【數(shù)學】函數(shù)的概念及其表示（第一課時）課件-2024-2025學年高一上學期數(shù)學人教A版（2019）必修第一冊

第三章函數(shù)概念與性質

3.1函數(shù)的概念及其表示（第1課時）天宮二號“函數(shù)”名字的由來在1859年和英國傳教士偉烈亞力和譯的《代微積拾積》中首次將“function”譯做“函數(shù)”．由清代數(shù)學家李善蘭引入凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)李善蘭1811－1882清朝數(shù)學家初中所學函數(shù)的定義是什么？

設在一個變化過程中有兩個變量

x和y，如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與它對應，那么就說y是x的函數(shù).其中x叫自變量，y叫因變量.【思考】

1.是函數(shù)嗎？2.正方形的周長

與邊長

的對應關系是

與正比例函數(shù)是同一函數(shù)嗎？【創(chuàng)設情境，抽象概念】問題1.某“復興號”高速列車到350km/h后保持勻速運行半小時。這段時間內(nèi)，列車行進的路程S（單位：km）與運行時間t（單位：h）的關系可以表示為S=350t。（2）根據(jù)對應關系S=350t，這趟列車加速到350km/h后，運行1h就前進了350km，這個說法正確嗎？不正確。（1）路程S是運行時間t的函數(shù)嗎？勻速運行半小時問題1.某“復興號”高速列車到350km/h后保持勻速運行半小時。這段時間內(nèi)，列車行進的路程S（單位：km）與運行時間t（單位：h）的關系可以表示為S=350t。（3）怎樣更準確地描述路程S和運行時間t的關系？

【創(chuàng)設情境，抽象概念】分析：t的變化范圍是數(shù)集S的變化范圍是數(shù)集問題2某電氣維修告訴要求工人每周工作至少1天，至多不超過6天。如果公司確定的工資標準是每人每天350元，而且每周付一次工資，那么你認為該怎樣確定一個工人每周的工資？一個工人的工資w（單位：元）是他工作天數(shù)d的函數(shù)嗎？【創(chuàng)設情境，抽象概念】分析：d的變化范圍是數(shù)集w的變化范圍是數(shù)集對應關系：

仿照問題1，嘗試更準確地描述工資w與工作天數(shù)d的關系?！緞?chuàng)設情境，抽象概念】對應關系：對應關系：【思考】它們是同一個函數(shù)嗎？問題1：t的變化范圍是數(shù)集

S的變化范圍是數(shù)集問題2：d的變化范圍是數(shù)集

w的變化范圍是數(shù)集問題3如圖是北京市2016年11月23日的空氣質量指（AQI)變化圖。（1）如何找到中午12時的AQI值？這個值唯一嗎？（2）如何根據(jù)該圖確定這一天內(nèi)任一時刻th的空氣質量指數(shù)的值I？【創(chuàng)設情境，抽象概念】問題3如圖是北京市2016年11月23日的空氣質量指數(shù)（AQI)變化圖。（3）嘗試用集合語言描述空氣質量指數(shù)I與時間t之間的關系。

對應關系:圖象【創(chuàng)設情境，抽象概念】問題4國際上常用恩格爾系數(shù)反映一個地區(qū)人民生活質量的高低，恩格爾系數(shù)越低，生活質量越高。上表是我國某省城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況，從表中可以看出，該省城鎮(zhèn)居民的生活質量越來越高。（1）按表中給出的對應關系，恩格爾系數(shù)r是年份y的函數(shù)嗎？【創(chuàng)設情境，抽象概念】（2）按表中給出的對應關系，嘗試用集合語言描述恩格爾系數(shù)r與年份y之間的函數(shù)關系。r的變化范圍為數(shù)集{0.3669,0.3681,0.3817,0.3569,0.3515，0.3353,0.33870.2989,0.2935，0.2857}y的取值范圍為數(shù)集{2006,2007,2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015}對應關系:表格【創(chuàng)設情境，抽象概念】？（3）如果我們引入集合B={r|0≤r≤1}，將對應關系表示為對于任意一個年份y都有B中唯一確定的r與之對應，你認為有道理嗎？【創(chuàng)設情境，抽象概念】歸納

上述問題1至問題4中的函數(shù)有哪些共同特征？問題情境自變量的集合對應關系函數(shù)值所在的集合函數(shù)值的集合問題1問題2

問題3問題4【創(chuàng)設情境，抽象概念】歸納

上述問題1至問題4中的函數(shù)有哪些共同特征？問題情境自變量的集合對應關系函數(shù)值所在的集合函數(shù)值的集合問題1A1={t|0≤t≤0.5}S=350tB1={S|0≤S≤150}B1問題2A2={1,2,3,4,5,6}W=350dB2={350，700，1050，1400，1750，2100}B2問題3A3={t|0≤t≤24}圖1B3={I|0<I<150}C3(C3?B3)問題4A4={2006,2007,2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015}表1B4={r|0<r≤1}C4={0.3669,0.3681,0.3817,0.3569,0.3515，0.3353,0.33870.2989,0.2935，0.2857}C4?B4【創(chuàng)設情境，抽象概念】共同特征有：（1）都包含兩個非空數(shù)集，可以用A，B來表示；（2）都有一個對應關系；（3）盡管對應關系的表示方法不同，但它們都有如下特性：對于數(shù)集A中的任意一個數(shù)x，按照對應關系，在數(shù)集B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應。結合特征，試用集合語言與集合關系刻畫函數(shù)的概念.【創(chuàng)設情境，抽象概念】

函數(shù)的概念：一般地，設A，B是非空的實數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個實數(shù)x，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)．

記作：y＝f(x)，x∈A．

其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．

顯然，值域是集合B的子集．

可見，構成函數(shù)的要素為：定義域，對應關系和值域．【創(chuàng)設情境，抽象概念】【概念辨析，強化概念】512336AB(1)432-249AB(3)12354AB(2)集合A,B與對應關系f如下圖所示：f:AB是否為從集合A到集合B的函數(shù)？如果是，寫出定義域、值域和對應關系；如果不是，說明理由。【思考】

1.是函數(shù)嗎？2.正方形的周長

與邊長

的對應關系是

與正比例函數(shù)是同一函數(shù)嗎？【概念辨析，強化概念】【學以致用，鞏固新知】

用函數(shù)的定義重新表述一次函數(shù)，二次函數(shù)與反比例函數(shù)：函數(shù)一次函數(shù)二次函數(shù)反比例函數(shù)a＞0a＜0對應關系定義域值域x→ax＋b

R

R

x→ax2＋bx＋c

R

R

{x|x≠0}

{y|y≠0}

【學以致用，鞏固新知】例1

函數(shù)的解析式是舍棄問題的實際背景而抽象出來的，它所反映的兩個量之間的對應關系，可以廣泛地用于刻畫一類事物中的變化關系和規(guī)律.

試構建一個問題情境，使其中的變量關系可以用解析式來描述.解

把看成二次函數(shù)，則它的定義域是

值域是

對應關系f把

中的任意一個數(shù),對應到B中唯一確定的數(shù).【學以致用，鞏固新知】【課堂小結】1.知識：2.數(shù)學素養(yǎng)：函數(shù)的概念數(shù)學抽象【課堂小結】每一個

唯一的變化過程中對應函數(shù)的表示法：