專題04三角函數(shù)必考題型分類訓(xùn)練-沖刺2023年高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)重難點(diǎn)題型解題方法與策略真題演練（新高考專用）

專題04三角函數(shù)必考題型分類訓(xùn)練【二年高考真題練】一．選擇題（共15小題）1．（2021?全國）已知tanx＝2，則＝（）A．3 B． C． D．【分析】由已知把要求值的式子化弦為切求解．【解答】解：由tanx＝2，得cosx≠0，∴＝．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．2．（2021?乙卷）把函數(shù)y＝f（x）圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)y＝sin（x﹣）的圖像，則f（x）＝（）A．sin（﹣） B．sin（+） C．sin（2x﹣） D．sin（2x+）【分析】由題意利用函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖像變換規(guī)律，得出結(jié)論．【解答】解：∵把函數(shù)y＝f（x）圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)y＝sin（x﹣）的圖像，∴把函數(shù)y＝sin（x﹣）的圖像，向左平移個(gè)單位長度，得到y(tǒng)＝sin（x+﹣）＝sin（x+）的圖像；再把圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，可得f（x）＝sin（x+）的圖像．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖像變換規(guī)律，屬基礎(chǔ)題．3．（2022?甲卷）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長度的“會(huì)圓術(shù)”．如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點(diǎn)，D在上，CD⊥AB．“會(huì)圓術(shù)”給出的弧長的近似值s的計(jì)算公式：s＝AB+．當(dāng)OA＝2，∠AOB＝60°時(shí)，s＝（）A． B． C． D．【分析】由已知求得AB與CD的值，代入s＝AB+得答案．【解答】解：∵OA＝OB＝2，∠AOB＝60°，∴AB＝2，∵C是AB的中點(diǎn)，D在上，CD⊥AB，∴延長DC可得O在DC上，CD＝OD﹣OC＝2﹣，∴s＝AB+＝2+＝2+＝．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查扇形及其應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．4．（2021?全國）函數(shù)y＝cos2x+sinxcosx圖像的對(duì)稱軸是（）A．x＝+（k∈Z） B．x＝﹣（k∈Z） C．x＝kπ+（k∈Z） D．x＝kπ﹣（k∈Z）【分析】利用倍角公式降冪，再由輔助角公式化積，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求解．【解答】解：y＝cos2x+sinxcosx＝＝＝．由2x+＝，k∈Z，得x＝，k∈Z．∴函數(shù)y＝cos2x+sinxcosx圖像的對(duì)稱軸是x＝+（k∈Z）．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的恒等變換應(yīng)用，考查y＝Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．5．（2021?新高考Ⅰ）若tanθ＝﹣2，則＝（）A．﹣ B．﹣ C． D．【分析】由題意化簡所給的三角函數(shù)式，然后利用齊次式的特征即可求得三角函數(shù)式的值．【解答】解：由題意可得：＝＝＝．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系，三角函數(shù)式的求值等知識(shí)，sin2A+cos2A＝1是解題的關(guān)鍵，屬于中等題．6．（2021?新高考Ⅰ）下列區(qū)間中，函數(shù)f（x）＝7sin（x﹣）單調(diào)遞增的區(qū)間是（）A．（0，） B．（，π） C．（π，） D．（，2π）【分析】本題需要借助正弦函數(shù)單調(diào)增區(qū)間的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)求解．【解答】解：令，k∈Z．則，k∈Z．當(dāng)k＝0時(shí)，x∈[，]，（0，）?[，]，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦函數(shù)單調(diào)性，是簡單題．7．（2021?甲卷）若α∈（0，），tan2α＝，則tanα＝（）A． B． C． D．【分析】把等式左邊化切為弦，再展開倍角公式，求解sinα，進(jìn)一步求得cosα，再由商的關(guān)系可得tanα的值．【解答】解：由tan2α＝，得，即，∵α∈（0，），∴cosα≠0，則2sinα（2﹣sinα）＝1﹣2sin2α，解得sinα＝，則cosα＝＝，∴tanα＝．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的恒等變換與化簡求值，考查倍角公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．8．（2021?乙卷）cos2﹣cos2＝（）A． B． C． D．【分析】法一、直接利用二倍角的余弦化簡求值即可．法二、由誘導(dǎo)公式即二倍角的余弦化簡求值．【解答】解：法一、cos2﹣cos2＝＝＝．法二、cos2﹣cos2＝cos2﹣sin2＝cos＝．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的化簡求值和二倍角的余弦，是基礎(chǔ)題．9．（2022?全國）已知函數(shù)f（x）＝sin（2x+φ）．若f（）＝f（﹣）＝，則φ＝（）A．2kπ+（k∈Z） B．2kπ+（k∈Z） C．2kπ﹣（k∈Z） D．2kπ﹣（k∈Z）【分析】由題意，可得函數(shù)f（x）的一條對(duì)稱軸為x＝0，即φ＝2kπ+（k∈Z）．或φ＝2kπ﹣（k∈Z）．再檢驗(yàn)選項(xiàng)，可得結(jié)論．【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝sin（2x+φ），f（）＝f（﹣）＝，∴函數(shù)f（x）的一條對(duì)稱軸為x＝0，即sinφ＝1或sinφ＝﹣1，故φ＝2kπ+（k∈Z）．或φ＝2kπ﹣（k∈Z）．∴sin（+φ）＝sin（﹣+φ）＝①．不妨k＝0時(shí)，φ＝時(shí)，①不成立；當(dāng)φ＝﹣時(shí)，①成立，故φ＝2kπ﹣（k∈Z），故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．10．（2022?新高考Ⅰ）記函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期為T．若＜T＜π，且y＝f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（，2）中心對(duì)稱，則f（）＝（）A．1 B． C． D．3【分析】由周期范圍求得ω的范圍，由對(duì)稱中心求解ω與b值，可得函數(shù)解析式，則f（）可求．【解答】解：函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期為T，則T＝，由＜T＜π，得＜＜π，∴2＜ω＜3，∵y＝f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（，2）中心對(duì)稱，∴b＝2，且sin（+）＝0，則+＝kπ，k∈Z．∴，k∈Z，取k＝4，可得．∴f（x）＝sin（x+）+2，則f（）＝sin（×+）+2＝﹣1+2＝1．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查y＝Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查邏輯思維能力與運(yùn)算求解能力，是中檔題．11．（2022?甲卷）將函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的圖像向左平移個(gè)單位長度后得到曲線C，若C關(guān)于y軸對(duì)稱，則ω的最小值是（）A． B． C． D．【分析】由題意，利用函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求得ω的最小值．【解答】解：將函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的圖像向左平移個(gè)單位長度后得到曲線C，則C對(duì)應(yīng)函數(shù)為y＝sin（ωx++），∵C的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，∴+＝kπ+，k∈Z，即ω＝2k+，k∈Z，則令k＝0，可得ω的最小值是，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．12．（2022?新高考Ⅱ）若sin（α+β）+cos（α+β）＝2cos（α+）sinβ，則（）A．tan（α﹣β）＝1 B．tan（α+β）＝1 C．tan（α﹣β）＝﹣1 D．tan（α+β）＝﹣1【分析】解法一：由已知結(jié)合輔助角公式及和差角公式對(duì)已知等式進(jìn)行化簡可求α﹣β，進(jìn)而可求．解法二：根據(jù)已知條件，結(jié)合三角函數(shù)的兩角和公式，即可求解．【解答】解：解法一：因?yàn)閟in（α+β）+cos（α+β）＝2cos（α+）sinβ，所以sin（）＝2cos（α+）sinβ，即sin（）＝2cos（α+）sinβ，所以sin（）cosβ+sinβcos（）＝2cos（α+）sinβ，所以sin（）cosβ﹣sinβcos（）＝0，所以sin（）＝0，所以＝kπ，k∈Z，所以α﹣β＝k，所以tan（α﹣β）＝﹣1．解法二：由題意可得，sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ﹣sinαsinβ＝2（cosα﹣sinα）sinβ，即sinαcosβ﹣cosαsinβ+cosαcosα+sinαsinβ＝0，所以sin（α﹣β）+cos（α﹣β）＝0，故tan（α﹣β）＝﹣1．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了輔助角公式，和差角公式在三角化簡求值中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是公式的靈活應(yīng)用，屬于中檔題．13．（2022?甲卷）設(shè)函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）在區(qū)間（0，π）恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則ω的取值范圍是（）A．[，） B．[，） C．（，] D．（，]【分析】由題意，利用正弦函數(shù)的極值點(diǎn)和零點(diǎn)，求得ω的取值范圍．【解答】解：當(dāng)ω＜0時(shí)，不能滿足在區(qū)間（0，π）極值點(diǎn)比零點(diǎn)多，所以ω＞0；函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）在區(qū)間（0，π）恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，ωx+∈（，ωπ+），∴＜ωπ+≤3π，求得＜ω≤，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦函數(shù)的極值點(diǎn)和零點(diǎn)，屬于中檔題．14．（2021?乙卷）函數(shù)f（x）＝sin+cos的最小正周期和最大值分別是（）A．3π和 B．3π和2 C．6π和 D．6π和2【分析】化簡函數(shù)的表達(dá)式，再利用三角函數(shù)的周期，正弦函數(shù)的最值求解即可．【解答】解：∵f（x）＝sin+cos＝sin（+），∴T＝＝6π．當(dāng)sin（+）＝1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值；∴函數(shù)f（x）的周期為6π，最大值．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了輔助角公式、三角函數(shù)的周期性與最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．15．（2022?甲卷）已知a＝，b＝cos，c＝4sin，則（）A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．a(chǎn)＞b＞c D．a(chǎn)＞c＞b【分析】構(gòu)造函數(shù)f（x）＝cosx+，（0＜x＜1），可得cos，即b＞a，利用三角函數(shù)線可得tanx＞x，即tan＞，即，可得c＞b．【解答】解：設(shè)f（x）＝cosx+，（0＜x＜1），則f′（x）＝x﹣sinx，設(shè)g（x）＝x﹣sinx（0＜x＜1），g′（x）＝1﹣cosx＞0，故g（x）在（0，1）單調(diào)遞增，即g（x）＞g（0）＝0，即f′（x）＞0，故f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，所以f（）＞f（0）＝0，可得cos，故b＞a，利用三角函數(shù)線可得x）時(shí)，tanx＞x，∴tan＞，即，∴4sin，故c＞b．綜上：c＞b＞a，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)不等式的證明與應(yīng)用，考查了運(yùn)算能力，屬難題．二．多選題（共1小題）（多選）16．（2022?新高考Ⅱ）已知函數(shù)f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的圖像關(guān)于點(diǎn)（，0）中心對(duì)稱，則（）A．f（x）在區(qū)間（0，）單調(diào)遞減 B．f（x）在區(qū)間（﹣，）有兩個(gè)極值點(diǎn) C．直線x＝是曲線y＝f（x）的對(duì)稱軸 D．直線y＝﹣x是曲線y＝f（x）的切線【分析】直接利用函數(shù)的對(duì)稱性求出函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步利用函數(shù)的性質(zhì)的判斷A、B、C、D的真假．【解答】解：因?yàn)閒（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的圖象關(guān)于點(diǎn)（，0）對(duì)稱，所以+φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ﹣，因?yàn)?＜φ＜π，所以φ＝，故f（x）＝sin（2x+），令2x+，解得﹣＜x＜，故f（x）在（0，）單調(diào)遞減，A正確；x∈（﹣，），2x+∈（，），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，故函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣，）只有一個(gè)極值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；令2x+＝kπ+，k∈Z，得x＝﹣，k∈Z，C顯然錯(cuò)誤；f（x）＝sin（2x+），求導(dǎo)可得，f'（x）＝，令f'（x）＝﹣1，即，解得x＝kπ或（k∈Z），故函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)（0，）處的切線斜率為k＝，故切線方程為y﹣，即y＝，故D正確．故選：AD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的求法，函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．三．填空題（共4小題）17．（2022?全國）若tanθ＝3，則tan2θ＝．【分析】由已知直接利用二倍角的正切求解．【解答】解：由tanθ＝3，得tan2θ＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查倍角公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．18．（2021?甲卷）已知函數(shù)f（x）＝2cos（ωx+φ）的部分圖像如圖所示，則f（）＝﹣．【分析】根據(jù)圖象可得f（x）的最小正周期，從而求得ω，然后利用五點(diǎn)作圖法可求得φ，得到f（x）的解析式，再計(jì)算f（）的值．【解答】解：由圖可知，f（x）的最小正周期T＝（﹣）＝π，所以ω＝＝2，因?yàn)閒（）＝0，所以由五點(diǎn)作圖法可得2×+φ＝，解得φ＝﹣，所以f（x）＝2cos（2x﹣），所以f（）＝2cos（2×﹣）＝﹣2cos＝﹣．故答案為：﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查由y＝Acos（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查數(shù)形結(jié)合思想與運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．19．（2022?乙卷）記函數(shù)f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期為T．若f（T）＝，x＝為f（x）的零點(diǎn)，則ω的最小值為3．【分析】由題意，結(jié)合余弦函數(shù)的周期和零點(diǎn)，建立相關(guān)的方程求解即可．【解答】解：函數(shù)f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期為T＝，若f（T）＝cos（ω×+φ）＝cosφ＝，0＜φ＜π，則φ＝，所以f（x）＝cos（ωx+）．因?yàn)閤＝為f（x）的零點(diǎn)，所以cos（+）＝0，故+＝k，k∈Z，所以ω＝9k+3，k∈Z，因?yàn)棣兀?，則ω的最小值為3．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了方程思想，屬于基礎(chǔ)題．20．（2021?甲卷）已知函數(shù)f（x）＝2cos（ωx+φ）的部分圖像如圖所示，則滿足條件（f（x）﹣f（﹣））（f（x）﹣f（））＞0的最小正整數(shù)x為2．【分析】觀察圖像，，即周期為π，將需要求解的式子進(jìn)行周期變換，變換到附近，觀察圖像可知x＞，即最小正整數(shù)為2．【解答】解：由圖像可得，即周期為π，∵，T＝π，∴，觀察圖像可知當(dāng)，，，∵2∈（），且，∴x＝2時(shí)最小，且滿足題意，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】該題考查了三角函數(shù)的周期性，以及如何通過圖像判斷函數(shù)值的大小，題型靈活，屬于中等題．四．解答題（共1小題）21．（2021?浙江）設(shè)函數(shù)f（x）＝sinx+cosx（x∈R）．（Ⅰ）求函數(shù)y＝[f（x+）]2的最小正周期；（Ⅱ）求函數(shù)y＝f（x）f（x﹣）在[0，]上的最大值．【分析】（Ⅰ）由y＝[f（x+）]2，可得y＝1﹣sin2x，然后利用周期公式求出周期；（Ⅱ）y＝f（x）f（x﹣）＝sin（2x﹣）+，由x∈[0，]，得到的取值范圍，再利用整體法求出y＝f（x）f（x﹣）的最大值．【解答】解：函數(shù)f（x）＝sinx+cosx＝，（Ⅰ）函數(shù)y＝[f（x+）]2＝[2＝2cos2（x+）＝1+cos[2（x+）]＝1+cos（2x+）＝1﹣sin2x，則最小正周期為T＝；（Ⅱ）函數(shù)y＝f（x）f（x﹣）＝＝sinx+cosx）sinx＝＝＝sin（2x﹣）+，因?yàn)閤，所以2x﹣，所以當(dāng)2x﹣，即x＝時(shí)，ymax＝1+．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的圖像性質(zhì)，涉及求解函數(shù)的周期以及最值問題，考查了運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．【二年自主招生練】一．選擇題（共4小題）1．（2022?山西自主招生）已知A＝{y|y＝sin（ωn+φ），n∈Z}，若存在φ使得集合A中恰有3個(gè)元素，則ω的取值不可能是（）A． B． C． D．【分析】利用賦值法逐項(xiàng)寫出一個(gè)周期中的元素，結(jié)合誘導(dǎo)公式判斷是否存在φ使得集合A中恰有3個(gè)元素，再確定ω的取值．【解答】解：對(duì)A，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的周期T＝，在一個(gè)周期內(nèi)對(duì)n賦值，當(dāng)n＝0時(shí)，y＝sinφ，當(dāng)n＝1時(shí)，，當(dāng)n＝2時(shí)，，當(dāng)n＝3時(shí)，，當(dāng)n＝4時(shí)，，當(dāng)n＝5時(shí)，，當(dāng)n＝6時(shí)，，令時(shí)，，所以，，，所以存在φ使得n＝1時(shí)的y值等于n＝6時(shí)的y值，n＝2時(shí)的y值等于n＝5時(shí)的y值，n＝3時(shí)的y值等于n＝4時(shí)的y值，但當(dāng)n＝0，1，2，3時(shí)，不存在φ使得這個(gè)y值中的任何兩個(gè)相等，所以當(dāng)時(shí)，集合A中至少有4個(gè)元素，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，y＝sin（+φ），函數(shù)的周期T＝，在一個(gè)周期內(nèi)對(duì)n賦值，當(dāng)n＝0時(shí)，y＝sinφ，當(dāng)n＝1時(shí)，y＝sin（），當(dāng)n＝2時(shí)，y＝sin（），當(dāng)n＝3時(shí)，y＝sin（）＝sin（﹣），當(dāng)n＝4時(shí)，y＝sin（）＝sin（﹣），令φ＝，sin＝1，sin（）＝sin（﹣）＝cos，sin（）＝sin（﹣）＝cos，所以時(shí)，符合題意，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的周期，在一個(gè)周期內(nèi)對(duì)n賦值，當(dāng)n＝0時(shí)，y＝sinφ，當(dāng)n＝1時(shí)，y＝sin（）＝cosφ，當(dāng)n＝2時(shí)，y＝sin（π+φ）＝﹣sinφ，當(dāng)n＝3時(shí)，，令φ＝0，則sin0＝﹣sin0＝0，cos0＝1，﹣cos0＝﹣1，所以當(dāng)時(shí)，符合題意，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的周期為，在一個(gè)周期內(nèi)對(duì)n賦值，當(dāng)n＝0時(shí)，y＝sinφ，當(dāng)n＝1時(shí)，，當(dāng)n＝2時(shí)，，令φ＝0，sin0＝0，，，所以當(dāng)時(shí)，符合題意，故D正確；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題一共有三個(gè)變量：ω，n，φ屬于多變量題目，對(duì)于該題，要先確定一個(gè)變量，再對(duì)第二個(gè)變量賦值，然后再對(duì)第三個(gè)變量賦值，以此分類討論即可，屬于難題．2．（2022?上海自主招生）對(duì)?x∈R恒成立，則ω的最小值為（）A． B．1 C． D．【分析】由余弦函數(shù)的最值和相應(yīng)自變量的取值，令k＝0，可得所求最小值．【解答】解：對(duì)?x∈R恒成立，可得f（x）的最大值為f（），且為1，則﹣＝2kπ，k∈Z，解得ω＝8k+，k∈Z，由ω＞0，可得k＝0時(shí)，ω的最小值為．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的最值和不等式恒成立問題解法，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．（2022?上海自主招生）＝（）A． B． C．2 D．1【分析】由兩角差的正弦公式、正切公式，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值，計(jì)算可得所求值．【解答】解：tan15°+2sin15°＝tan（45°﹣30°）+2sin（45°﹣30°）＝+2×＝2﹣+﹣1＝1．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的求值，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4．（2022?山西自主招生）已知函數(shù)f（x）＝（sin2x+4cosx）+2sinx，則f（x）的最大值為（）A．4 B． C．6 D．5+2【分析】先將f（x）化為f（x）＝2（cosx+1）（sinx+2）﹣4，然后利用基本不等式和輔助角公式、正弦函數(shù)的最值，可得所求f（x）的最大值．【解答】解：f（x）＝（sin2x+4cosx）+2sinx＝2sinxcosx+4cosx+2sinx＝2cosx（sinx+2）+2sinx＝2（cosx+1）（sinx+2）﹣4，顯然sinx+2＞0，由于要求f（x）的最大值，所以只需考慮cosx+1＞0的情況即可，當(dāng)cosx+1＞0時(shí)，2（cosx+1）（sinx+2）﹣4≤2（）2﹣4＝2[]2﹣4≤2×﹣4＝，當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝2kπ+（k∈Z）時(shí)等號(hào)成立，因此當(dāng)x＝2kπ+（k∈Z）時(shí)，f（x）取得最大值．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的最值和基本不等式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．二．填空題（共2小題）5．（2022?北京自主招生）若tanα＝3tanβ（0≤β＜α≤），則α﹣β的最大值為．【分析】由題意利用兩角差的正切公式求得tan（α﹣β）的表達(dá)式，再利用基本不等式求得它的最大值，可得α﹣β的最大值．【解答】解：設(shè)x＝α﹣β，則0≤x＜，tanx＝tan（α﹣β）＝＝＝≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)cotβ＝3tanβ，即β＝時(shí)，tanx取最大值，此時(shí)α＝，于是x的最大值是，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩角差的正切公式、基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．6．（2022?山西自主招生）已知直線y＝m與函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）+（ω＞0）的圖象相交，若自左至右的三個(gè)相鄰交點(diǎn)A，B，C滿足2|AB|＝|BC|，則實(shí)數(shù)m＝1或2．【分析】根據(jù)題意將條件轉(zhuǎn)化為直線y＝m﹣與函數(shù)y＝sin（ωx+）的圖象相交，由三角函數(shù)的周期性結(jié)合已知得出|AB|的長并用A和B的橫坐標(biāo)之差表示，再結(jié)合A和B的中點(diǎn)函數(shù)值取最值即可求解．【解答】解：由題知，直線y＝m與函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）+（ω＞0）的圖象相交，等價(jià)于直線y＝m﹣與函數(shù)y＝sin（ωx+）的圖象相交，設(shè)A（x1，m﹣），B（x2，m﹣），C（x3，m﹣），所以|AC|＝，又由2|AB|＝|BC|得，|AB|＝|AC|＝，即x2﹣x1＝，化簡得ωx2﹣ωx1＝，①由題知點(diǎn)A和點(diǎn)B的中點(diǎn)坐標(biāo)為（，m﹣），當(dāng)直線y＝m﹣與y＝sin（）的交點(diǎn)在x軸上方時(shí)，，即，化簡得，k∈Z，②由①②聯(lián)立得，所以，即m﹣＝，解得m＝2；當(dāng)直線y＝m﹣與y＝sin（）的交點(diǎn)在x軸下方時(shí)，，即，化簡得，k∈Z，③由①③聯(lián)立得，所以，即，解得m＝1，所以m＝1或2，故答案為：1或2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，用到了分類討論的思想，屬于難題．三．解答題（共5小題）7．（2022?南京自主招生）若α，β∈（0，π），求滿足cosα+cosβ﹣cos（α+β）＝的α，β的值．【分析】構(gòu)造向量＝（1﹣cosβ，sinβ），＝（cosα，sinα），則可求?，||2?||2，由（?）22≤||2?||2，整理得（cosβ﹣）2≤0，解得cosβ，結(jié)合范圍即可得解．【解答】解：原等式化為（1﹣cosβ）cosα+sinβsinα＝﹣cosβ①構(gòu)造向量＝（1﹣cosβ，sinβ），＝（cosα，sinα），則?＝（1﹣cosβ）cosα+sinβsinα＝﹣cosβ，||2?||2＝[（1﹣cosβ）2+sin2β]?[cos2α+sin2α]＝2﹣2cosβ，因（?）22≤||2?||2，于是有（﹣cosβ）2≤2﹣2cosβ，整理得（cosβ﹣）2≤0，∴cosβ＝．又β∈（0，π），∴β＝．同理可得α＝．【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于某些三角問題，若能合理地構(gòu)造向量，利用向量來解，往往可使問題得到快捷方便地解決，本題主要考查了平面向量及應(yīng)用，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，屬于難題．8．（2021?上海自主招生）求由曲線，x2+y2≥2圍成的面積．【分析】由曲線，x2+y2≥2圍成的面積S＝4（S△EOD﹣S扇形OAB﹣S△AOC），由此能求出結(jié)果．【解答】解：如圖，S＝4（S△EOD﹣S扇形OAB﹣S△AOC），∵OE＝OD＝，OA＝＝OC，∴?h＝，由余弦定理得cos∠AOC＝﹣1，由題意得，∴S扇形OAB＝＝arcsin（），∴由曲線，x2+y2≥2圍成的面積為：S＝2π﹣4arcsin（）﹣2＝4arccos（）﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查曲線圍成的圖形面積的求法，考查余弦定理、三角形面積公式、扇形面積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬中檔題．9．（2022?北京自主招生）y＝sinx在區(qū)間[t﹣1，t]上的最大值為M（t），最小值為N（t），若t∈[，]，求M（t）﹣N（t）的最大值．【分析】結(jié)合函數(shù)y＝sinx的圖象，根據(jù)單調(diào)性，確定表達(dá)式M（t）﹣N（t），再利用兩角和差公式化簡即可．【解答】解：函數(shù)y＝sinx的周期為6，函數(shù)y＝sinx在[，]上遞減，當(dāng)t∈[，]時(shí)，[t﹣1，t]?[，]，M（t）﹣N（t）＝sin﹣sin＝sin﹣cos﹣sin＝﹣sin（+）≤1．當(dāng)+＝，即t＝時(shí)取最大值1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．10．（2021?上海自主招生）已知△ABC中，tanC＝﹣3tanA，求tanB最大值．【分析】通過tanB＝tan[（A+B）﹣A]利用公式展開，把tan（A+B）＝2tanA代入，整理后利用基本不等式求得tanB的最大值，進(jìn)而根據(jù)等號(hào)成立的條件求得tanB的值，即可得出結(jié)果．【解答】解：∵tanC＝﹣3tanA，∴可得3tanA＝tan（A+B），∴tanB＝tan（A+B﹣A）＝＝＝，∴A，B均為銳角，∴tanA＞0，且≥2，當(dāng)且僅當(dāng)＝3tanA，即tanA＝時(shí)取“＝”號(hào)，∴0＜tanB＝≤，∴tanB最大值是，此時(shí)B＝A＝，C＝．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了兩角和與差的正切函數(shù)和運(yùn)用基本不等式求最值的問題，考查了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用和基本的運(yùn)算能力，屬于中檔題．11．（2021?廣東自主招生）求函數(shù)的取值范圍．【分析】考慮函數(shù)g（x）＝6x﹣3x2﹣4x3（﹣1?x?1）的單調(diào)性和取值情況，得到6cosx﹣3cos2x﹣4cos3的最值情況，進(jìn)一步觀察可發(fā)現(xiàn)同樣在x＝π和x＝時(shí)取得最小值和最大值，由此求出f（x）的最大值和最小值，即可得到取值范圍．【解答】解：令g（x）＝6x﹣3x2﹣4x3（﹣1?x?1），則g′（x）＝﹣6（2x2+x﹣1）＝﹣6（2x﹣1）（x+1），當(dāng)x∈[﹣1，）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增；x∈（，1]時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，則，則6cosx﹣3cos2x﹣4cos3在x＝π時(shí)取最小值﹣5，在時(shí)取最大值．另一方面，我們注意到在x＝π時(shí)取最小值，在時(shí)取最大值．這說明，所以．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的最值問題，構(gòu)造合適的函數(shù)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．【最新模擬練】一．選擇題（共9小題）1．（2023?湖北模擬）設(shè)，則＝（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式即可求得．【解答】解：由題意得，∵，∴，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．2．（2023?湖南模擬）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)ω的取值范圍是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)，可得單調(diào)區(qū)間長度小于等于半周期，可得﹣2≤ω＜0，再利用整體代換法，即可求得，取k＝0即可得出結(jié)果．【解答】解：函數(shù)的最小正周期，所以，即﹣2≤ω＜0，當(dāng)時(shí)，，依題意知，k∈Z，解得，又﹣2≤ω＜0，∴當(dāng)k＝0時(shí)成立，．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．3．（2023?屯昌縣二模）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)周期后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換關(guān)系，求解即可得出答案．【解答】解：函數(shù)的周期為，圖象向右平移個(gè)周期，即平移后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，即，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的圖象變換，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．4．（2023?河南模擬）已知函數(shù)，其圖象的兩相鄰對(duì)稱中心間的距離為4，若，則（）A． B．f（x）圖象的對(duì)稱軸方程為 C．f（x）在上單調(diào)遞減 D．不等式f（x）≥2的解集為【分析】根據(jù)條件可得出f（x）的周期為8，從而求出，再根據(jù)及|φ|可求出，從而得出；解，k∈Z即可得出f（x）的對(duì)稱軸方程；根據(jù)即可得出的范圍，從而判斷選項(xiàng)C是否正確；由f（x）≥2可得出，解出x的范圍即可判斷D的正誤．【解答】解：∵f（x）圖象的兩相鄰對(duì)稱中心的距離為4，∴f（x）的周期為8，∴，，又，∴，且|φ|，∴，∴，解得f（x）的對(duì)稱軸方程為：，k∈Z，時(shí)，，∴f（x）在上沒有單調(diào)性，f（x）≥2即：，即，∴，解得，k∈Z．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的周期的計(jì)算公式，正弦函數(shù)的圖象，正弦函數(shù)的對(duì)數(shù)中心和對(duì)稱軸，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5．（2023?安陽模擬）已知函數(shù)在[0，π]上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，則ω的取值范圍是（）A． B． C． D．【分析】利用兩角和與差的正弦，余弦公式將函數(shù)化簡，然后根據(jù)變量的取值范圍和余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解答】解：＝，當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，，∵f（x）在[0，π]內(nèi)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，∴，∴，∴ω的取值范圍是．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查余弦函數(shù)的圖象，屬于基礎(chǔ)題．6．（2023?梅河口市校級(jí)一模）函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分圖象如圖所示，為了得到f（x）的圖象，只需將g（x）＝cos3x的圖象（）A．向左平移個(gè)單位長度 B．向右平移個(gè)單位長度 C．向左平移個(gè)單位長度 D．向右平移個(gè)單位長度【分析】由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．【解答】解：根據(jù)函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（其中ω＞0，的圖象，可得，∴ω＝3，再根據(jù)五點(diǎn)法作圖，可得，∴，，故把圖象向右平移個(gè)單位長度，可得到的圖象．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換，屬于基礎(chǔ)題．7．（2023?成都模擬）下列函數(shù)中，以π為周期且在上單調(diào)遞增的是（）A．f（x）＝cos2x﹣sin2x B．f（x）＝2sinxcosx C．f（x）＝|sinx| D．f（x）＝|cos2x|【分析】由f（x）＝cos2x﹣sin2x＝cos2x判斷A；由f（x）＝2sinxcosx＝sin2x判斷B；作出函數(shù)f（x）＝|sinx|的圖象判斷C；作出f（x）＝|cos2x|的圖象判斷D．【解答】解：對(duì)于A，∵f（x）＝cos2x﹣sin2x＝cos2x，∴T＝＝π，由x∈（），得2x∈（π，2π），∴f（x）單調(diào)遞增，故A正確；對(duì)于B，f（x）＝2sinxcosx＝sin2x，則T＝＝π，由x∈（，π），得2x∈（π，2π），∴f（x）不單調(diào)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，f（x）＝|sinx|，其圖象如圖：由圖象知T＝π，由x∈（，π），得2x∈（π，2π），∵y＝|sinx|不單調(diào)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，f（x）＝|cos2x|，其圖象如下：由圖象知，T＝，由x∈（，π），得2x∈（π，2π），∵y＝|cos2x|不單調(diào)，故D錯(cuò)誤．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．8．（2023?浙江模擬）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則ω＝（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，解三角方程，建立不等式與方程，即可求解．【解答】解：∵x∈（0，），又ω＞0，∴∈（，），又在上單調(diào)遞增，∴，∴ω∈（0，1]，又，∴sin（+）＝sin（πω+），∴或，k∈Z，∴ω＝4k或ω＝+，k∈Z，又ω∈（0，1]，∴ω＝，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，解三角方程，屬中檔題．9．（2023?南關(guān)區(qū)校級(jí)二模）函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分圖象如圖，BC∥x軸，當(dāng)時(shí)，不等式f（x）≥m﹣sin2x恒成立，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．（﹣∞，1]【分析】利用函數(shù)f（x）的圖象，求出對(duì)稱軸方程，從而求出函數(shù)f（x）的周期，由此求得ω的值，再利用特殊點(diǎn)求出φ的值，得到函數(shù)f（x）的解析式，然后利用參變量分離以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求出m的取值范圍．【解答】解：因?yàn)锽C∥x軸，所以f（x）圖象的一條對(duì)稱軸方程為x＝×（+）＝，所以＝﹣＝，則T＝π，所以ω＝＝2，又2×+φ＝π+kπ，k∈Z，且0＜φ＜π，所以φ＝，故f（x）＝sin（2x+），因?yàn)楫?dāng)x∈[0，]時(shí)，不等式f（x）≥m﹣sin2x恒成立，所以m≤f（x）+sin2x＝sin（2x+）+sin2x＝sin2x+cos2x＝sin（2x+），因?yàn)閤∈[0，]，則2x+∈[，]，所以g（x）＝sin（2x+）的最小值為，所以m≤，即m的取值范圍是（﹣∞，]．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及了三角函數(shù)圖象的應(yīng)用，三角函數(shù)對(duì)稱性、周期性的運(yùn)用，同時(shí)考查了不等式恒成立問題，要掌握不等式恒成立問題的一般求解方法：參變量分離法、數(shù)形結(jié)合法、最值法等，屬于中檔題．二．多選題（共2小題）（多選）10．（2023?菏澤一模）已知函數(shù)（n∈N*），下列命題正確的有（）A．f1（2x）在區(qū)間[0，π]上有3個(gè)零點(diǎn) B．要得到f1（2x）的圖象，可將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度 C．f4（x）的周期為，最大值為1 D．f3（x）的值域?yàn)閇﹣2，2]【分析】，根據(jù)x的范圍得出f1（2x）的零點(diǎn)，即可判斷A項(xiàng)；根據(jù)已知得出平移后的函數(shù)解析式，即可判斷B項(xiàng)；由已知化簡可得，即可判斷C項(xiàng)；由已知可得，，換元根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求解在[﹣1，1]上的值域，即可判斷D項(xiàng)．【解答】解：對(duì)于A項(xiàng)，由已知可得，，因?yàn)?≤x≤π，所以，當(dāng)或時(shí)，即或時(shí)，有f1（2x）＝0，所以f1（2x）在區(qū)間[0，π]上有2個(gè)零點(diǎn)，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度得到函數(shù)，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，由已知可得，＝（sin2x+cos2x）2﹣2sin2xcos2x＝＝，所以，f4（x）的周期，最大值為，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，＝＝．令，則﹣1≤t≤1，所以，則，解g'（t）＝0，可得，解g'（t）＞0，可得，所以g（t）在上單調(diào)遞增，解g'（t）＜0，可得或，所以g（t）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，且，，，，所以當(dāng)時(shí)，g（t）有最小值﹣1；當(dāng)時(shí)，g（t）有最大值1，所以f3（x）的值域?yàn)閇﹣1，1]，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：BC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．（多選）11．（2023?2月份模擬）圖改編自李約瑟所著的《中國科學(xué)技術(shù)史》，用于說明元代數(shù)學(xué)家郭守敬在編制《授時(shí)歷》時(shí)所做的天文計(jì)算．圖中的，，，都是以O(shè)為圓心的圓弧，CMNK是為計(jì)算所做的矩形，其中M，N，K分別在線段OD，OB，OA上，MN⊥OB，KN⊥OB．記α＝∠AOB，β＝∠AOC，γ＝∠BOD，δ＝∠COD，則（）A．sinβ＝sinγcosδ B．cosβ＝cosγcosδ C． D．【分析】先利用線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理證得CM⊥OD，CK⊥OA，結(jié)合條件中MN⊥OB，KN⊥OB，從而在各直角三角形中得到α，β，γ，δ的正余弦表示，對(duì)選項(xiàng)逐一分析判斷即可．【解答】解：因?yàn)樵诰匦蜯NKC中，KN⊥MN，又KN⊥OB，MN∩OB＝N，MN，OB?面BOD，所以KN⊥面BOD，又OD?面BOD，所以KN⊥OD，因?yàn)樵诰匦蜯NKC中，CM∥KN，所以CM⊥OD，即CM⊥MO，因?yàn)镸N⊥OB，KN⊥MN，KN∩OB＝N，KN，OB?面BOA，所以MN⊥面BOA，又在矩形MNKC中，MN∥CK，所以CK⊥面BOA，又OA?面BOA，所以CK⊥OA，同時(shí)，易知在矩形MNKC中，CM＝KN，CK＝MN，對(duì)于A，在Rt△CKO中，sinβ＝，在Rt△MNO中，sinγ＝，在Rt△CMO中，cosδ＝，所以sinγcosδ＝?＝＝＝sinβ，故A正確；對(duì)于B，在Rt△CKO中，cosβ＝，在Rt△MNO中，cosγ＝，在Rt△CMO中，cosδ＝，又cosδ＝，且在Rt△KNO中，OK為斜邊，故有ON≠OK，所以cosγ?cosδ＝?＝≠＝cosβ，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在Rt△KNO中，sinα＝，在Rt△CMO中，sinδ＝，又cosβ＝≠0，所以＝?＝＝＝sinα，故C正確；對(duì)于D，在Rt△KNO中，cosα＝，又cosβ＝≠0，cosγ＝，cosδ＝，所以cosα?cosβ＝?＝，cosγ?cosδ＝?＝，所以cosα?cosβ＝cosγ?cosδ，即cosα＝，故D正確．故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線面垂直的判斷及性質(zhì)定理，關(guān)鍵點(diǎn)是利用線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理證得CM⊥OD，CK⊥OA，從而得α，β，γ，δ的正余弦表示，從而得解，屬于難題．三．填空題（共3小題）12．（2023?焦作一模）已知f（x）＝sin（3x+φ）（|φ|＜）為奇函數(shù)，若對(duì)任意α∈[﹣，]，存在β∈[﹣，α]，滿足f（α）+f（β）＝0，則實(shí)數(shù)α的取值范圍是[﹣，]．【分析】由題意，先求出f（x）的解析式，再求出α+β＝0，結(jié)合β范圍，求出α的取值范圍．【解答】解：∵f（x）＝sin（3x+φ）（|φ|＜）為奇函數(shù)，∴φ＝0，f（x）＝sin3x，且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．若對(duì)任意α∈[﹣，]，存在β∈[﹣，α]，滿足f（α）+f（β）＝0，∴3α＝﹣3β，即α＝﹣β．∵β∈[﹣，α]，∴α＝﹣β∈[﹣α，]，∴﹣α≥﹣，即α≤．綜上可得，實(shí)數(shù)α的取值范圍[﹣，]，故答案為：[﹣，]．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)的奇偶性，不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．13．（2023?碑林區(qū)校級(jí)模擬）將函數(shù)和直線g（x）＝x﹣1的所有交點(diǎn)從左到右依次記為A1，A2，A3，An?，若P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），則＝5．【分析】根據(jù)題意作出兩函數(shù)的圖象，結(jié)合余弦函數(shù)的中心對(duì)稱性化簡各個(gè)向量的和，求模長即可．【解答】解：由題意作出兩函數(shù)的圖象，如圖所示，則兩函數(shù)圖象共有5個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)余弦函數(shù)的中心對(duì)稱性可知，A1和A5，A2和A4，關(guān)于A3對(duì)稱，所以，+＝+＝2+，∴++++＝5＝5＝5，故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了平面向量的運(yùn)算和模長計(jì)算問題，是中檔題．14．（2023?雙臺(tái)子區(qū)校級(jí)一模）已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，0＜φ＜π，恒成立，且y＝f（x）在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則ω的取值范圍是（6，10）．【分析】由題意，利用正弦函數(shù)的周期性、零點(diǎn)和最值，分類討論，求得ω的范圍．【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，0＜φ＜π，恒成立，∴f（）＝1，∴+φ＝2kπ+，k∈Z，∴φ＝2kπ+﹣，k∈Z．結(jié)合φ的范圍，可得k＝0或k＝1．①當(dāng)k＝0時(shí)，φ＝﹣，由ω＞0，且φ∈（0，π），可得ω∈（0，2）．∵y＝f（x）在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn)，ωx+φ∈（φ，+φ），∴3π＜ωπ+φ≤4π，即3π＜ωπ+﹣≤4π，即＜≤，即20＜ω≤28．綜合可得，ω∈?．②當(dāng)k＝1時(shí)，φ＝2π+﹣＝﹣，由ω＞0，且φ∈（0，π），可得ω∈（6，10）．∵y＝f（x）在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn)，ωx+φ∈（φ，ωπ+φ），∴3π＜ωπ+φ≤4π，即3π＜ωπ+﹣≤4π，即4＜ω≤12．綜合可得，此時(shí)，ω∈（6，10）．綜上，結(jié)合①②可得，ω∈（6，10），故答案為：（6，10）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦函數(shù)的周期性、零點(diǎn)和最值，屬中檔題．四．解答題（共9小題）15．（2023?和平區(qū)校級(jí)一模）已知函數(shù)f（x）＝x2+4[sin（θ+）]x﹣2，θ∈[0，2π]]．（Ⅰ）若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，求tanθ的值；（Ⅱ）若f（x）在[﹣，1]上是單調(diào)函數(shù)，求θ的取值范圍．【分析】（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．（Ⅱ）利用一元二次函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）是偶函數(shù)，∴f（﹣x）＝f（x），則x2+4[sin（θ+）]x﹣2＝x2﹣4[sin（θ+）]x﹣2，則sin（θ+）＝0，∵θ∈[0，2π]，∴θ+＝kπ，即θ＝﹣+kπ，∴tanθ＝tan（﹣+kπ）＝﹣．（Ⅱ）∵f（x）＝x2+4[sin（θ+）]x﹣2，θ∈[0，2π]]．∴對(duì)稱軸為x＝﹣2sin（θ+），若f（x）在[﹣，1]上是單調(diào)函數(shù)，則﹣2sin（θ+）≥1或﹣2sin（θ+）≤，即sin（θ+）≥或sin（θ+）≤，即2kπ+≤θ+≤2kπ+，或2kπ+≤θ+≤2kπ+，k∈Z，即2kπ+≤θ≤2kπ+，或2kπ≤θ≤2kπ+，k∈Z，∵θ∈[0，2π]，∴≤θ≤，或0≤θ≤．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)奇偶性應(yīng)用以及三角函數(shù)的恒等變換，利用條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題是解決本題的關(guān)鍵．16．（2023?渾南區(qū)一模）已知cos（α﹣）＝﹣，sin（﹣β）＝，且α∈（，π），β∈（0，）．求：（1）cos；（2）tan（α+β）．【分析】（1）利用cos＝cos[（α﹣）﹣（﹣β）]，求出相關(guān)的三角函數(shù)值即可求解；（2）求出相關(guān)角的范圍，利用tan（α+β）＝，求解即可．【解答】解：（1）cos（α﹣）＝﹣，且α∈（，π），β∈（0，）．α﹣∈（），∴sin（α﹣）＝＝．sin（﹣β）＝，且α∈（，π），β∈（0，）．﹣β∈（）．cos（﹣β）＝＝．cos＝cos[（α﹣）﹣（﹣β）]＝＝﹣．（2）α∈（，π），β∈（0，）．α+β∈（），∈（），∵cos＝﹣．∴∈（），sin＝＝，tan＝．tan（α+β）＝＝＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二倍角公式的應(yīng)用，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用，注意角的范圍，考查計(jì)算能力．17．（2023?東莞市校級(jí)模擬）已知函數(shù)．（1）求f（x）的最小正周期及對(duì)稱軸方程；（2）時(shí)，g（x）＝af（x）+b的最大值為7，最小值為1，求a，b的值．【分析】（1）使用兩角和差的正余弦公式、二倍角公式、輔助角公式進(jìn)行化簡后，即可求得最小正周期和對(duì)稱軸方程；（2）結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分別對(duì)a＞0和a＜0兩種情況進(jìn)行討論即可．【解答】解：（1）＝＝＝＝＝，則f（x）的最小正周期為T＝，令，k∈Z，解得x＝，故f（x）的對(duì)稱軸方程為x＝；（2）g（x）＝af（x）+b＝，∵，∴，∴，∴，當(dāng)a＞0時(shí)，g（x）＝af（x）+b的最大值為，最小值為﹣a+b，g（x）＝af（x）+b的最大值為7，最小值為1，則，解得，當(dāng)a＜0時(shí)，g（x）＝af（x）+b的最大值為﹣a+b，最小值為，g（x）＝af（x）+b的最大值為7，最小值為1，則，解得，綜上所述，a＝4，b＝5或a＝﹣4，b＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．18．（2023?黑龍江一模）已知函數(shù)，其中ω＞0，且函數(shù)f（x）的兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的距離為，（1）求ω的值及函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸方程；（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，若，求△ABC周長的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)降冪公式、輔助角公式，結(jié)合正弦型函數(shù)的零點(diǎn)性質(zhì)、周期公式、對(duì)稱軸方程進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)正弦定理、輔助角公式、正弦型函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1），，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的距離為，所以函數(shù)f（x）的最小正周期為，因?yàn)棣兀?，所以，即，令，解得x＝（k∈Z），故對(duì)稱軸為x＝（k∈Z）；（2）由，因?yàn)锳∈（0，π），所以，因?yàn)?，所以由正弦定理可知：＝，解得b＝2sinB，c＝2sinC，所以三角形的周長為＝＝＝，因?yàn)椋?，因此，所以△ABC周長的取值范圍為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)中恒等變換的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．19．（2023?山西模擬）已知函數(shù)f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分圖象如圖所示．（1）求f（x）的解析式，并求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若對(duì)任意，都有，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．【分析】（1）由圖象可得f（x）的最小正周期，利用正弦函數(shù)的周期公式可求ω的值，由圖知f（）＝﹣2，結(jié)合，可求，可得函數(shù)解析式，進(jìn)而利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解；（2）由題意利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求得，可求范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得，進(jìn)而即可解得實(shí)數(shù)t的取值范圍．【解答】解：（1）由圖象可得f（x）的最小正周期，∴，∵由圖知f（）＝2sin（2×+φ）＝﹣2，∴，k∈Z，解得，k∈Z，又∵，∴，∴，∵令，k∈Z，解得，k∈Z，∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）∵＝＝＝＝＝，又對(duì)任意，都有，可得，∴可得，∵，∴，∴，解得，∴實(shí)數(shù)t的取值范圍為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦函數(shù)的周期公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了函數(shù)思想，屬于中檔題．20．（2023?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）已知將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)g（x）的圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱．（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）若三角形ABC滿足是邊BC上的兩點(diǎn)，且，求三角形ABC面積的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)題意將函數(shù)化簡，利用正弦函數(shù)的平移變化得到，結(jié)合圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱即可求出函數(shù)解析式；（2）結(jié)合（1）可得BC＝6，結(jié)合題意，建立平面直角坐標(biāo)系得到點(diǎn)A的軌跡方程為（x﹣9）2+y2＝72，再根據(jù)幾何關(guān)系即可求解．【解答】解：（1）由已知化簡得，∴，由g（0）＝0得，∴ω＝3k﹣1，k∈Z，又