【數(shù)學(xué)】圓錐曲線的方程單元練習(xí)卷-2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊

第1頁（共1頁）第三章圓錐曲線的方程同步練習(xí)卷-2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期人教A版2019一．選擇題（共8小題）1．拋物線x＝﹣2y2的焦點坐標(biāo)為（）A． B． C． D．2．橢圓的焦點為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上一點，若|PF1|＝3，則|PF2|＝（）A．9 B．7 C．5 D．33．若橢圓和雙曲線的共同焦點為F1，F(xiàn)2，P是兩曲線的一個交點，則△PF1F2的面積值為（）A． B． C． D．84．已知雙曲線（a＞0，b＞0）的左焦點為F，M，N，P是雙曲線C上的點，其中線段MN的中點恰為坐標(biāo)原點O，且點M在第一象限，若，∠OFM＝∠OMF，則雙曲線C的離心率為（）A． B． C． D．5．已知雙曲線C的實軸長為2，且與橢圓的焦點相同，則雙曲線C的漸近線方程為（）A． B． C． D．6．希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在他的著作《數(shù)學(xué)匯篇》中，完善了歐幾里得關(guān)于圓錐曲線的統(tǒng)一定義，并對這一定義進行了證明，他指出，到定點的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)e的點的軌跡叫做圓錐曲線：當(dāng)0＜e＜1時，軌跡為橢圓；當(dāng)e＝1時，軌跡為拋物線；當(dāng)e＞1時，軌跡為雙曲線．現(xiàn)有方程表示的圓錐曲線為（）A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．以上都不對7．已知橢圓，過點P（2，1）且斜率為﹣1的直線與C相交于A，B兩點，若P恰好是AB的中點，則橢圓C上一點M到焦點F的距離的最小值為（）A．6 B． C． D．8．已知雙曲線＝1（a＞0，b＞0）的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，點F2到其中一條漸近線的距離為3，點P是雙曲線上一點，且∠F1PF2＝60°，則|PF1||PF2|＝（）A．12 B．18 C．24 D．36二．多選題（共3小題）9．已知雙曲線C：﹣x2＝1，則下列關(guān)于雙曲線C的說法正確的是（）A．焦點為 B．實軸長是3 C．漸近線方程為y＝±3x D．離心率為10．設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：的兩個焦點，P（x0，y0）為C上一點且在第一象限，I（x1，y1）為△F1PF2的內(nèi)心，且△F1PF2內(nèi)切圓半徑為1，則（）A． B． C．x1＝2 D．11．已知拋物線Γ：x2＝8y的焦點為F，點F與點P關(guān)于原點對稱，過點P的直線l與拋物線Γ交于M，N兩點（點M和點P在點N的兩側(cè)），則下列命題正確的是（）A．存在直線l，使得 B．若NF為△MPF的中線，則|MF|＝2|NF| C．若NF為∠MFP的角平分線，則|MF|＝6 D．對于任意直線l，都有|MF|+|NF|＞2|PF|三．填空題（共3小題）12．已知焦點在x軸上的橢圓的離心率為，則m的值為．13．如圖，M是拋物線y2＝4x上的一點，F(xiàn)是拋物線的焦點，以Fx為始邊、FM為終邊的角∠xFM＝60°，|FM|＝．14．已知直線y＝2x與雙曲線沒有公共點，那么雙曲線C的離心率的一個值是．四．解答題（共5小題）15．設(shè)拋物線C：y2＝2px（p＞0），F(xiàn)是其焦點，已知拋物線上一點M（m，2），且MF＝2，（1）求該拋物線的方程；（2）過點F作兩條互相垂直的直線l1和l2，分別交曲線C于點A，B和K，N．設(shè)線段AB，KN的中點分別為P，Q，求證：直線PQ恒過一個定點．16．已知雙曲線與有相同的漸近線，且經(jīng)過點．（1）求雙曲線C的方程；（2）已知直線x﹣y+m＝0與雙曲線C交于不同的兩點A，B，且線段A，B的中點在圓x2+y2＝20上，求實數(shù)m的值．17．已知離心率為的橢圓C：＝1（a＞b＞0）經(jīng)過點M（1，）（1）求橢圓C的方程；（2）A，B分別為橢圓的左右頂點，直線AM、BM分別交直線x＝4于P，Q兩點，求△PQM的面積．18．已知橢圓左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點在橢圓上，過F1的直線交橢圓于B、D兩點，過F2的直線交橢圓于A、C兩點，且AC⊥BD，當(dāng)直線BD的斜率為0時，|BD|+|AC|＝7．（1）求橢圓的方程；（2）若P是該橢圓上的一個動點，求的取值范圍；（3）求四邊形ABCD的面積的最小值．19．已知雙曲線的左、右頂點分別為A，B，漸近線方程為y＝，，直線與C的左、右支分別交于點M，N（異于點A，B）．（1）求C的方程；（2）若直線AM與直線BN的斜率之積為，求m的值．

第三章圓錐曲線的方程同步練習(xí)卷-2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期人教A版2019參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．拋物線x＝﹣2y2的焦點坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【分析】確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求得答案．【解答】解：由題意可知，拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，故焦點坐標(biāo)為．故選：C．【點評】本題主要考查拋物線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．2．橢圓的焦點為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上一點，若|PF1|＝3，則|PF2|＝（）A．9 B．7 C．5 D．3【分析】利用橢圓的定義求解即可．【解答】解：橢圓的焦點為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上一點，所以|PF1|+|PF2|＝2a＝10，若|PF1|＝3，可得|PF2|＝10﹣3＝7．故選：B．【點評】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．3．若橢圓和雙曲線的共同焦點為F1，F(xiàn)2，P是兩曲線的一個交點，則△PF1F2的面積值為（）A． B． C． D．8【分析】設(shè)點P（m，n），根據(jù)方程組求點P的坐標(biāo)和焦距，進而可得面積．【解答】解：對于橢圓可知：半長軸長為5，半短軸長為3，半焦距為4，則|F1F2|＝8，設(shè)點P（m，n），則，解得，所以△PF1F2的面積值為．故選：A．【點評】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．4．已知雙曲線（a＞0，b＞0）的左焦點為F，M，N，P是雙曲線C上的點，其中線段MN的中點恰為坐標(biāo)原點O，且點M在第一象限，若，∠OFM＝∠OMF，則雙曲線C的離心率為（）A． B． C． D．【分析】易證得四邊形MFNF′為矩形，設(shè)|NF|＝x，結(jié)合雙曲線定義可表示出|PF|，|PN|，|NF′|，|PF′|，在Rt△PNF′，Rt△FNF′中，利用勾股定理即可求解．【解答】解：設(shè)雙曲線C的右焦點為F′，連接PF′，MF′，NF′，∵∠OFM＝∠OMF，∴|OM|＝|OF|＝|OF′|，∴MF′⊥MF，又O為MN中點，∴四邊形MFNF′為矩形，設(shè)|NF|＝x，則|PF|＝2x，|PN|＝3x，∴|NF′|＝2a+x，|PF′|＝2a+2x，∵|PN|2+|NF′|2＝|PF′|2，∴9x2+（2a+x）2＝（2a+2x）2，解得：，又|NF|2+|NF′|2＝|FF′|2，∴，得17a2＝9c2，即，∴雙曲線C的離心率為．故選：B．【點評】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，屬于中檔題．5．已知雙曲線C的實軸長為2，且與橢圓的焦點相同，則雙曲線C的漸近線方程為（）A． B． C． D．【分析】由橢圓的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)求解．【解答】解：已知橢圓的焦點坐標(biāo)為（0，3），（0，﹣3），已知雙曲線C的實軸長為2，則a＝1，則，即雙曲線C的方程為，則雙曲線C的漸近線方程為．故選：B．【點評】本題考查了橢圓的性質(zhì)，重點考查了雙曲線的性質(zhì)，屬中檔題．6．希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在他的著作《數(shù)學(xué)匯篇》中，完善了歐幾里得關(guān)于圓錐曲線的統(tǒng)一定義，并對這一定義進行了證明，他指出，到定點的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)e的點的軌跡叫做圓錐曲線：當(dāng)0＜e＜1時，軌跡為橢圓；當(dāng)e＝1時，軌跡為拋物線；當(dāng)e＞1時，軌跡為雙曲線．現(xiàn)有方程表示的圓錐曲線為（）A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．以上都不對【分析】將方程轉(zhuǎn)化為方程判斷．【解答】解：方程即為方程表示：動點P（x，y）到定點O（0，0）的距離與到定直線3x+4y﹣12＝0的距離的比為5且大于1，所以其軌跡為雙曲線．故選：B．【點評】本題考查雙曲線的性質(zhì)，屬于中檔題．7．已知橢圓，過點P（2，1）且斜率為﹣1的直線與C相交于A，B兩點，若P恰好是AB的中點，則橢圓C上一點M到焦點F的距離的最小值為（）A．6 B． C． D．【分析】先設(shè)出A，B的坐標(biāo)，再分別代入橢圓，兩式相減，再根據(jù)過點P這一已知條件求出b即可求出c，即可求解．【解答】解：設(shè)A（x1，y1），b（x2，y2），則，．兩式相減得+＝0．又因為x1+x2＝4，y1+y2＝2，所以kAB＝＝＝＝﹣1．所以b2＝36，所以c2＝72﹣36＝36，所以c＝6，因此橢圓上一點M到焦點F的距離最小值為a﹣c＝6﹣6．故選：B．【點評】本題考查橢圓焦點弦，屬于中檔題．8．已知雙曲線＝1（a＞0，b＞0）的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，點F2到其中一條漸近線的距離為3，點P是雙曲線上一點，且∠F1PF2＝60°，則|PF1||PF2|＝（）A．12 B．18 C．24 D．36【分析】利用點到直線的距離公式可得出b＝3，利用雙曲線的定義、余弦定理可求得|PF1|?|PF2|的值．【解答】解：雙曲線＝1（a＞0，b＞0），則雙曲線的漸近線方程為，即bx±ay＝0，易知點F2（c，0），所以，焦點F2到漸近線的距離為，設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，由雙曲線的定義可得|m﹣n|＝2a，由余弦定理可得，即4a2+mn＝4c2，所以，mn＝4（c2﹣a2）＝4b2＝36．故選：D．【點評】本題主要考查雙曲線的焦點三角形，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共3小題）9．已知雙曲線C：﹣x2＝1，則下列關(guān)于雙曲線C的說法正確的是（）A．焦點為 B．實軸長是3 C．漸近線方程為y＝±3x D．離心率為【分析】求解焦點坐標(biāo)判斷A；求解實軸長判斷B；漸近線方程判斷C；求解離心率判斷D．【解答】解：雙曲線C：﹣x2＝1，可得a＝3，b＝1，c＝，所以焦點坐標(biāo)（0，±），所以A正確；實軸長為6，所以B不正確；漸近線方程為：y＝±3x；所以C正確；離心率為：e＝，所以D不正確．故選：AC．【點評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．10．設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：的兩個焦點，P（x0，y0）為C上一點且在第一象限，I（x1，y1）為△F1PF2的內(nèi)心，且△F1PF2內(nèi)切圓半徑為1，則（）A． B． C．x1＝2 D．【分析】設(shè)切點為A，B，C，由橢圓的定義結(jié)合內(nèi)心的性質(zhì)可判斷A；由等面積法求出代入橢圓的方程可判斷B；求出可判斷C；由兩點的斜率公式可判斷D．【解答】解：如下圖所示，設(shè)切點為A，B，C，對于A，由橢圓的方程知：a＝5，b＝4，c＝3，由橢圓的定義可得：|PF1|+|PF2|＝2a＝10，易知|AF1|+|BF2|＝|F1F2|＝6，所以|PA|＝|PB|＝2，所以，故A正確；對于BCD，，又因為，解得：，又因為P（x0，y0）為C上一點且在第一象限，所以，解得：，故B正確；從而，所以，所以，而|OF1|＝3，所以，故C錯誤；從而，故D正確．故選：ABD．【點評】本題考查橢圓的性質(zhì)，屬于中檔題．11．已知拋物線Γ：x2＝8y的焦點為F，點F與點P關(guān)于原點對稱，過點P的直線l與拋物線Γ交于M，N兩點（點M和點P在點N的兩側(cè)），則下列命題正確的是（）A．存在直線l，使得 B．若NF為△MPF的中線，則|MF|＝2|NF| C．若NF為∠MFP的角平分線，則|MF|＝6 D．對于任意直線l，都有|MF|+|NF|＞2|PF|【分析】設(shè)l：y＝kx﹣2，不妨令M（x1，y1），N（x2，y2）都在第一象限，P（0，﹣2），F(xiàn)（0，2），聯(lián)立拋物線，根據(jù)韋達定理可得k2＞1，x1+x2＝8k，x1x2＝16，則，再根據(jù)各選項描述、拋物線定義判斷它們的正誤．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)直線l：y＝kx﹣2，令N（x2，y2），M（x1，y1）都在第一象限，F(xiàn)（0，2），P（0，﹣2），聯(lián)立x2＝8y和y＝kx﹣2，那么可得x2﹣8kx+16＝0，且Δ＝64（k2﹣1）＞0，所以k2＞1，因此根據(jù)韋達定理可得x1x2＝16，x1+x2＝8k，所以．對于選項A，如果，過點M作MD垂直于準(zhǔn)線y＝﹣2于點D，那么，所以三角形MPD為等腰直角三角形，此時|PD|＝|MD|，所以M（x1，x1﹣2），因此，因此，因此x1＝4，因此x2＝4，所以此時M，N為同一點，不符合題設(shè)，所以選項A錯誤；對于選項B，如果NF為△MPF的中線，那么，因此，因此y1＝4，所以，因此，那么|MF|＝2|NF|＝6，所以選項B正確；對于選項C，若NF為∠MFP的角平分線，那么，作MD，NE垂直準(zhǔn)線y＝﹣2于D，E，那么|MF|＝|MD|且，因此，所以，則，將代入整理得，則y1＝6，所以|MF|＝y(tǒng)1+2＝8，所以選項C錯誤；對于選項D，，而2|PF|＝8，結(jié)合k2＞1，可得8k2＞8，即|MF|+|NF|＞2|PF|恒成立，所以選項D正確．故選：BD．【點評】本題考查直線與拋物線綜合應(yīng)用，屬于中檔題．三．填空題（共3小題）12．已知焦點在x軸上的橢圓的離心率為，則m的值為8．【分析】由橢圓離心率的定義求出離心率和已知相等從而得出結(jié)果．【解答】解：因為焦點在x軸上，由橢圓方程可知：a2＝9＞b2＝m，所以e2＝＝1﹣＝1﹣，由題意可得1﹣＝，可得m＝8．故答案為：8．【點評】本題考查橢圓的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．13．如圖，M是拋物線y2＝4x上的一點，F(xiàn)是拋物線的焦點，以Fx為始邊、FM為終邊的角∠xFM＝60°，|FM|＝4．【分析】首先求出拋物線的焦點坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，設(shè)M的坐標(biāo)（y＞0），利用銳角三角函數(shù)求出y，再根據(jù)拋物線的定義計算可得．【解答】解：由拋物線的方程y2＝4x，可得準(zhǔn)線方程為x＝﹣1，焦點坐標(biāo)為F（1，0），設(shè)M的坐標(biāo)，y＞0且，又∠xFM＝60°，∴，整理得，解得或（舍去），所以由拋物線的定義可得．故答案為：4．【點評】本題考查拋物線性質(zhì)，屬于中檔題．14．已知直線y＝2x與雙曲線沒有公共點，那么雙曲線C的離心率的一個值是2（答案不唯一）．【分析】利用雙曲線的漸近線的斜率與直線的斜率的關(guān)系，即可推出結(jié)果．【解答】解：直線y＝2x與雙曲線無公共點，可得≤2，所以e＝＝≤，故雙曲線C的離心率可能是2．故答案為：2（答案不唯一）．【點評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題．四．解答題（共5小題）15．設(shè)拋物線C：y2＝2px（p＞0），F(xiàn)是其焦點，已知拋物線上一點M（m，2），且MF＝2，（1）求該拋物線的方程；（2）過點F作兩條互相垂直的直線l1和l2，分別交曲線C于點A，B和K，N．設(shè)線段AB，KN的中點分別為P，Q，求證：直線PQ恒過一個定點．【分析】（1）根據(jù)題意列方程，求出p＝2，進而求出標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）先依據(jù)（1）的結(jié)論分別求出兩條互相垂直的直線l1，l2的方程，再分別與拋物線聯(lián)立方程組，求出弦中點P、Q的坐標(biāo)，最后借助直線PQ的方程即可確定直線PQ經(jīng)過定點．【解答】解：（1）由題可得：，解得：p＝2，m＝1，所以拋物線方程為：y2＝4x；（2）設(shè)A，B兩點坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），由題可知，直線l1和l2，的斜率存在且不為0，設(shè)直線l1的方程為y＝k（x﹣1）（k≠0），聯(lián)立，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，則Δ＝（2k2+4）2﹣4k4＝16k2+16＞0，所以，，所以P，由題知，直線l2的斜率為，同理可得Q（1+2k2，﹣2k），當(dāng)k≠±1時，有，此時直線PQ的斜率，所以，直線PQ的方程為，整理得（k2﹣1）y＝﹣k（x﹣3），顯然直線PQ恒過定點（3，0），當(dāng)k＝±1時，直線PQ的方程為x＝3，也過點（3，0），綜上所述，直線PQ恒過定點（3，0）．【點評】本題考查了拋物線的性質(zhì)及直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．16．已知雙曲線與有相同的漸近線，且經(jīng)過點．（1）求雙曲線C的方程；（2）已知直線x﹣y+m＝0與雙曲線C交于不同的兩點A，B，且線段A，B的中點在圓x2+y2＝20上，求實數(shù)m的值．【分析】(1)根據(jù)共漸近線設(shè)雙曲線的方程，然后代入點(,﹣)計算，即可得出答案．(2)聯(lián)立直線與雙曲線的方程，得關(guān)于x的一元二次方程，寫出韋達定理，然后表示出AB的中點坐標(biāo)，代入圓的方程，計算即可得出答案．【解答】解：（1）設(shè)雙曲線C的方程為﹣＝λ,代入M(,﹣),得﹣＝λ,解得λ＝,所以雙曲線的方程為x2﹣＝1．(2)由,得x2﹣2mx﹣m2﹣2＝0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則AB中點坐標(biāo)為(,),由韋達定理可得x1+x2＝2m,所以y1+y2＝(x1+x2)+2m＝4m,所以AB中點坐標(biāo)為(m,2m),因為點(m,2m)在圓x2+y2＝20上，所以m2+(2m)2＝20,解得m＝±2．【點評】本題考查雙曲線的方程，直線與雙曲線相交問題，解題中需要一定的計算能力，屬于中檔題．17．已知離心率為的橢圓C：＝1（a＞b＞0）經(jīng)過點M（1，）（1）求橢圓C的方程；（2）A，B分別為橢圓的左右頂點，直線AM、BM分別交直線x＝4于P，Q兩點，求△PQM的面積．【分析】（1）利用已知條件列出方程，求解橢圓的幾何量，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）根據(jù)已知條件表示出三角形底邊兩點P、Q間的距離，利用公式求面積即可．【解答】解：（1）∵離心率為，則a＝2b，橢圓C為：，代入M（1，），解得b＝1，a＝2，所以橢圓方程為：．（2）由（1）可得A（﹣2，0），B（2，0），又點M（1，），故直線AM的方程：；直線BM的方程為：；代入x＝4的：∴．【點評】本題考查了橢圓方程的求法，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．18．已知橢圓左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點在橢圓上，過F1的直線交橢圓于B、D兩點，過F2的直線交橢圓于A、C兩點，且AC⊥BD，當(dāng)直線BD的斜率為0時，|BD|+|AC|＝7．（1）求橢圓的方程；（2）若P是該橢圓上的一個動點，求的取值范圍；（3）求四邊形ABCD的面積的最小值．【分析】（1）根據(jù)結(jié)合橢圓的基本量關(guān)系求解即可；（2）設(shè)P（x，y），可得，結(jié)合x∈[﹣2，2]與二次函數(shù)的最值求解即可；（3）根據(jù)直線的斜率是否存在進行分類討論，結(jié)合弦長公式與S＝|BD||AC|求得四邊形面積的表達式，利用基本不等式求得其最小值．【解答】解：（1）當(dāng)直線BD的斜率為0時，直線AC垂直于x軸，所以，|BD|＝2a，所以，又因為在C上，因此，解得：，a＝2，因此橢圓方程為；（2）根據(jù)第一問知