643余弦定理正弦定理（第2課時）（導(dǎo)學(xué)案）原卷版-2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)(人教A版2019)

班級：姓名：日期：《余弦定理、正弦定理》第2課時正弦定理導(dǎo)學(xué)案地位：本節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)必修第一冊》人教A版（2019）第六章平面向量及其應(yīng)用6.4平面向量的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.能借助向量的運算，探索三角形邊長與角度的關(guān)系并掌握正弦定理，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；2.能運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解決簡單的解三角形問題，培養(yǎng)邏輯推理和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。學(xué)習(xí)重難點：1.重點：能運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解決簡單的解三角形問題。2.難點：通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明。自主預(yù)習(xí)：本節(jié)所處教材的第頁.復(fù)習(xí)——余弦定理：三角形的形狀：預(yù)習(xí)——正弦定理：變形公式：新課導(dǎo)學(xué)學(xué)習(xí)探究（一）新知導(dǎo)入1.創(chuàng)設(shè)情境，生成問題古埃及時代，尼羅河經(jīng)常泛濫，古埃及人為了研究尼羅河水運行的規(guī)律，準(zhǔn)備測量各種數(shù)據(jù).當(dāng)尼羅河漲水時，古埃及人想測量某處河面的寬度(如圖)，如果古埃及人通過測量得到了AB的長度，∠BAC，∠ABC的大小，那么就可以求解出河面的寬度CD.古埃及人是如何利用這些數(shù)據(jù)計算的呢？2.探索交流，解決問題【問題1】如圖，在Rt△ABC中，eq\f(a,sinA)，eq\f(b,sinB)，eq\f(c,sinC)各自等于什么？【問題2】在一般的△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)還成立嗎？課本是如何說明的？你還有其他方法嗎？（二）正弦定理1.正弦定理的表示(1)文字語言：在一個三角形中，各邊和它所的的相等，即。拓展：該比值為該三角形外接圓的直徑.2.正弦定理的變形形式設(shè)三角形的三邊長分別為a，b，c，外接圓半徑為R，正弦定理有如下變形：(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R).(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.(4)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC).【思考1】正弦定理的主要功能是什么？【思考2】在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，那么a∶b∶c＝A∶B∶C對嗎？【做一做】1.在△ABC中，下列等式總能成立的是()A.acosC＝ccosAB.bsinC＝csinAC.absinC＝bcsinBD.asinC＝csinA2.在△ABC中，a＝7，c＝5，則sinA∶sinC的值是()A.eq\f(7,5) B.eq\f(5,7) C.eq\f(7,12) D.eq\f(5,12)3.已知△ABC外接圓半徑是2，A＝60°，則BC的長為________.（五）典型例題1.已知兩角及一邊解三角形【例1】已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B.【類題通法】1.正弦定理實際上是三個等式：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，每個等式涉及四個元素，所以只要知道其中的三個就可以求另外一個.2.解決已知兩角及一邊類型的解題方法：(1)若所給邊是已知角的對邊時，可由正弦定理求另一邊，再由三角形內(nèi)角和定理求出第三個角，最后由正弦定理求第三邊．(2)若所給邊不是已知角的對邊時，先由三角形內(nèi)角和定理求第三個角，再由正弦定理求另外兩邊．【鞏固練習(xí)1】在△ABC中，已知B＝45°，C＝60°，c＝1，求最短邊的邊長.2.已知兩邊及一邊的對角解三角形【例2】在△ABC中，已知a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，B＝45°，求A，C和c.【類題通法】已知三角形兩邊及一邊的對角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一邊對角的正弦值.(2)如果已知的角為大邊所對的角時，由三角形中大邊對大角、大角對大邊的法則能判斷另一邊所對的角為銳角，由正弦值可求銳角唯一.(3)如果已知的角為小邊所對的角時，則不能判斷另一邊所對的角為銳角，這時由正弦值可求兩個角，要分類討論.【鞏固練習(xí)2】已知在△ABC中，A＝45°，c＝eq\r(6)，a＝2，解此三角形.3.判斷三角形形狀【例3】已知在△ABC中，bsinB＝csinC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，試判斷△ABC的形狀．【類題通法】利用正弦定理判斷三角形形狀的方法：(1)化邊為角.將題目中的所有條件，利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)知識得到三個內(nèi)角的關(guān)系，進(jìn)而確定三角形的形狀；(2)化角為邊.將題目中的所有條件，利用正弦定理化角為邊，再根據(jù)代數(shù)恒等變換得到邊的關(guān)系(如a＝b，a2＋b2＝c2)，進(jìn)而確定三角形的形狀.【鞏固練習(xí)3】(1)若acosB＝bcosA，則△ABC是________三角形；(2)若acosA＝bcosB，則△ABC是________三角形.（四）操作演練素養(yǎng)提升1.在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝eq\f(1,3)，則sinB＝()A.eq\f(1,5) B.eq\f(5,9) C.eq\f(\r(5),3) D.12.在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3eq\r(2)，則AC＝()A.4eq\r(3) B.2eq\r(3) C.eq\r(3) D.eq\f(\r(3),2)3.在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶4∶5，則△ABC是()A.直角三角形 B.等腰三角形C.銳角三角形 D.鈍角三角形4.在△ABC中，a＝5，b＝5eq\r(3)，A＝30°，則B＝________.課堂小結(jié)通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識？在解決問題時，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？學(xué)習(xí)評價【自我評價】你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）A.很好B.較好C.一般D.較差【導(dǎo)學(xué)案評價】本節(jié)導(dǎo)學(xué)案難度如何（）A.很好B.較好C.一般D.較差【建議】你