數(shù)學(xué)學(xué)案：互動(dòng)課堂第二講一圓周角定理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精互動(dòng)課堂重難突破一、圓周角定理圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.應(yīng)當(dāng)注意的是，圓心角與圓周角一定是對(duì)著同一條弧,它們才有上面定理中所說(shuō)的數(shù)量關(guān)系.在圓周角定理的證明中,運(yùn)用了數(shù)學(xué)中分類(lèi)討論和化歸的思想以及完全歸納的證明方法.這個(gè)定理是從特殊情況入手研究的，當(dāng)角的一邊過(guò)圓心時(shí),得到圓周角與同弧上的圓心角的關(guān)系,然后研究當(dāng)角的一邊不經(jīng)過(guò)圓心時(shí),圓周角與同弧上的圓心角之間的關(guān)系,在角的一邊不經(jīng)過(guò)圓心時(shí),又有兩種情況,一是圓心在圓周角內(nèi)，二是圓心在圓周角外.經(jīng)過(guò)這樣分不同情況的討論，最后得到不論角的一邊是否經(jīng)過(guò)圓心，都有定理中的結(jié)論成立。在幾何里,許多定理的證明，都需要像這樣分情況進(jìn)行，后面還會(huì)遇到這種分情況證明的定理。另外，通過(guò)這個(gè)定理的分析、證明，我們可以看到，在幾何里討論問(wèn)題時(shí)，常常從特殊情況入手,因?yàn)樘厥馇闆r下問(wèn)題往往容易解決，如圖2-1-1中，中間一種情況為圓周角的一邊經(jīng)過(guò)圓心,此時(shí)∠AOB=2∠C很容易證明。特殊情況下的問(wèn)題解決之后,再想辦法把一般情況下的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊情況下的問(wèn)題，如圖2—1-1左圖和右圖的情況,通過(guò)輔助線(xiàn)，把它們變成中間那樣的兩個(gè)角的和或差，這樣利用特殊情況下的結(jié)論，便可使一般情況下的結(jié)論得證。定理也可理解成一條弧所對(duì)的圓心角是它所對(duì)的圓周角的二倍；圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)的一半.圖2-1—1二、圓周角定理的兩個(gè)推論推論1:同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中,相等的圓周角所對(duì)的弧也相等.如圖2—1—2,∠ABE=∠ACE=∠ADE,∠A=∠B=∠C.圖2—1-2推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑.如圖2—1-3，∠ACB=∠ADB=∠AEB=90°,AB是直徑.圖2—1-3圓周角定理及其推論是進(jìn)一步推導(dǎo)圓其他重要性質(zhì)的理論根據(jù),而且對(duì)于角的計(jì)算,推證角相等、弧相等、弦相等,判定相似三角形、直角三角形等平面幾何中常見(jiàn)問(wèn)題提供了十分簡(jiǎn)便的方法，學(xué)習(xí)中要注意體會(huì).三、刨根問(wèn)底問(wèn)題1在一個(gè)圓中，圓周角與它所對(duì)的弧的對(duì)應(yīng)關(guān)系,在解決問(wèn)題當(dāng)中有什么作用？實(shí)踐中如何加以應(yīng)用？探究：在圓中，只要有弧,就存在著弧所對(duì)的圓周角.同弧對(duì)的圓周角相等，而相等的角為幾何命題的推論提供了條件。但是在剛剛學(xué)習(xí)圓的知識(shí)或圖形比較復(fù)雜時(shí)，往往缺少用這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的意識(shí)或困難，應(yīng)該在實(shí)踐中不斷摸索和總結(jié)規(guī)律.比如由弧找角,如圖2-1—4中，已知，那么在所對(duì)的圓周上任取一點(diǎn)都可得到相等的圓周角∠C=∠D=∠E。也可以由角找弧，再由弧找角，如圖2—1—5中,AD平分∠BAC，得∠1=∠2，∠1對(duì)，∠2對(duì),∠3也對(duì)CD，故∠1=∠2=∠3,如果要證△DBE∽△DAB,無(wú)疑兩個(gè)相等的角為此提供了條件.圖2-1—4圖2—1-5問(wèn)題2在圓中,直徑所對(duì)的圓周角等于90°，解決問(wèn)題時(shí),應(yīng)怎樣利用這一條件？探究:只要在已知中給出了直徑這一條件,一是要想到它和半徑的關(guān)系，還要想到封閉了它所對(duì)的圓周角,便得到了直角三角形，這樣有關(guān)直角三角形的性質(zhì)便可應(yīng)用了。如圖2-1-6，以CD為直徑的⊙O交△ACD的兩邊于B、E,連結(jié)BE.求證:ADcosA=AB.圖2—1-6此題必須先證AD、AB所在△ABD為直角三角形，此時(shí)連結(jié)BD,可由直徑所對(duì)的圓周角為90°，創(chuàng)設(shè)了所需的條件.又如圖2—1—7，在⊙O中，直徑AB⊥CD，弦AE⊥CF。要證△ABE≌△CDF，在知∠A=∠C,AB=CD時(shí)，缺少一個(gè)條件,由AB、CD為直徑，想到連結(jié)BE、CF,便可知∠E=∠F=90°，這就為證三角形全等提供了條件.活學(xué)巧用【例1】如圖2-1-8,已知⊙O中,∠AOB=2∠BOC。求證:∠ACB=2∠BAC.圖2-1-8思路解析：圓周角∠ACB與圓心角∠AOB對(duì)同一條弧,所以∠ACB=∠AOB,同理，∠BAC=∠BOC,再利用已知條件可得結(jié)論.證明:∠ACB=∠AOB，∠AOB=2∠BOC,∠ACB=∠BOC，∠BAC=∠BOC∠ACB=2∠BAC.【例2】如圖2—1-9，已知圓心角∠AOB的度數(shù)為100°,則圓周角∠ACB的度數(shù)為…（)圖2-1-9A.80° B.100° C.120° D。130°思路解析:要求∠ACB,只需求所對(duì)的圓心角,然后利用同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半即可求解.解:∵∠AOB=100°,∴所對(duì)的圓心角為260°，∠ACB=130°。故選D.【例3】如圖2-1—10,以AB為直徑的半圓上任取兩點(diǎn)M和C，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AB，交AC延長(zhǎng)線(xiàn)于E,交BC于F.求證:MN是NF和NE的比例中項(xiàng).圖2—1—10思路解析:題目即證MN2=NF·NE，連結(jié)AM、BM，從而構(gòu)造出Rt△AMB，但MN、NE、NF共線(xiàn)，無(wú)法由相似三角形直接證得,因此要考慮用等積式或等比式過(guò)渡。注意到MN⊥AB,∴MN2=AN·BN,下面只需證AN·BN=NE·NF，這可以由△AEN與△BFN相似證得.證明：連結(jié)AM、BM，∵AB為直徑,∴∠AMB=90°。又MN⊥AB，∴△AMN∽△MBN。∴MN2=AN·BN。又FN⊥AB，∴∠E+∠EAB=90°.∴∠E=∠ABC。又∠ENA=∠FNB=90°，∴△AEN∽△FBN.∴=，即AN·BN=NE·NF?！郙N2=NE·NF，即MN為NE和NF的比例中項(xiàng)?！纠?】如圖2-1-11，在Rt△ABC中,∠BCA=90°，以BC為直徑的⊙O交AB于E點(diǎn),D為AC的中點(diǎn),連結(jié)BD交⊙O于F點(diǎn)。求證:=。圖2-1—11思路解析:要證=,雖然四條線(xiàn)段分別在△BEF與△BCF中，但這兩個(gè)三角形一個(gè)是鈍角三角形,另一個(gè)是直角三角形,不可能相似,故只能夠借助中間比。證明：連結(jié)CE，∵BC為⊙O的直徑，∴∠BFC=90°，∠BEC=90°。又∵∠ACB=90°，∴∠BCE=∠A。又∵∠BF=∠BCE，∴∠BFE=∠A?！唷鰾EF∽△BAD.∴=?！摺螧FC=∠BCA,∠CBD=∠CBD，∴△CBF∽△DBC.∴=.又∵AD=CD,∴=.【例5】AB為⊙O中的一條長(zhǎng)為4的弦,P為⊙O上的一動(dòng)點(diǎn),cos∠APB=。問(wèn)是否存在以A、P、B為頂點(diǎn)的面積最大的三角形，試說(shuō)明理由。若存在，求出這個(gè)三角形的面積.思路解析:因?yàn)锳B為定值，要使S△APB最大,只要AB邊上的高最大，所以P在弓形的最高點(diǎn)即可,又∠APB為定值，根據(jù)圓周角定理的推論,想到構(gòu)造直角三角形，使其一銳角等于∠APB.圖2-1-7解法一:存在以A、P、B為頂點(diǎn)的面積最大的三角形.圖2—1-12∵cos∠APB=，∴∠APB≠90°。∴AB不是直徑。過(guò)O作AB的垂線(xiàn)并延長(zhǎng),分別交優(yōu)弧和劣弧的中點(diǎn)于P、Q，且PD、QD為弓形的高，∴P為優(yōu)弧中點(diǎn)時(shí),△APB面積最大，作⊙O直徑AC,連結(jié)BC,則∠ABC=90°，∠APB=∠C,∴cos∠APB=cosC==。設(shè)BC=x,則AC=3x，在Rt△ABC中,AB=4,由勾股定理AC2=AB2+BC2，∴(3x）2=42+x2,解得x=2.∴BC=2，AC=32.∴.∵AO=OC，AD=BD,∴.∴PD=PO+OD=+=.∴S△APB=AB·PD=×4×2=。解法二:同解法一,P為優(yōu)弧中點(diǎn)時(shí),△AP