湖南省湘潭市雨湖區(qū)2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

2024年下學(xué)期期中考試試卷九年級(jí)數(shù)學(xué)科（時(shí)量：120分鐘總分：120分）班級(jí)：______姓名：______考室：______座位號(hào)：______一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求。1.下列各組中的四條線段成比例的是（）A.6cm、2cm、1cm、4cm B.4cm、5cm、6cm、7cmC.3cm、4cm、5cm、6cm D.6cm、3cm、8cm、4cm2.下列方程為一元二次方程的是（）A. B. C. D.3.若是關(guān)于的反比例函數(shù)，則的值為（）A.1 B. C. D.任意實(shí)數(shù)4.方程化成一元二次方程一般形式后，二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是（）A.4、5、81 B.4、、81 C.4、、 D.、、5.古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是（，稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此.某女老師上身長(zhǎng)約61.8cm，下身長(zhǎng)約96cm，為盡可能達(dá)到黃金比的美感效果好，她應(yīng)穿的高跟鞋的高度大約為（精確到1cm）（）A.4cm B.5cm C.6cm D.7cm6.關(guān)于的方程的一個(gè)解是，則值為（）A.2或4 B.0或4 C.或0 D.或27.函數(shù)與在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是（）A. B. C. D.8.若點(diǎn)，，在反比例函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.9.如圖，在中，，，四邊形的面積為21，則的面積是（）A. B.25 C.35 D.6310.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是軸負(fù)半軸上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)是函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，軸于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)逐漸增大時(shí)，四邊形的面積將會(huì)（）A.先增后減 B.先減后增 C.逐漸減小 D.逐漸增大二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分。11.若，則______.12.已知、是一元二次方程的兩根，則______.13.如圖，在中，，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，于，，，則邊的長(zhǎng)為_(kāi)_____.14.一元二次方程配方為，則的值是______.15.如圖，一次函數(shù)（、為常數(shù)，且）和反比例函數(shù)的圖象交于、兩點(diǎn)，利用函數(shù)圖象直接寫(xiě)出不等式的解集是______.16.關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是______.17.如圖所示是一塊含30°，60°，90°的直角三角板，直角頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，斜邊垂直于軸，頂點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，頂點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，，則______.18.如圖，在矩形紙片中，，.點(diǎn)在上，將沿折疊，點(diǎn)恰落在邊上的點(diǎn)處；點(diǎn)在上，將沿折疊，點(diǎn)恰落在線段上的點(diǎn)處.有下列結(jié)論：①；②；③；④.其中正確的是______.（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都選上）三、解答題：本題共8小題，共66分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.19.（本小題6分）解方程：（1）； （2）.20.（本小題6分）如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)為中點(diǎn)將繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到.（1）反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求該反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，求該一次函數(shù)的表達(dá)式.21.（本小題8分）如圖，，分別交，，于點(diǎn)，，，已知，，，.求，的長(zhǎng).22.（本小題8分）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.（1）求實(shí)數(shù)的最大整數(shù)值；（2）在（1）的條件下，若方程的實(shí)數(shù)根為，，求代數(shù)式的值.23.（本小題9分）已知在中，，，.點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線交線段（圖1）或線段的延長(zhǎng)線（如圖2）于點(diǎn).（1）當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，求證：；（2）當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng).24.（本小題9分）為積極響應(yīng)新舊動(dòng)能轉(zhuǎn)換，提高公司經(jīng)濟(jì)效益，某科技公司近期研發(fā)出一種新型高科技設(shè)備，每臺(tái)設(shè)備成本價(jià)為30萬(wàn)元.經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，每臺(tái)售價(jià)為40萬(wàn)元時(shí)，年銷售量為600臺(tái)；每臺(tái)售價(jià)為45萬(wàn)元時(shí)，年銷售量為550臺(tái).假定該設(shè)備的年銷售量（單位：臺(tái)）和銷售單價(jià)（單位：萬(wàn)元）成一次函數(shù)關(guān)系.（1）求年銷售量與銷售單價(jià)之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）根據(jù)相關(guān)規(guī)定，此設(shè)備的銷售單價(jià)不得高于70萬(wàn)元，如果該公司想獲得10000萬(wàn)元的年利潤(rùn)，那么該設(shè)備的銷售單價(jià)應(yīng)是多少萬(wàn)元？25.（本小題10分）在長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊向終點(diǎn)以1cm/s的速度移動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊向終點(diǎn)以2cm/s的速度移動(dòng).如果、分別從、同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒.（1）填空：______，______（用含的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)為何值時(shí)，的長(zhǎng)度等于5cm？（3）是否存在的值，使得五邊形的面積等于？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.26.（本小題10分）如圖，直角中，，在上，連接，作分別交于，于.（1）如圖1，若，求證：；（2）如圖2，若，取的中點(diǎn)，連接交于，求證：①；②.

2024年下學(xué)期期中考試答案九年級(jí)數(shù)學(xué)科題號(hào)12345678910答案DCACABBCBD11.【答案】12.【答案】313.【答案】414.【答案】1315.【答案】16.【答案】17.【答案】【解析】解：如圖，中，，，，，，，設(shè)，則，，，在函數(shù)的圖象上，，中，，，，在函數(shù)的圖象上，，；故答案為：.設(shè)，則，，根據(jù)直角三角形30°角的性質(zhì)和勾股定理分別計(jì)算點(diǎn)和的坐標(biāo)，寫(xiě)出和兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代入解析式求出和的值，相比即可.本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征、直角三角形30°的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，正確寫(xiě)出、兩點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)鍵.18.【答案】①③④【解析】【分析】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握折疊和矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定方法；會(huì)運(yùn)用勾股定理計(jì)算線段的長(zhǎng).由折疊性質(zhì)得，，，易得，于是可對(duì)①進(jìn)行判斷；根據(jù)，，則在中利用勾股定理可計(jì)算出，所以，設(shè)，則，在中利用勾股定理得，即，，；易知，得出，，若，則，，則可判定②；根據(jù)三角形面積公式可對(duì)③進(jìn)行判斷；利用，，可對(duì)④進(jìn)行判斷.19.【答案】解：（1），，，或，，；（2），，，即，，.20.【答案】解：（1）點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)為中點(diǎn)，，，，將繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，該反比例函數(shù)的表達(dá)式為；（2）作軸于.，，，，在和中，，，，，，，，，設(shè)一次函數(shù)的解析式為，把，代入得，，解得，該一次函數(shù)的表達(dá)式為.【解析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得反比例函數(shù)的解析式；（2）作軸于.證明，推出，，求出點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求得一次函數(shù)的解析式.本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，坐標(biāo)與圖形的變化—旋轉(zhuǎn)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題.21.【答案】解：中，，，，，，，，，中，，，，，，，..【解析】在中，根據(jù)平行線分線段成比例求出，在中，根據(jù)平行線分線段成比例求出，即可求出.本題考查了平行線分線段成比例，平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.22.【答案】解：（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，解得，最大整數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，方程為，由根與系數(shù)關(guān)系，得，，.【解析】本題主要考查根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，由方程根的情況求得的取值范圍是解題的關(guān)鍵.（1）由方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，可知其判別式大于0，可得到關(guān)于的不等式，解不等式可求得的最大整數(shù)值；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系可分別求得和的值，代入計(jì)算即可.23.【答案】（1）證明：，，在與中，，，；（2）解：在中，，，由勾股定理得：.（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如題圖1所示：為鈍角，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，只可能是，由（1）可知，，，即，解得：，；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如題圖2所示：為鈍角，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，只可能是.，，，，，，，點(diǎn)為線段中點(diǎn)，.綜上所述，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為或6.【解析】本題考查相似三角形及分類討論的數(shù)學(xué)思想.第（2）問(wèn)中，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，有兩種情況，需要分類討論，避免漏解.（1）由兩對(duì)角相等（，），證明；（2）當(dāng)為等腰三角形時(shí)，有兩種情況，需要分類討論：（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如題圖1所示.由三角形相似關(guān)系計(jì)算的長(zhǎng)；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如題圖2所示.利用角之間的關(guān)系，證明點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，從而可以求出的長(zhǎng).24.【答案】解：（1）設(shè)年銷售量與銷售單價(jià)之間的函數(shù)表達(dá)式為，將、代入，得解得年銷售量與銷售單價(jià)之間的函數(shù)表達(dá)式為；（2）設(shè)該設(shè)各的銷售蘭價(jià)為萬(wàn)元，則每臺(tái)設(shè)備的利潤(rùn)為萬(wàn)元，銷售量為臺(tái)，根據(jù)題意，得，整理，得，解得，，此設(shè)備的銷售單價(jià)不得高于70萬(wàn)元，.答：該設(shè)備的銷售單價(jià)應(yīng)是50萬(wàn)元25.【答案】（1）；；（2）當(dāng)秒時(shí)，的長(zhǎng)度等于5cm；由題意得