專題52三角恒等變換（特色專題卷）（人教A版2019）

專題5.2三角恒等變換（特色專題卷）考試時間：120分鐘；滿分：150分姓名：___________班級：___________考號：___________考卷信息：本卷試題共22題，單選8題，多選4題，填空4題，解答6題，滿分150分，限時150分鐘，試卷緊扣教材，細分題組，精選一年好題，兩年真題，練基礎，提能力！選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（2021秋?杭州期中）若sinα+cosα=23，則sin2A．49 B．-49 C．59【分析】將已知等式兩邊平方，利用同角三角函數(shù)基本關系式，二倍角的正弦公式即可求解．【解答】解：因為sinα+cosα=2所以兩邊平方，可得sin2α+cos2α+2sinαcosα=49，可得1+sin2α則sin2α=-5故選：D．2．（2021秋?卡若區(qū)校級期中）計算(cosπA．-32 B．12 C．22【分析】直接利用三角函數(shù)的關系式的變換和倍角公式的應用求出結果．【解答】解：(cosπ故選：D．3．（2021秋?肇東市校級期中）若tanα＝2，則cos2α1+sin2αA．34 B．12 C．-13【分析】直接利用同角三角函數(shù)關系式的變換求出結果．【解答】解：若tanα＝2，則cos2α1+sin2α故選：C．4．（2021秋?成都月考）已知角θ的終邊過點A（6，a），且sin（θ﹣3π）=45，則tan（2A．1731 B．-3117 C．317【分析】利用誘導公式求出sinθ，根據(jù)角θ的終邊過點A（6，a）可知cosθ為正數(shù)，計算cosθ，從而求得tanθ，tan2θ，將所求式子用兩角差正切公式展開，代入運算即可．【解答】解：因為sin（θ﹣3π）=4所以sin（θ+π）=4則sinθ=-4由于角θ的終邊過點A（6，a），A點位于y軸右側，故由三角函數(shù)定義可知，cosθ＞0，所以cosθ=3所以tanθ=-4所以tan2θ=2tanθ所以tan（2θ-π4）故選：A．5．（2021秋?疏勒縣校級期中）化簡12A．sinα2 B．-sinα2 C．cos【分析】由題意，利用二倍角的余弦公式，三角函數(shù)的在各個象限中的符號，計算求得結果．【解答】解：∵π＜α＜3π2=12-12cosα=故選：A．6．（2021秋?濂溪區(qū)校級月考）若函數(shù)f(x)=3A．f（x）的最小正周期為π2B．f（x）的圖像的一條對稱軸方程為x=5C．f（x）的一個對稱中心為(πD．f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-【分析】由二倍角的正弦公式和余弦公式，以及輔助角公式，化簡f（x），分別由三角函數(shù)的周期公式和對稱軸、對稱中心和單調(diào)區(qū)間，可得結論．【解答】解：函數(shù)f(x)=3sinxcosx+cos2x-12=32sin2x可得f（x）的最小正周期為T=2π2=π由f（5π12）＝sin（5π6+π6由f（π6）＝sin（π3+π6）＝1由2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，解得k則f（x）的增區(qū)間為[kπ-π3，kπ+π6]（k∈故選：D．7．（2021秋?浦江縣校級月考）如圖是來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC、直角邊AB、AC，已知以直角邊AC、AB為直徑的半圓的面積之比為14，記∠ABC＝α，則4cos2α+sin2αA．4 B．2 C．32 D．【分析】根據(jù)兩半圓的面積比，可求出AC，AB之比，從而求出tanα，再進一步借助于三角公式求解即可．【解答】解：以直角邊AC，AB為直徑的半圓的面積分別為：12×π×（AC2）2=π?(AC)28，1由面積之比為14，得：(AC)2在Rt△ABC中，tanα＝tan∠ABC=AC故可得cos2α=11+tan2α則4cos2α+sin2α＝4．故選：A．8．（2021秋?蒲城縣期中）魏晉南北朝時期，我國數(shù)學家祖沖之利用割圓術，求出圓周率π約為355113，是當時世界上最精確的圓周率結果，直到近千年后這一記錄才被打破．若已知π的近似值還可以表示成4sin52°，則1-2A．18 B．-18 C．8 【分析】將π＝4sin52°代入1-2cos【解答】解：將π＝4sin52°代入1-2cos得1-2cos故選：B．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．（2021秋?沙坪壩區(qū)校級月考）下列各式中，值為32A．1-cos120B．cosC．cos15°sin45°﹣sin15°cos45° D．tan【分析】利用二倍角公式和正弦的差角公式進行運算即可．【解答】解：對于A，原式=sin2對于B，原式＝cosπ6=3對于C，原式＝sin（45°﹣15°）＝sin30°=12，故對于D，原式=12×故選：AB．10．（2021秋?廣陵區(qū)校級月考）設函數(shù)f(x)=sin(2x+πA．y＝f（x）的最小值為-2，其周期為πB．y＝f（x）的最小值為﹣2，其周期為π2C．y＝f（x）在(0，π2)D．y＝f（x）在(0，π2【分析】利用輔助角公式（兩角和的正弦函數(shù)）化簡函數(shù)f（x）＝sin（2x+π4）+cos（2x【解答】解：因為f（x）＝sin（2x+π4）+cos（2x+π4）=2sin（2x+所以y＝f（x）的最小值為-2，其周期為T=2π2=π，故令2kπ≤2x≤π+2kπ（k∈Z），可得kπ≤x≤π2+kπ（k∈Z），當k＝0時，x∈（0，π2），可得函數(shù)y＝f（x）在（令2x＝kπ，k∈Z，可得x=12kπ，（k∈Z），當k＝1時，x=π2，可得y＝f（x）關于x=π故選：AD．11．（2021秋?河北月考）設α∈（0，π2），β∈（π2，π），若1+cosα+sinα1-cosα+sinαA．sinα＝sinβ B．cosα＝﹣cosβ C．sinα＝cosβ D．sin2α2+sin2【分析】利用二倍角公式，同角三角函數(shù)基本關系式，兩角和的余弦公式化簡已知等式可得cos（α2+β2）＝0，結合角的范圍可求α2+β【解答】解：因為α∈（0，π2），β∈（π2，可得α2∈（0，π4），β2∈（π4，π2），α2若1+cosα+sinα1-cosα+sinα2cos則cosα2sinα2=sin所以α2+β2=π2所以sinα＝sin（π﹣β）＝sinβ，故A正確；cosα＝cos（π﹣β）＝﹣cosβ，故B正確；因為α∈（0，π2），β∈（π2，π），sinα＞0，cosβ＜0，故sin2α2+sin2β2=sin2α2+sin2（π2-α2）＝故選：ABD．12．（2021?A卷模擬）在平面直角坐標系xOy中，已知點A（1，3），若將點A繞原點按順時針旋轉(zhuǎn)θ弧度，得到點B（x0，y0），記f（θ）＝x0+y0，g（θ）＝2x0y0，則下列結論錯誤的有（）A．f（θ）＝22cos（π12-θB．不存在θ，使得f（θ）與g（θ）均為整數(shù) C．f2（θ）﹣8g（θ）＝2 D．存在某個區(qū)間（a，b）（a＜b），使得f（θ）與g（θ）的單調(diào)性相同【分析】利用三角函數(shù)的定義得出B點坐標，進而得出f（θ）與g（θ）的函數(shù)解析式，結合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷選項正誤．【解答】解：由A（1，3）知A為角π3終邊上一點，所以B（2cos(所以f（θ）=2sin(π3-θ)+2cos(g（θ）=4sin(π3-θ)cos(π3-θ)=2sin(2π3-2θ)．當θ=π3時，f（θ當θ=π12時，f（θ）=22，g（θ）＝2，f2（θ）﹣8g（θ）＝﹣8≠2對于g（θ），當-π2＜2π3-2θ＜對于f（θ），當-π＜π12-θ＜0，即所以f（θ）與g（θ）都在區(qū)間(π12，故選：BC．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（2021秋?廣東期中）已知3sinθ-cosθ=223【分析】由已知利用兩角差的正弦公式可求sin（θ-π【解答】解：因為3sinθ-cosθ=所以2sin（θ-π6）=223，可得sin（則cos(θ+π3)=cos[π2+（θ-π6）]＝﹣故答案為：-214．（2021秋?沙坪壩區(qū)校級月考）若3sinα-2cosα5cosα+3sinα=411，則tan（α【分析】將tanα=sinαcosα代入條件，化簡求得tan【解答】解：因為tanα=sinα所以sinα＝tanαcosα，所以3sinα-2cosα5cosα+3sinα解得tanα＝2，tan（α+π4）=故答案為：﹣3．15．（2021秋?羅山縣月考）若點P（cosθ，sinθ）與點Q（cos（θ+π6），sin（θ+π6））關于y軸對稱，則絕對值最小的θ【分析】由題意利用兩個點關于y軸對稱的性質(zhì)，可得cosθ＝﹣cos（θ+π6），sinθ＝sin（θ+π6），再利用誘導公式可得θ＝kπ+5π【解答】解：∵點P（cosθ，sinθ）與點Q（cos（θ+π6），sin（θ+π∴cosθ＝﹣cos（θ+π6），sinθ＝sin（∴θ＝2kπ+π﹣（θ+π6），即θ＝kπ+5π12，則絕對值最小的θ值為5π12故答案為：5π1216．（2021秋?沈陽月考）設α，β為銳角，且2α﹣β=π2，tanαcosβx+sinβ=1，則【分析】根據(jù)題意由三角恒等變換和二倍角公式可的結果．【解答】解：∵2α-β=π2，∴∴tanαcos(2α-π2)∴x＝cos2α+tanαsin2α＝cos2α+2sin2α＝1，故答案為：1．解答題（共6小題，滿分70分）17．（2021秋?朝陽區(qū)期中）已知函數(shù)f（x）＝2cos2ωx+23sinωxcosωx+α（ω＞0，α∈R）．再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇能確定函數(shù)f（x）解析式的兩個合理條件作為已知，求：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的解析式；（Ⅱ）函數(shù)f（x），x∈[-π2，π條件①：f（x）的最大值為1；條件②：f（x）的一條對稱軸是直線x=-π條件③：f（x）的相鄰兩條對稱軸之間的距離為π2【分析】（I）由三角函數(shù)的恒等變換，對解析式進行化簡，再選則①③得函數(shù)解析式；（II）由定義域的范圍，求函數(shù)的增區(qū)間即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝2cos2ωx+23sinωxcosωx+α＝cos2ωx+3sin2ωx+α+1＝2sin（2ωx+π6）+當條件①③時，則2+α+1=1T2=2π2ω×1所以f（x）＝2sin（2x+π6）﹣1．選②時求不出所以函數(shù)的解析式為f（x）＝2sin（2x+π6）﹣（Ⅱ）當x∈[π2，π2]時，2x+π6∈令t＝2x+π6，則y＝sint在[-5π6，-π2]遞減，[-π2，π當t=π2，解得x=π6，令t=-∴當x∈[-π2，π2]18．（2021秋?姑蘇區(qū)校級月考）（1）已知﹣π＜x＜0，sin(π+x)-cosx=-15，求（2）已知α，β∈（0，π），且tan(α-β)=12，tanβ=-17，求2【分析】（1）由題意求出sinx+cosx的值，兩邊平方求出2sinxcosx的值，再利用平方關系求sinx﹣cosx的值，利用同角三角函數(shù)基本關系式，二倍角公式化簡所求即可得解．（2）利用差角的正切公式，求出tanα；利用二倍角公式求出tan2α的值，求出tan（2α﹣β）＝1，再確定﹣π＜2α﹣β＜0，即可求2α﹣β的值．【解答】解：（1）由sin（π+x）﹣cosx=-15，得sinx+cosx∴sin2x+2sinxcosx+cos2x=125，整理得2sinxcosx∴（sinx﹣cosx）2＝1﹣2sinxcosx=49由﹣π＜x＜0，知sinx＜0，又sinx+cosx＞0，∴cosx＞0，∴sinx﹣cosx＜0，∴sinx﹣cosx=-7∴sin2x+2sin（2）∵tan(α-β)=12，∴而：tanβ=-1∴tanα+171-17∴tan2α=2tanα∴tan（2α﹣β）=tan2α-tanβ1+tan2αtanβ∵tanα=13＞0，α∈（0，π），∴0＜α＜π2，0＜∵tan2α=34＞0，∴0＜2∵tanβ=-17＜0，β∈（0，π），∴π2∴﹣π＜2α﹣β＜0，∴2α﹣β=-3π19．（2021秋?上月考）已知π4＜α（1）化簡f（α）；（2）若f(α)=-15，求tan2【分析】（1）利用誘導公式，二倍角公式，同角三角函數(shù)基本關系式即可化簡得解．（2）由范圍π4＜α＜π2，可得sinα【解答】解：（1）f(α)=-2sinα?∵π4∴f(α)=-sinα?(sinα-cosα)（2）∵π4∴sinα＞cosα＞0，由cosα-sinα=-15sin∴tanα=sinα∴tan2α=2tanα20．（2021秋?浙江期中）已知函數(shù)f（x）＝2cos2x﹣23sin(x+π3)?sin(π（Ⅰ）求函數(shù)y＝f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）求函數(shù)y＝f（x）在x∈[0，【分析】（Ⅰ）利用三角函數(shù)恒等變換的應用化簡函數(shù)解析式可得f（x）＝sin（2x-π6）（Ⅱ）由題意可求范圍2x-π6∈[-π6【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝2cos2x﹣23sin(x+π3)?sin(π6-x)=1+cos2x﹣23（12sinx+32cosx）（12cosx-32sinx）=32可得函數(shù)y＝f（x）的最小正周期T=2π2令2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ-π6≤x≤kπ+π3，k∈Z，可得單調(diào)遞增區(qū)間為：[（Ⅱ）因為x∈[0，所以2x-π6∈[-π6，5π6]，sin（2x-π6可得f（x）＝sin（2x-π6）+1∈[12，2]，即函數(shù)y＝f（x）在x∈[0，π221．（2021秋?東城區(qū)校級期中）已知函數(shù)f（x）=3（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在區(qū)