專題07立體幾何之角度的范圍與最值問(wèn)題(原卷版)

專題07立體幾何之角度的范圍與最值問(wèn)題一、解答題1．如圖，在中，．O為的外心，平面，且．（1）求證：平面；（2）設(shè)平面平面；若點(diǎn)M在線段上運(yùn)動(dòng)，且，當(dāng)直線l與平面所成角取最大值時(shí)，求的值2．如圖，在梯形中，，，，四邊形為矩形，平面平面，.（1）求證：平面，平面；（2）點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，試求的最小值.3．如圖，在多面體中，側(cè)面為菱形，平面，平面，，是的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，．（1）證明：平面平面；（2）當(dāng)點(diǎn)位于棱的什么位置時(shí)，面與面，所成的二面角的正弦值最??？4．如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，平面，，為的中點(diǎn)，為邊上的一個(gè)點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）記平面平面，求直線與直線所成的角；（3）若為上的動(dòng)點(diǎn)，與平面所成角的正切值的最大值為，求平面與平面所成的銳二面角的正切值．5．如圖所示，正方形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn)P在線段EF（包含端點(diǎn)E，F(xiàn)）上，M，N分別為AB，BC的中點(diǎn)，AB=2DE=2.（1）若P為EF的中點(diǎn)，求點(diǎn)N到平面PDM的距離；（2）設(shè)平面PDM與平面ABCD所成的夾角為θ，求cosθ的最大值并求出此時(shí)點(diǎn)P的位置.6．在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，其中，，，為棱上的點(diǎn)，且．（1）求證：平面；（2）若二面角的平面角的正切值為，求的長(zhǎng)；（3）在（2）的條件下，若為線段上一點(diǎn)，求與面所成角為，求的最大值．7．如圖，在梯形ABCD中，，，，四邊形BFED為矩形，，平面平面ABCD.（1）求證：平面BDEF；（2）點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動(dòng)，設(shè)平面PAB與平面ADE所成的夾角為，試求的最小值.8．如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是線段AB、CD的中點(diǎn)，，，將沿DM翻折，在翻折過(guò)程中A點(diǎn)記為P點(diǎn)．（1）從翻折至的過(guò)程中，求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的軌跡長(zhǎng)度；（2）翻折過(guò)程中，二面角P?BC?D的平面角為θ，求的最大值.9．如圖，在平行四邊形中，，，，四邊形為矩形，平面平面，，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，且.（1）當(dāng)時(shí)，證明；（2）設(shè)平面與平面的夾角為，求的取值范圍.10．如圖，在中，，，，將繞邊翻轉(zhuǎn)至，使面面，是的中點(diǎn).（1）求二面角的平面角的余弦值；（2）設(shè)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)與所成角取得最小值時(shí)，求線段的長(zhǎng)度.11．如圖，在直角三角形中，，斜邊，直角三角形可以通過(guò)以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角是直二面角，動(dòng)點(diǎn)在斜邊上.（1）求證：平面平面；（2）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線與所成角的正切值；（3）求與平面所成角的正切值的最大值.12．如圖，在中，，，為的外心，平面，且.（1）求證：平面；并計(jì)算與平面之間的距離；（2）設(shè)平面面，若點(diǎn)在線段（不含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)直線與平面所成角取最大值時(shí)，求二面角的正弦值.13．如圖，在正三棱柱中，D為的中點(diǎn).（1）證明：平面.（2）已知二面角的大小為，求的取值范圍.14．如圖，在四棱錐中，側(cè)棱底面ABCD，，，，，M是棱PB的中點(diǎn)，E為BC的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）線段CD上是否存在動(dòng)點(diǎn)N，直線MN與平面PAB所成的角最大？如果存在，求出最大角的正弦值.并確定N的位置.15．如圖，在四棱錐PABCD中，已知PA平面ABCD，且四邊形ABCD為直角梯形，ABCBAD，PAAD2，ABBC1.（1）求平面PAB與平面PCD夾角的余弦值；（2）點(diǎn)Q是線段BP上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線CQ與DP所成的角最小時(shí)，求線段BQ的長(zhǎng).16．如圖，在四棱錐中，平面，，，.（1）求證：平面平面；（2）若點(diǎn)M為的中點(diǎn)，點(diǎn)N為線段上一動(dòng)點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍.17．如圖，在梯形中，，，四邊形為矩形，且平面，.（1）求證：平面；（2）點(diǎn)在線段（含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)在什么位置時(shí)，平面與平面所成銳二面角最大，并求此時(shí)二面角的余弦值.18．如圖，在四棱錐中，底面是圓內(nèi)接四邊形.，，.（1）求證：平面平面；（2）若點(diǎn)在內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且平面，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.19．如圖，在直三棱柱中，，M，N分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上（包括兩個(gè)端點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)．（1）當(dāng)P為線段的中點(diǎn)時(shí)，求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍．20．如圖所示，三棱錐中，平面，，平面經(jīng)過(guò)棱的中點(diǎn)，與棱，分別交于點(diǎn)，，且平面，平面.（1）證明：平面；（2）若，點(diǎn)在直線上，求平面與平面所成銳二面角的余弦值的最大值.21．如圖，C是以AB為直徑的圓O上異于A，B的點(diǎn)，平面平面，中，，，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）記平面與平面的交線為直線l，點(diǎn)Q為直線l上動(dòng)點(diǎn)，求直線與平面所成的角的取值范圍.22．如圖1，已知三棱錐，圖2是其平面展開(kāi)圖，四邊形為正方形，和均為正三角形，．（1）求二面角的余弦值；（2）若點(diǎn)在棱上，滿足，，點(diǎn)在棱上，且，求的取值范圍．23．如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓的內(nèi)接正三角形，且邊長(zhǎng)為在母線上，且．（1）求證：平面平面；（2）設(shè)線段上動(dòng)點(diǎn)為，求直線與平面所成角的正弦值的最大值．24．如圖，在三棱臺(tái)中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)面為等腰梯形，且，為的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）記二面角的大小為，時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍．25．如圖所示，三棱柱中，所有棱長(zhǎng)均為2，，，分別在，上（不包括兩端），．（1）求證：平面；（2）設(shè)與平面所成角為，求的取值范圍．26．如圖，在三棱錐中，、、兩兩垂直，且，過(guò)棱上的動(dòng)點(diǎn)（不同于A、兩點(diǎn)）作平行于、的平面，分別交三棱錐的棱、、于、、三點(diǎn)．（1）求異面直線與所成的角的大?。唬?）求點(diǎn)到直線距離的最小值；（3）求直線與平面所成角的取值范圍．27．如圖，將等腰直角沿斜邊旋轉(zhuǎn)，使得到達(dá)的位置，且.（1）證明：平面平面.（2）求二面角的余弦值.（3）若在棱上存在點(diǎn)，使得，，在棱上存在點(diǎn)，使得，且，求的取值范圍.28．如圖，在四棱錐中，，，E為棱PA的中點(diǎn)，平面PCD．（1）求AD的長(zhǎng)；（2）若，平面平面PBC，求二面角的大小的取值范圍．29．如圖所示，為圓的直徑，圓所在的平面，B為圓周上與點(diǎn)A，C均不重合的點(diǎn)，于S，于N.（1）