頂端剛好接觸到路燈A的底部,當(dāng)她向前再步行12m到Q點(diǎn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)她身前影子的頂端剛好接觸到路燈B的底部.已知小萌的身高是1.6m，兩路燈的高度都是9.6m，且AP=QB=xm.(1)求兩路燈之間的距離.(2)當(dāng)小萌在A，B之間走動(dòng)時(shí)，在兩燈光下的影子長是變化的，那么兩個(gè)影子的長的和變嗎?請(qǐng)說明理由.【答案】(1)18m(2)兩個(gè)影子的長的和不會(huì)變，一直都是3.6m【分析】（1）連接AC，易證ΔAPD∽ΔABC，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出x的值，兩路燈間的距離等于PQ+2（2）根據(jù)題意作出圖形，找出其中的相似三角形，根據(jù)三角形的相思筆即可求出影子的長度和．（1）如圖，連接AC，∵DP⊥AB，CB⊥AB，∴DP∥∴ΔAPD∽Δ∴DPCB=AP解得：x=3，∴AB=2×3+12=18（m）（2）如圖，當(dāng)小萌在A，B之間走動(dòng)時(shí)，在A路燈下的影子長度為ON，在B路燈下的影子長度為OM，∵AD⊥AB，BC⊥AB，OE⊥OB，∴AD∥∴ΔAND∽ΔONE，ΔBMC∴OEAD=ON則1.69.6=ONAN，1.69.6ON+OM=1MN=1由（1）得：AB=18m，∴MN=16(18+MN)，解得：故：兩個(gè)影子的長的和不會(huì)變，一直都是3.6m【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，要求學(xué)生能根據(jù)題意畫出對(duì)應(yīng)圖形，能判定出相似三角形，以及能利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等的原理解決求線段長的問題等，蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合的思想方法．【題型3相似三角形的應(yīng)用（杠桿問題）】【例3】（2022·山東臨沂·二模）如圖，EF是一個(gè)杠桿，可繞支點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動(dòng)，若動(dòng)力F動(dòng)和阻力F阻的施力方向都始終保持豎直向下，當(dāng)阻力F阻不變時(shí)，則杠桿向下運(yùn)動(dòng)時(shí)FA．越來越小 B．不變 C．越來越大 D．無法確定【答案】B【分析】由圖證明△MOE∽△NOF，從而得到MENF=MO【詳解】解：∵∠MOE=∠NOF，∠M=∠ONF，∴△MOE∽△NOF，∴MENF=MO∵阻力F阻不變，即ME又∵OM，ON不變，∴由ME?NO=NF?MO得，NF不變，即F動(dòng)故選：B．【點(diǎn)睛】本題以實(shí)際問題為背景，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，從實(shí)際問題中抽離出數(shù)學(xué)圖形，是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2019·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是用杠桿撬石頭的示意圖，C是支點(diǎn)，當(dāng)用力壓杠桿的A端時(shí)，杠桿繞C點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端B向上翹起，石頭就被撬動(dòng)，現(xiàn)有一塊石頭，要使其滾動(dòng)，杠桿B端必須向上翹10cm，已知杠桿上的AC與BC長度之比為5:1，則要使這塊石頭滾動(dòng)，至少要將杠桿的A端向下壓多少厘米？【答案】50厘米【分析】首先根據(jù)題意構(gòu)造出相似三角形，然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得端點(diǎn)A向下壓的長度．【詳解】解：解：如圖；AM、BN都與水平線垂直，即AM∥BN；易知：△ACM∽△BCN；∴∵杠桿的動(dòng)力臂AC與阻力臂BC之比為5：1，∴AM∴當(dāng)BN≥10cm時(shí)，AM≥50cm；故要使這塊石頭滾動(dòng)，至少要將杠桿的端點(diǎn)A向下壓50cm．故答案為50【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用，正確的構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】一根均勻的木棒OA所受重力G=10N，小亮以木棒的一端O為支點(diǎn)，豎直向上將木棒的另一端A緩慢拉到如圖所示的位置，保持不動(dòng)，此時(shí)拉力為F，若點(diǎn)B為OA的中點(diǎn)，AC，BD分別垂直地面于點(diǎn)C，D，則根據(jù)杠桿平衡原理得拉力F的大小為（

）A．5N B．10N C．15N D．20N【答案】A【分析】依據(jù)BD∥AC，B是AO的中點(diǎn)，即可得到D是OC的中點(diǎn)，再根據(jù)杠桿平衡原理，可得G×OD=F×OC，進(jìn)而得出拉力F的大?。驹斀狻拷猓骸連D⊥OC，AC⊥OC，∴BD∥AC，∴OBBA又∵B是AO的中點(diǎn)，即OB=BA，∴OD=DC，∴OD=12根據(jù)杠桿平衡原理，可得G×OD=F×OC，∴10×12OC=F×解得F=5(N)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，以及杠桿平衡原理，熟練掌握平行線分線段成比例定理并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵.【變式3-3】（2021·甘肅白銀·九年級(jí)期末）如圖，以點(diǎn)O為支點(diǎn)的杠桿，在A端用豎直向上的拉力將重為G的物體勻速拉起，當(dāng)杠桿OA水平時(shí)，拉力為F；當(dāng)杠桿被拉至OA1時(shí)，拉力為F1，過點(diǎn)B1作B1C⊥OA，過點(diǎn)A1作A1D⊥OA，垂足分別為點(diǎn)C、D．在下列結(jié)論中：①△OB1C∽△OA1D；②OA?OC=OB?OD；③OC?G=OD?FA．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④【答案】D【分析】根據(jù)在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線互相平行判斷出B1C∥A1D，然后求出△OB1C∽△OA1D，判斷出①正確；根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可得到②正確；根據(jù)杠桿平衡原理：動(dòng)力×動(dòng)力臂=阻力×阻力臂列式判斷出③正確；求出F的大小不變，判斷出④正確．【詳解】∵B1C⊥OA，A1D⊥OA，∴B1C∥A1D，∴△OB1C∽△OA1D，故①正確；∴OCOD由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，OB=OB1，OA=OA1，∴OA?OC=OB?OD，故②正確；由杠桿平衡原理，OC?G=OD?F1，故③正確；∴F1∴F1的大小不變，∴F=F1，故④正確．綜上所述，說法正確的是①②③④．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，杠桿平衡原理，熟練掌握相似三角形的判定方法和性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．【題型4相似三角形的應(yīng)用（建筑物問題）】【例4】（2019·四川·成都市雙流區(qū)立格實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）劉徽，公元3世紀(jì)人，是中國歷史上最杰出的數(shù)學(xué)家之一．《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》是他留給后世最寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)．《海島算經(jīng)》第一個(gè)問題的大意是：如圖，要測(cè)量海島上一座山峰A的高度AH，立兩根高3丈的標(biāo)桿BC和DE，兩桿之間的距離BD＝1000步，點(diǎn)D、B、H成一線，從B處退行123步到點(diǎn)F處，人的眼睛貼著地面觀察點(diǎn)A，點(diǎn)A、C、F也成一線，從DE退行127步到點(diǎn)G處，從G觀察A點(diǎn)，A，E，G三點(diǎn)也成一線，試計(jì)算山峰的高度AH及BH的長（這里古制1步＝6尺，1里＝180丈＝1800尺＝300步，結(jié)果用步來表示）．【答案】AH為1255步，HB為30750步【分析】根據(jù)題意得出△FCB∽△FAH，△EDG∽△AHG，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)求出即可．【詳解】解：由題意，得，AH⊥HG，CB⊥HG，∴∠AHF＝90°，∠CBF＝90°，∴∠AHF＝∠CBF，∵∠AFB＝∠CFB，∴△CBF∽△AHF，∴BC同理可得DE∵BF＝123，BD＝1000，DG＝127，∴HF＝HB+123，HG＝HB+1000+127＝HB+1127，BC＝DE＝3丈＝3×53∴5解得HB＝30750，HA＝1255步，答：AH為1255步，HB為30750步．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定和性質(zhì)．【變式4-1】（2022·陜西·武功縣教育局教育教學(xué)研究室一模）千佛鐵塔位于陜西省咸陽市之北杜鎮(zhèn)，用純鐵鑄成，中空有梯可攀登，四角柱鑄成金剛力士像，頂立層樓，各層環(huán)周鑄鐵佛多尊，故名“千佛塔”，此塔為中國現(xiàn)存鐵塔中最高的一座．某數(shù)學(xué)興趣小組本著用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的想法，欲測(cè)量該塔的高度．如圖，在點(diǎn)C處有一建筑物，小麗同學(xué)站在建筑物上，眼睛位于點(diǎn)D處，她手拿一支長0.5米的竹竿EF，邊觀察邊移動(dòng)竹竿（竹竿EF始終與地面垂直），當(dāng)移動(dòng)到如圖所示的位置時(shí)，眼睛D與竹竿、塔的頂端E、A共線，同時(shí)眼睛D與它們的底端F、B也恰好共線，此時(shí)測(cè)得∠BDC=63°，小麗的眼睛距竹竿的距離為0.5米，小麗的眼睛距地面的高度CD=17米，已知AB⊥BC，DC⊥BC．請(qǐng)你根據(jù)以上測(cè)量結(jié)果計(jì)算該塔的高度AB．【參考數(shù)據(jù)：tan63°≈2【答案】該塔的高度AB為34米【分析】過點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，交EF于點(diǎn)H，再根據(jù)EF∥AB可得出△DAB∽△DEF，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出【詳解】過點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，交EF于點(diǎn)H，如圖．易得DG=BC，DH⊥EF，DH=0.5米．∵CD=17米，∠BDC=63°，∠C=90°，tan63°≈2∴BCCD=2，∴BC=34米，即DG=34∵EF∥∴∠DEF=∠A，∠DFE=∠DBA，∴△DAB∽△DEF∴ABEF=DG解得AB=34米，即該塔的高度AB為34米．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2022·陜西·模擬預(yù)測(cè)）延安寶塔，是歷史名城延安的標(biāo)志，是革命圣地的象征，坐落在陜西省延安市主城東南的寶塔山景區(qū)內(nèi)．周末，數(shù)學(xué)實(shí)踐小組的同學(xué)帶著測(cè)量工具測(cè)量延安寶塔的高度．測(cè)量方案如下：首先，在A處豎立一根高4m的標(biāo)桿AB，發(fā)現(xiàn)地面上的點(diǎn)D、標(biāo)桿頂端B與寶塔頂端M在一條直線上，測(cè)得AD=4.3m；然后，移開標(biāo)桿，在A處放置測(cè)角儀，調(diào)整測(cè)角儀的高度，當(dāng)測(cè)角儀高AC為1m時(shí)，恰好測(cè)得點(diǎn)M的仰角為45°已知MN⊥ND，AB⊥ND，點(diǎn)D、A、N在一條直線上，點(diǎn)A，C、B在一條直線上，求延安寶塔的高M(jìn)N．【答案】延安寶塔的高M(jìn)N為44m．【分析】根據(jù)已知條件推出ΔMND～ΔBAD【詳解】解：過點(diǎn)C作CE⊥MN于點(diǎn)E，則CE=AN，EN=AC=1，∵∠MCE=45°，∴ME=CE．∴ME=CE=AN=MN?1，∠MND=∠BAD，∠MDN=∠BDA，∴ΔMND～∴MNAB=DN∴MN=44∴延安寶塔的高M(jìn)N為44m．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的應(yīng)用，證明ΔMND～ΔBAD是解決本題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2022·陜西西安·一模）“攬?jiān)麻w”位于西安市雁塔南路最南端，是西安唐文化的標(biāo)志性建筑，陽光明媚的一天，某校九年級(jí)一班的興趣小組去測(cè)量攬?jiān)麻w的高度．?dāng)堅(jiān)麻w前面有個(gè)高1米的平臺(tái)，身高1.8米的小強(qiáng)在臺(tái)上走動(dòng)，當(dāng)小強(qiáng)走到點(diǎn)C處，小紅蹲在臺(tái)下點(diǎn)N處，其視線通過邊緣點(diǎn)M和小強(qiáng)頭頂點(diǎn)D正好看到塔頂A點(diǎn)，測(cè)得CM=0.9米，然后小強(qiáng)從正前方跳下后，往前走到點(diǎn)E處，此時(shí)發(fā)現(xiàn)小強(qiáng)頭頂F在太陽下的影子恰好和塔頂A在地面上的影子重合于點(diǎn)P處，測(cè)得NE=5米，EP=1米．請(qǐng)你根據(jù)以上數(shù)據(jù)幫助興趣小組求出攬?jiān)麻w的高度．【答案】99米【分析】過點(diǎn)M作MQ⊥AB于點(diǎn)Q，則四邊形QBNM為矩形，設(shè)AB的長為x，則AQ=x?1，根據(jù)DC⊥MQ,AQ⊥MQ，可得△AQM∽△DCM，進(jìn)而求得MQ的長度，即BN的長度，根據(jù)AB∥EF，可得【詳解】解：如圖，過點(diǎn)M作MQ⊥AB于點(diǎn)Q，∵AB⊥BN,MN⊥BN∴四邊形QBNM為矩形，設(shè)AB的長為x，則AQ=x?1，∵DC⊥MQ,AQ⊥MQ∴AQ∴△AQM∽△DCM∴AQ∵AQ=x?1,DC=1.8,CM=0.9∴QM=∴BN=QM=∵AB∴△PEF∽△PBA∴∵EF=1.9,PB=PE+NE+BN=1+5+∴解得x=99∴攬?jiān)麻w的高度為99米【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【題型5相似三角形的應(yīng)用（樹高問題）】【例5】（2011·遼寧大連·中考真題）為了測(cè)量校園內(nèi)一棵不可攀的樹的高度，學(xué)校數(shù)學(xué)應(yīng)用實(shí)踐小組做了如下的探索：根據(jù)光的反射定律，利用一面鏡子和皮尺，設(shè)計(jì)如圖所示的測(cè)量方案：把鏡子放在離樹(AB)8.7m的點(diǎn)E處，然后觀測(cè)考沿著直線BE后退到點(diǎn)D，這時(shí)恰好在鏡子里看到樹梢頂點(diǎn)A，再用皮尺量得DE＝2.7m，觀測(cè)者目高CD＝1.6m，則樹高AB約是____．（精確到0.1m）【答案】5.2【詳解】如圖容易知道CD⊥BD，AB⊥BE，即∠CDE=∠ABE=90°．由光的反射原理可知∠CED=∠AEB，這樣可以得到△CED∽△AEB，然后利用對(duì)應(yīng)邊成比例就可以求出AB．解：由題意知∠CED=∠AEB，∠CDE=∠ABE=90°，∴△CED∽△AEB．∴CD∴AB≈5.2米．故答案為5.2m．【變式5-1】（2021·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）據(jù)《九章算術(shù)》記載：“今有山居木西，不知其高.山去五十三里，木高九丈西尺，人立木東三里，望木末適與山峰斜平.人目高七尺.問山高幾何？”大意如下：如圖，今有山AB位于樹CD的西面.山高AB為未知數(shù)，山與樹相距53里，樹高9丈5尺，人站在離樹3里的F處，觀察到樹梢C恰好與山峰A處在同一斜線上，人眼離地7尺，問山AB的高約為多少丈？(1丈=10尺，結(jié)果精確到個(gè)位)【答案】由AB的高約為165丈.【分析】由題意得BD=53里，CD=95尺，EF=7尺，DF=3里，過點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)H，得BG=DH=EF=7尺，GH=BD=53里，HE=DF=3里，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出.【詳解】解：由題意得BD=53里，CD=95尺，EF=7尺，DF=3里.如圖，過點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)H.則BG=DH=EF=7尺，GH=BD=53里，HE=DF=3里，∵CD//AB，∴△ECH∽△EAG，∴CH∴∴AG≈164.3丈，AB=AG+0.7≈165丈.答：由AB的高約為165丈.【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用，能夠?qū)?shí)際問題轉(zhuǎn)化成相似三角形是解題的關(guān)鍵.【變式5-2】（2022·全國·九年級(jí)單元測(cè)試）小明想用鏡子測(cè)量一棵松樹的高度，但因樹旁有一條河，不能測(cè)量鏡子與樹之間的距離，于是他兩次利用鏡子，如圖所示，第一次他把鏡子放在C點(diǎn)，人在F點(diǎn)時(shí)正好在鏡子中看到樹尖A；第二次把鏡子放在D點(diǎn)，人在G點(diǎn)正好看到樹尖A．已知小明的眼睛距離地面1.70m，量得CD＝12m，CF＝1.8m，DH＝3.8m．請(qǐng)你求出松樹的高．【答案】這棵古松的高約為10.2米.【分析】根據(jù)反射定律可以推出∠ACB=∠ECF，∠ADB=∠DGH，所以可得△BAC∽△FEC、△ADB∽△GDH，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答．【詳解】解：根據(jù)反射定律可以推出∠ACB＝∠ECF，∠ADB＝∠GDH，∵AB⊥BC，EF⊥BC，GH⊥BC，∴△BAC∽△FEC、△ADB∽△GDF，設(shè)AB＝x，BC＝y(tǒng)∴1.70x解得x=10.2y=10.8答；這棵古松的高約為10.2米【變式5-3】（2021·陜西寶雞·一模）傍晚，小張和媽媽在某公園散步，發(fā)現(xiàn)公園的一路燈旁有一棵古老的大樹，小華激動(dòng)地說：媽媽，我可以通過測(cè)量您的影長，測(cè)得媽媽的影長DF＝1.6m．媽媽沿BD的方向到達(dá)點(diǎn)F處，此時(shí)小華測(cè)得媽媽的影長FG＝2m．已知媽媽的身高為1.6m（即CD＝EF＝1.6m），AB⊥BG，CD⊥BG，求這棵大樹的高度．【答案】8米【分析】在同一時(shí)刻物高和影長成正比，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：∵CD∥EF∥AB，∴△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG，∴CDAB=DF又∵CD＝EF，CD=DF∴EF∵DF＝1.6m，F(xiàn)G＝2m，∴1.6解得，AB＝8．答：這棵大樹的高度是8m．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的有關(guān)知識(shí)，能夠借助兩組三角形相似求解是解決問題的關(guān)鍵．【題型6相似三角形的應(yīng)用（河寬問題）】【例6】（2021·河北·石家莊市第四十一中學(xué)九年級(jí)期中）為了估計(jì)河的寬度，我們可以在河對(duì)岸的岸邊選定一個(gè)目標(biāo)記為點(diǎn)A，再在河的這一邊選點(diǎn)B和點(diǎn)C，使得AB⊥BC，CE⊥BC，設(shè)BC與AE交于點(diǎn)D，如圖所示測(cè)得BD=120m，DC=40m，EC=30m，那么這條河的大致寬度是（

）A．60m B．90m C．100m D．120m【答案】B【分析】證明△DEC∽△DAB即可．【詳解】∵AB⊥BC，CE⊥BC，∴∠DBA=∠DCE，∵∠BDA=∠CDE，∴△DEC∽△DAB,∴DC：DB=EC：AB，∵BD=120m，DC=40m，EC=30m，∴40：120=30：AB，∴AB=90（m）,故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形相似的判定定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2019·全國·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，為了估計(jì)河的寬度，在河的對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)A，在近岸取點(diǎn)B，C，D，E，使點(diǎn)A，B，D在一條直線上，且AD⊥DE，點(diǎn)A，C，E也在一條直線上且DE∥BC．如果BC＝24m，BD＝12m，DE＝40m，則河的寬度AB約為(

)A．20m B．18m C．28m D．30m【答案】B【分析】證明△ABC∽△ADE，利用相似比得到BCDE=AB【詳解】∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，∴BCDE=AB即2440=AB∴AB=18m．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用：利用影長測(cè)量物體的高度；利用相似測(cè)量河的寬度（測(cè)量距離）；借助標(biāo)桿或直尺測(cè)量物體的高度．【變式6-2】（2022·貴州畢節(jié)·二模）如圖，一條河的兩岸有一段是平行的，在河的南岸岸邊每隔5m有一棵樹，小華站在離南岸20m的點(diǎn)P處看北岸，在兩棵樹之間的空隙中，恰好看見一條龍舟的龍頭和龍尾（假設(shè)龍頭、龍尾和小華的眼睛位于同一水平平面內(nèi)），已知龍舟的長為18.5m，若龍舟行駛在河的中心，且龍舟與河岸平行，則河寬為_______m．【答案】108【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，過點(diǎn)P作PF⊥CD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)E，證明△PAB∽△PCD，再借助相似三角形的性質(zhì)計(jì)算PF的長，再由題意計(jì)算河寬即可．【詳解】解：根據(jù)題意畫出示意圖，過點(diǎn)P作PF⊥CD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)E，由題意可知，兩樹之間的距離AB=5m，龍舟的長CD=18.5m，點(diǎn)P到南岸的距離PE=20m，∵AB//∴△PAB∽△PCD，∴PEPF=AB∴PF=74m，∴EF=PF?PE=74?20=54m，∵龍舟行駛在河的中心，∴河寬為54×2=108m．故答案為：108．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用相似三角形解決實(shí)際問題，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意作出示意圖，構(gòu)建相似三角形．【變式6-3】（2022·陜西·西安工業(yè)大學(xué)附中九年級(jí)期中）為了加快城市發(fā)展，保障市民出行方便，某市在流經(jīng)該市的河流上架起一座橋，連通南北，鋪就城市繁榮之路．小明和小穎想通過自己所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)計(jì)算該橋AF的長．如圖，該橋兩側(cè)河岸平行，他們?cè)诤拥膶?duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn)A，再在河岸的這一邊選出點(diǎn)B和點(diǎn)C，分別在AB、AC的延長線上取點(diǎn)D、E，使得DE∥BC．經(jīng)測(cè)量，BC＝120米，DE＝210米，且點(diǎn)E到河岸BC的距離為60米．已知AF⊥BC于點(diǎn)F，請(qǐng)你根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，幫助他們計(jì)算橋AF的長度．【答案】橋AF的長度為80米．【分析】過E作EG⊥BC于G，依據(jù)△ABC∽△ADE，即可得出ACEC=43，依據(jù)△ACF∽△ECG，即可得到【詳解】解：如圖所示，過E作EG⊥BC于G，∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE，∴ACAE＝BCDE∴ACEC∵AF⊥BC，EG⊥BC，∴AF∥EG，∴△ACF∽△ECG，∴AFEG=AC解得AF=80，∴橋AF的長度為80米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用相似測(cè)量河的寬度（測(cè)量距離）．測(cè)量不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，常常構(gòu)造“A”型或“X”型相似圖，三點(diǎn)應(yīng)在一條直線上．必須保證在一條直線上，為了使問題簡便，盡量構(gòu)造直角三角形．方法是通過測(cè)量易于測(cè)量的線段，利用三角形相似，對(duì)應(yīng)邊成比例可求出河的寬度．【題型7相似三角形的