2021二次函數(shù)（中考25題）-含答案

二次函數(shù)綜合題

1.(2021?重慶A卷)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丁=/+云+。經(jīng)過3(4,1).直線AB交

x軸于點(diǎn)C,P是直線45下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).過點(diǎn)P作垂足為。，莊/八軸，交于

點(diǎn)E.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)當(dāng)ATOE的周長取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和APDE周長的最大值；

(3)把拋物線y=W+云+。平移，使得新拋物線的頂點(diǎn)為㈡)中求得的點(diǎn)p.M是新拋物線上一點(diǎn)，N

是新拋物線對稱軸上一點(diǎn)，直接寫出所有使得以點(diǎn)A,B,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)M的

坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)〃的坐標(biāo)的過程寫出來.

備用圖

2.(2021?重慶8卷)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線＞=加+辰-4("0)與”軸交于點(diǎn)4(-1,0),8(4,0),

與y相交于點(diǎn)C.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）直線/為該拋物線的對稱軸，點(diǎn)。與點(diǎn)C關(guān)于直線/對稱，點(diǎn)P為直線4）下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接

PA,PD,求面積的最大值.

（3）在（2）的條件下，將拋物線了二公、區(qū)-4（。/0）沿射線4）平移4夜個(gè)單位，得到新的拋物線力,

點(diǎn)七為點(diǎn)尸的對應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)尸為X的對稱軸上任意一點(diǎn)，在,上確定一點(diǎn)G,使得以點(diǎn)￡>,E,廣，G為

頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點(diǎn)G的坐標(biāo)，并任選其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出求解過程.

備用圖

3.（2020?重慶A卷）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，己知拋物線），=/+加與直線/W相交于A,B兩點(diǎn),

其中A（-3,T）,8（0,T）.

（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）點(diǎn)P為直線48下方拋物線上的任意一點(diǎn)，連接PA,PB,求4%8面積的最大值；

（3）將該拋物線向右平移2個(gè)單位長度得到拋物線），=。"+如+。3產(chǎn)0）,平移后的拋物線與原拋物線

相交于點(diǎn)C,點(diǎn)。為原拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)E,使以點(diǎn)3,C,O,

石為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

備用圖

4.（2020?重慶B卷）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丁=〃2+加+2（。工0）與y軸交于點(diǎn)C,與x軸

交于4,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)4的左側(cè)），且4點(diǎn)坐標(biāo)為（-應(yīng)，0）,直線AC的解析式為y=-孝工+2.

（1）求拋物線的解析式；

（2）過點(diǎn)A作4O//5C,交拋物線于點(diǎn)。，點(diǎn)E為直線3c上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接CE,EB,BD,

DC.求四邊形面積的最大值及相應(yīng)點(diǎn)石的坐標(biāo)；

（3）將拋物線y=or2+bx+2（"0）向左平移&個(gè)單位，已知點(diǎn)M為拋物線），=潑+加+2（。/0）的對稱

軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為平移后的拋物線上一動(dòng)點(diǎn).在（2）中，當(dāng)四邊形BECD的面積最大時(shí)，是否存在以A,

E,M,N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

備用圖

5.（2019?重慶A卷）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=V-21-3與x軸交于點(diǎn)A,B（點(diǎn)A在點(diǎn)3

的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)。為拋物線的頂點(diǎn)，對稱軸與x軸交于點(diǎn)E.

（1）連接比），點(diǎn)M是線段Q匕一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M不與端點(diǎn)3,。重合），過點(diǎn)〃作MM_L8D,交拋物線

于點(diǎn)、N（點(diǎn)N在對稱軸的右側(cè)），過點(diǎn)N作N〃_Lx釉，垂足為“，交皿）于點(diǎn)F,點(diǎn)夕是線段0c上一動(dòng)

點(diǎn)，當(dāng)MN取得最大值時(shí)，求〃產(chǎn)+的最小值；

（2）在（1）中，當(dāng)MN取得最大值，“尸+尸尸+gpC取得最小值時(shí)，把點(diǎn)尸向上平移等個(gè)單位得到點(diǎn)Q,

連接4Q,把A4OQ繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度。（0。＜。＜360。），得到△HO。，其中邊交坐標(biāo)軸

于點(diǎn)G.在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在一點(diǎn)G,使得NO=NQ'OG?若存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q

的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

拋物線），=-咚/+*%+2百與“軸交于兒8兩點(diǎn)（點(diǎn)A

6.（2019?重慶B卷）在平面直角坐標(biāo)系中,

在點(diǎn)3左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為O,對稱軸與x軸交于點(diǎn)Q.

(1)如圖1,連接AC,BC.若點(diǎn)尸為直線8C上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作尸E//y釉交于點(diǎn)

作尸尸_LBC于點(diǎn)尸，過點(diǎn)8作BG〃AC交)，軸于點(diǎn)G.點(diǎn)〃，K分別在對稱軸和y軸上運(yùn)動(dòng)，連接產(chǎn)〃，

HK.當(dāng)APE廠的周長最大時(shí)，求PH+//K+立KG的最小值及點(diǎn)，的坐標(biāo).

2

(2)如圖2,將拋物線沿射線AC方向平移，當(dāng)拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O時(shí)停止平移，此時(shí)拋物線頂點(diǎn)記為

N為直線。。上一點(diǎn)，連接點(diǎn)。，C，N,△DCN能否構(gòu)成等腰三角形？若能，直接寫出滿足條件的點(diǎn)

N的坐標(biāo)；若不能，請說明理由.

7.(2018?重慶A卷)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在拋物線y二-丁+而上，且橫坐標(biāo)為1,點(diǎn)、B與

點(diǎn)A關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，直線與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)。為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)上的坐標(biāo)為(1,1).

(1)求線段4?的長；

（2）點(diǎn)尸為線段AB上方拋物線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作43的垂線交于點(diǎn)”，點(diǎn)尸為），軸上一點(diǎn),

當(dāng)AP8K的面積最大時(shí)，求尸〃+"十!”O(jiān)的最小值：

2

（3）在（2）中，+“尸+4尸。取得最小值時(shí)，將AOH繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。后得到△CVTT,過點(diǎn)

2

P作CF的垂線與直線AB交于點(diǎn)。，點(diǎn)R為拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)S,

使以點(diǎn)O,Q,R,S為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點(diǎn)S的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

備用圖

8.（2018?重慶B卷）拋物線y=-四V一亞％+遍與1軸交于點(diǎn)A,B（點(diǎn)4在點(diǎn)/的左邊），與丁軸

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交于點(diǎn)C,點(diǎn)。是該拋物線的頂點(diǎn).

（1）如圖1,連接C。，求線段8的長；

（2）如圖2,點(diǎn)P是直線AC上方拋物線上一點(diǎn)，軸于點(diǎn)尸，P尸與線段AC交于點(diǎn)E；將線段08

沿X軸左右平移，線段QB的對應(yīng)線段是?片，當(dāng)?E+的值最大時(shí)，求四邊形PQBC周長的最小值,

并求用對應(yīng)的點(diǎn)Oi的坐標(biāo)；

(3)如圖3,點(diǎn)”是線段"的中點(diǎn)，連接CH,將AOBC沿直線CH翻折至△0員。的位置,再將△O2B2C

繞點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)O2,。的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)O3,。，直線03G分別與直線AC,x軸

交于點(diǎn)M,N.那么，在2c的整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在恰當(dāng)?shù)奈恢茫笰的是以MN為腰的等

腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的線段的長；若不存在，請說明理由.

9.(2021?沙坪壩區(qū)校級模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線)，=姒2+勿；+3的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,3),

與x軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)8(-1,0),與)，軸交于點(diǎn)C.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)如圖1,過點(diǎn)8作4M〃AC交拋物線于點(diǎn)M,點(diǎn)P是直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接P8交AC

于點(diǎn)N,連接尸M,NM,當(dāng)SA-取得最大值時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)和5人,最大值；

（3）如圖2,將該拋物線向左平移1個(gè)單位長度得到拋物線y與原拋物線相交于點(diǎn)點(diǎn)方為原拋物線上

對稱軸上一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)Q,使以尸、C、E.。為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，請直接

寫出。點(diǎn)坐標(biāo).

10.（2021?渝中區(qū)校級模擬）如圖，拋物線y=o^+bx—3（4>0）與x軸交于A、8兩點(diǎn)，交），軸于點(diǎn)C,

08=3,拋物線經(jīng)過點(diǎn)（2,5）.

（1）求該拋物線解析式；

（2）如圖1,該拋物線頂點(diǎn)。，連接必、BC,點(diǎn)尸是線段班）下方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作軸,

分別交線段%＞、BC于點(diǎn)F、E,過點(diǎn)P作PG_L8￡＞于點(diǎn)G,求2名PG+E廠的最大值，及此時(shí)點(diǎn)尸的

坐標(biāo)；

（3）如圖2,在），軸左側(cè)拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)M,在y軸上有一動(dòng)點(diǎn)N,是否存在以4V為直角邊的等腰直

角三角形AMN?若存在,請直接寫出點(diǎn)”的坐標(biāo).

11.（2021?九龍坡區(qū)校級模擬）若直線y=-2x+4與），軸交于點(diǎn)A,與x軸交于點(diǎn)5,二次函數(shù)

），=加+3%+。的圖象經(jīng)過點(diǎn)A,交x軸于C、D兩點(diǎn),且拋物線的對稱軸為直線x=2.

2

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）過點(diǎn)。作直線CE//A5交），軸于點(diǎn)E,點(diǎn)尸是直線CE上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。是第一象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn),

求四邊形APBQ面積的最大值與此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

(3)在(2)的結(jié)論下，點(diǎn)E是拋物線的頂點(diǎn)，對稱軸與x軸交于點(diǎn)G,直線EQ交、軸于點(diǎn)尸，在拋物線

的對稱軸上是否存在一點(diǎn)M,使得NMFQ+NC4O=45。，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

12.(2021?沙坪壩區(qū)校級模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=o?+bx+c(aH0)與x軸交于A,B兩點(diǎn)

(A在8的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C(0,6),其中AB=8,tanZC4B=3.

(1)求拋物線的表達(dá)式：

(2)點(diǎn)P是直線上方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作叨//AC交x軸于點(diǎn)。，交8C于點(diǎn)E,求而PE-N/JBE

的最大值及點(diǎn)尸的坐標(biāo).

(3)將該拋物線沿射線CA方向平移2，記個(gè)單位長度得到拋物線乂，平移后的拋物線與原拋物線相交于

點(diǎn)尸，點(diǎn)G為拋物線.片的頂點(diǎn)，點(diǎn)M為直線尸G上一點(diǎn)，點(diǎn)N為平面上一點(diǎn).在(2)中，當(dāng)MPE-OBE

的值最大時(shí)，是否存在以「、E、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不

13.(2021?沙坪壩區(qū)校級模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線)，=以2+公一2(〃>0)與*軸交于A(-2,0),

8(1,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.

圖1圖2

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)0是第三象限內(nèi)拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AC,過點(diǎn)。作于點(diǎn)E,求線段DE最大值及

此時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo)：

(3)將拋物線向右平移5個(gè)單位得到拋物線y，.拋物線,,與拋物線y交于點(diǎn)尸，連接。尸，若點(diǎn)尸是x軸

上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)尸，使得NPCH=NOCF,若存在，請更接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請

說明理由.

14.(2021?沙坪壩區(qū)校級一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線G:)，=-」/+加+。的圖象與坐標(biāo)軸

4

交于4、B、C三點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,8),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(T,0),點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,4).

（I）求該二次函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)尸為該拋物線在第一象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，求AF8面積的最大值;

（3）如圖2,將拋物線G向右平移2個(gè)單，立，向下平移5個(gè)單位得到拋物線G，M為拋物線。2上一動(dòng)點(diǎn)，

N為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，問是否存在這樣的點(diǎn)M、N,使得四邊形OMCN為菱形，若存在，請直接寫出點(diǎn)N的

坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

15.（2021?九龍坡區(qū)校級模擬）己知，二次函數(shù)丁=一立/+3x+2G圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn),與）'軸

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交于點(diǎn)C,連接AC、BC.

（1）如圖1，請判斷AABC的形狀，并說明理由；

（2）如圖2,O為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，作￡>P〃AC交拋物線于點(diǎn)P,過產(chǎn)作PEJLx軸，垂足為E,交BC

于點(diǎn)尸，過F作尸G_LPE,交.DP于G，連接CG，OG，求陰影部分面積S的最大值和。點(diǎn)坐標(biāo)：

（3）如圖3,將拋物線沿射線AC方向移動(dòng)之6個(gè)單位得到新的拋物線了=加+云+c（"0）,是否在新

2

拋物線對稱軸上存在點(diǎn)M，在坐標(biāo)平面內(nèi)存在點(diǎn)N,使得以C、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是以CB為

邊的矩形？若存在，請直接寫出N點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

16.（2021?坪山區(qū)模擬）如圖,拋物線y=一2%+c與x軸相交于4一1,0）,8（3,0）兩點(diǎn).

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

（2）點(diǎn)C在拋物線的對稱軸上，且位于x軸的上方，將AA8C沿直線AC翻折得到△A&C,點(diǎn)夕恰好落

在拋物線的對稱軸上.若點(diǎn)G為直線AC下方拋物線上的一點(diǎn)，求當(dāng)△4B'G面積最大時(shí)點(diǎn)G的橫坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)尸是拋物線上位于對稱軸右側(cè)的一點(diǎn)，在拋物線的對稱軸上存在一點(diǎn)。使得MPQ為等邊三角形,

請直接寫出此時(shí)直線AP的函數(shù)表達(dá)式.

17.(2021?江岸區(qū)模擬)如圖，拋物線)，=/+云+。交K軸于A、8兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè))，交y軸

于點(diǎn)C(0,5),連接BC,其中OC=5Q4.

(1)求拋物線的解析式；

（2）如圖1,將直線沿），軸向上平移6個(gè)單位長度后與拋物線交于。、E兩點(diǎn),交y釉于點(diǎn)G,若點(diǎn)P

是拋物線上位于直線8c下方（不與4、3重合）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作尸軸交DE于點(diǎn)A7,交BC

于點(diǎn)H,過點(diǎn)M作于點(diǎn)M,求PM+M7的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸滿足（2）問條件時(shí)，將ACBP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。（0。＜。＜90。）得到a（78'尸，此時(shí)

點(diǎn)￡恰好落到直線ED上，已知點(diǎn)尸是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在直線ED上是否存在一點(diǎn)Q,使得以點(diǎn)C、&、

尸、。為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

圖1圖2

18.（2021?沙坪壩區(qū)校級模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線），=，/-Z%+3與％軸交于4、8兩點(diǎn)（點(diǎn)A

22

在點(diǎn)6的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C.點(diǎn)O是拋物線上位于直線下方的一點(diǎn).

（1）如圖1,連接4）,CD,當(dāng)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為5時(shí)，求幾3；

(2)如圖2,過點(diǎn)。作OE//AC交于點(diǎn)E,求?！觊L度的最大值及此時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo);

<3)如圖3,將拋物線y=+3向右平移4個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到新拋物線

22

y=ar+Z)x+c.新拋物線與原拋物線的交點(diǎn)為點(diǎn)尸，G為新拋物線的對稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)〃是坐標(biāo)平面

內(nèi)一點(diǎn)，若以C,尸，G,“為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，請求出所有符合條件的點(diǎn)H坐標(biāo).

圖1圖2

19.(2021?九龍坡區(qū)校級模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線「=0?+法一2(。工0)交x軸于

4(-1,0),8(4,0),交y軸于點(diǎn)C.

(1)求該拋物線解析式；

(2)點(diǎn)P為第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接尸8,過C作CQ//BP交x軸于點(diǎn)Q,連接PQ,求AP8Q面

積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，將拋物線y=ax2+bx-2(a^0)向右平移經(jīng)過點(diǎn)Q,得到新拋物線

y=q/+*v+q(qHO),點(diǎn)E在新拋物線的對稱軸上，是否存在平面內(nèi)一點(diǎn)尸，使得A,P,E,廣為

頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

備用圖

20.(2021?九龍坡區(qū)校級模擬)如圖，拋物線丁=公2+加+黃。=0)與x軸交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)8的

左邊)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(-3,0)、(0,2),對稱軸為直線x=-2.

(1)求拋物線的解析式：

(2)如圖，點(diǎn)。與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，連接AC,過點(diǎn)。作。石〃AC交拋物線于點(diǎn)E,交)，軸

于點(diǎn)M.點(diǎn)尸是直線AC下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接"'交AC于點(diǎn)G,連接EG,求AEFG的面積的最

大值以及取得最大值時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo),

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)?為平面內(nèi)一點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)Q,是以點(diǎn)尸、Q、尸、C為頂點(diǎn)

的四邊形為矩形，如果存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)，如果不存在，說明理由.

21.（2021?渝中區(qū)模擬）如圖，已知拋物線y=a?+4x+c與直線相交于點(diǎn)4（0,1）和點(diǎn)B（3,4）.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）設(shè)C為直線48上方的拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)A46C的面積最大時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo);

（3）將該拋物線向左平移2個(gè)單位長度得到拋物線y+如+。（。尸0）,

平移后的拋物線與原拋物線相交于點(diǎn)O,是否存在點(diǎn)石使得A4L陀是以AD為腰的等腰直角三角形？若存

在，直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

22.（2021?萬州區(qū)模擬）在平面直角坐標(biāo)系X。），中，拋物線y=gx2-2x-6與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在

點(diǎn)B左側(cè)），與），軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為點(diǎn)。.

（1）求點(diǎn)5、。的坐標(biāo);

（2）如圖1,點(diǎn)尸在直線下方拋物線上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)5、D）,記APCA的面積為記的面

積為$2，求2S1-S2的最大值及此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo);

（3）如圖2,將該拋物線沿直線08平移，設(shè)平移后的新拋物線的頂點(diǎn)為與。不重合），新拋物線與

直線08的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)E,在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)E,使以點(diǎn)C、O'、E、尸為頂點(diǎn)的四邊

形為矩形？若存在，直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

23.（2021?渝中區(qū)校級二模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ad+加+3與），軸交于點(diǎn)C,與x軸交

于A,8兩點(diǎn)（點(diǎn)4在點(diǎn)8的左側(cè)），其中A（-2,0）,并且拋物線過點(diǎn)44,3）.

（1）求拋物線的解析式：

（2）如圖1,點(diǎn)尸為直線C8上方拋物線上一點(diǎn)，過P作PE〃》軸交BC于點(diǎn)E,連接CP,PD,DE,

求四邊形C燈把面積的最值及點(diǎn)P的坐標(biāo):

(3)如圖2,將拋物線沿射線C4方向平移得新拋物線y=4/十"/十。(4工0),是否在新拋物線上存在點(diǎn)

M,在平面內(nèi)存在點(diǎn)N,使得以A,C.M，N為頂點(diǎn)的四邊形為正方形？若在，直接寫出此時(shí)新拋物

線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

圖2

24.(2021?沙坪壩區(qū)模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線)，=$2+云+。與尤軸交于點(diǎn)4-1,0),3(3,0)

與y相交于點(diǎn)C.

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

(2)點(diǎn)尸是直線3c下方拋物線上的任意一點(diǎn)，連接尸B,PC,以PB,PC為鄰邊作平行四邊形CP4D,

求四邊形c/有。面積的最大值;

（3）將該拋物線沿射線C6方向平移號(hào)個(gè)單位，平移后的拋物線與），軸交于點(diǎn)E,點(diǎn)M為直線4c,上的

一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)Z,使以點(diǎn)C,E,M,N為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請

直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

25.（2021?九龍坡區(qū)模擬）如圖，已知拋物線y=or2+bx+2的圖象與x軸交于A,8兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)

C.-1,3是關(guān)于工的一元二次方程如2+加+2=0的兩個(gè)根.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）過點(diǎn)A作交拋物線于點(diǎn)。，AD與y軸交于點(diǎn)E,P為直線BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

連接帖交8c于點(diǎn)/，求SAPEF的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，在平面內(nèi)找一點(diǎn)N,是否存在以點(diǎn)A,M,N,P為

頂點(diǎn)的四邊形是以外為邊的矩形？若存在，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

備用圖

26.（2021?重慶模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丁=加7+。（。工0）與x軸交于A（-l,0）、B（3,0）

兩點(diǎn)，直線AC與），軸交于點(diǎn)C,與拋物線交于點(diǎn)O,OA=OC.

（1）求該拋物線與直線AC的解析式；

（2）若點(diǎn)七是x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE、CE.求A4CE面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(3)將原拋物線沿射線AD方向平移20個(gè)單位長度，得到新拋物線：yMqf+ax+qSwO),新拋物線

與原拋物線交于點(diǎn)廣，在直線AD上是否存在點(diǎn)尸，使以點(diǎn)P、D、尸為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若

存在，直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.X,

27.(2021?沙坪壩區(qū)校級模擬)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線)，=加+加+3與九軸交于4-3百，

0)、B(G,0)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C.連接4C、CB.

(1)求拋物線的解析式：

(2)若點(diǎn)尸是拋物線上第二象限上一點(diǎn)，過尸點(diǎn)作尸MJL4C于M,過P作PN//)，軸交AC于點(diǎn)N,當(dāng)

APM7V周長有最大值時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo)及底長最大值.

(3)如圖2,將拋物線向右平移36個(gè)單位長度，再向上平移3個(gè)單位長度后得到新的拋物線，M點(diǎn)在新

拋物線后的對稱軸上，N點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，使以8、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，請直接寫出N點(diǎn)

坐標(biāo).

圖1圖2

28.(2021?渝中區(qū)校級模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線產(chǎn);丁+6+c與x軸相交于46,0),

B(-2,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,。為拋物線頂點(diǎn)，連接AD.

圖1圖2圖3

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖2,P為直線AD下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、。重合），連接Q4,PD,求面積

的最大值及相應(yīng)點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

（3）如圖3,連接4C,將直線AC沿射線八4方向平移經(jīng)5個(gè)單位得到直線/,直線/與拋物線的兩個(gè)交

2

點(diǎn)分別為“，MM在N的左側(cè)），在拋物線對稱軸上是否存在點(diǎn)K,使ACMK是以KC為腰的等腰三角形？

若存在，請直接寫出點(diǎn)K的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

29.（2021?渝中區(qū)校級一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線曠=-'/+3]+2與x軸相交于A,

22

8兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.

（1）求8、。兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)P為直線上方拋物線上的任意一點(diǎn)，過尸作尸尸〃x軸交直線BC于點(diǎn)尸，過戶作軸交

直線8c于點(diǎn)E,求線段所的最大值及此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)：

（3）將該拋物線沿著射線AC方向平移與個(gè)單位得到新拋物線曠，N是新拋物線對稱軸上一點(diǎn)，在平面

直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)5、。、Q、N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點(diǎn)。點(diǎn)

的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

備用圖

30.（2021?北倍區(qū)校級模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線丁=加+云+3與y軸交于點(diǎn)C,與

x軸交于點(diǎn)A,B,連接BC.點(diǎn)A的坐標(biāo)為（石，0）.tanZOBC=—.

4

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)尸為線段BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作尸￡)〃)，軸交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)。作軸，垂

足為點(diǎn)E,求尸。+立。E的最大值及此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

2

(3)將拋物線y=?2+歷:+3沿射線C4方向平移36個(gè)單位長度，得到拋物線)LM為了對稱軸上一動(dòng)

點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在一點(diǎn)A,使得以3、M、N、C四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存

在，靖直接寫出N點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，在請說明理由.

"一/

O*4\l,BX

備用圖

二次函數(shù)(中考25題)參考答案

參考答案與試題解析

一.解答題(共30小題)

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=f+bx+c經(jīng)過A(0,-1),8(4,1).直線A3

交x軸于點(diǎn)C,尸是直線A8下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).過點(diǎn)P作尸。_L4B,垂足為

PE〃x軸，交4B于點(diǎn)E.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)當(dāng)?shù)闹荛L取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和△0￡>￡：周長的最大值；

(3)把拋物線丁=?+灰+°平移，使得新拋物線的頂點(diǎn)為(2)中求得的點(diǎn)P.M是新拋

物線上一點(diǎn)，N是新拋物線對稱軸上一點(diǎn)，直接寫出所有使得以點(diǎn)A,B,歷，N為頂點(diǎn)

備用圖

【分析】(1)利用待定系數(shù)法洛A(0,-1),B(4,1)代入y=f+bx+c,即可求得答

案；

(2)先運(yùn)用待定系數(shù)法求出A8的函數(shù)表達(dá)式，設(shè)P(f,P-lt-I),其中0V/V4,

2

根據(jù)點(diǎn)E在直線y=2x?l上，PE〃工軸，可得出PE=-2(r-2)2+8,再根據(jù)△產(chǎn)我：

2

s/XAOC,即可得到△「￡>￡：的周長/=-礪+1°(/-2)2+磔匹+8,運(yùn)用二次函數(shù)最

55

值方法即可求出答案；

(3)分兩種情況：①若是平行四邊形的對角線，②若48是平行四邊形的邊，分別

進(jìn)行討論即可.

【解答】解：(1);拋物線y=』+&+c經(jīng)過4(0,-1),8(4,1),

第31頁(共142頁)

.fc=-l

*(16+4b+c=l，

2

解得：2,

c=-l

，該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=/■孑-1；

(2)如圖I,設(shè)直線A8的函數(shù)表達(dá)式為y=H+〃,

V4(0,-1),B(4,1),

?,卜T,

l4k+n=l

解得：/2,

n=-l

.?.直線4?的函數(shù)表達(dá)式為尸步1,

令y=0,得工-1=0,

2

解得：x=2,

：.C(2,0),

設(shè)P(z,z2--/-1),其中0W4,

2

???點(diǎn)E在直線y=L?1上，PE〃x軸，

2

:?￥--t-1=—x-1,

22

：.x=2p-It,

：.E(2』?7r,r2--/-1),

2

：.PE=t-(2?-7r)=-2z2+8r=-2(/-2)2+8,

*：PDA.ABt

???N4OC=NPOE=90°，

又??,PE〃x軸，

：.ZOCA=ZPED,

???△PQESZ\AOC,

：AO=1,OC=2,

AAC=V5?

第32頁(共142頁)

???△AOC的周長為3+港，

令△?/)￡的周長為/,則世匡=幽_,

1PE

22

：?1=^^+5「2(r-2)2+8]=—W^+10(z.2)+^^+8,

555

，當(dāng)f=2時(shí)，△尸OE周長取得最大值，最大值為絲在+8.

5

此時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(2,-4).

(3)如圖2,滿足條件的點(diǎn)朋坐標(biāo)為(2,-4),(6,12),(-2.12).

由題意可知，平移后拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=/-4%,對稱軸為直線x=2,

①若AB是平行四邊形的對角線，

當(dāng)MN與AB互相平分時(shí)，四邊形ANBM是平行四邊形，

即MN經(jīng)過A8的中點(diǎn)。(2,0),

???點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為2,

，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2,

???點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,-4),

②若人8是平行四邊形的邊，

I.當(dāng)MN〃AB且MN=AB時(shí)，四邊形ABNM是平行四邊形，

VA(0,-1),B(4,1),點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為2,

???點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2-4=-2，

???點(diǎn)M的坐標(biāo)為(?2,⑵；

II.當(dāng)且NM=AB時(shí)，四邊形48MN是平行四邊形，

VA(0,-1),8(4,1),點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為2,

，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2+4=6,

???點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6,12)；

綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,-4)或(-2,12)或(6,12).

第33頁(共142頁)

圖1

【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)有關(guān)的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函

數(shù)圖象和性質(zhì)，三角形周長，平行四邊形性質(zhì)等，熟練掌握待定系數(shù)法、二次函數(shù)圖象

和性質(zhì)及平行四邊形性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)，運(yùn)用分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想是解題關(guān)鍵.

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，勉物線-4(a#0)與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),

B(4,0),與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)直線/為該拋物線的對稱軸，點(diǎn)。與點(diǎn)C關(guān)于直線/對稱，點(diǎn)P為宜線4。下方拋

物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接以，PD,求△必。面積的最大值.

(3)在(2)的條件下，將拋物線(a#0)沿射線4。平移4加個(gè)單位，

得到新的拋物線W，點(diǎn)E為點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)尸為》的對稱軸上任意一點(diǎn)，在yi上確

定一點(diǎn)G,使得以點(diǎn)O,E,F,G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的

點(diǎn)G的坐標(biāo)，并任選其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出求解過程.

第34頁(共142頁)

【分析】(1)直接代入點(diǎn)4,3坐標(biāo)即可；

(2)作尸E〃y軸交直線AD于"，通過鉛垂高表示出△4PD的面積即可求出最大面積;

(3)通過平移距離為4加.轉(zhuǎn)化為向右平移4個(gè)單位,再向下平移4個(gè)單位.得出平

移后的拋物線關(guān)系式和E的坐標(biāo)，從而平行四邊形中，已知線段DE,分￡>E為邊還是對

角線，通過點(diǎn)的平移得出G的橫坐標(biāo)即可.

【解答】解：(1)將A(?1,0),B(4,0)代入y=/+bx-4得

a-b-4=0

16a+4b-4=0

.a=l

b=-3

.*.y=x2-3x-4,

(2)當(dāng)x=0時(shí)，y=-4,

???點(diǎn)C(0,-4),

???點(diǎn)。與點(diǎn)。關(guān)于直線/對稱，且對稱軸為直線4=旦，

2

：.D(3,-4),

VA(-1,0),

???直線A。的函數(shù)關(guān)系式為：j=-X-1,

設(shè)尸(zn,“P-3m-4),

作PH//y軸交直線AD于H,

??H(m,-tn-1),

:.PH=-m-\-(zn2-3m-4)

=-〃r+2/〃+3,

第35頁(共142頁)

XPHX4=2（-序+2m+3）=-2m2+4w+6,

(3)???直線4。與％軸正方向夾角為45°,

，沿4。方向平移幺匹，實(shí)際可看成向右平移4個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位,

VP(1,-6),

：.E(5,-10),

拋物線y=)?-3x-4平移后y\=j?-llx+20,

???拋物線yi的對稱軸為：直線

2

當(dāng)OE為平行四邊形的邊時(shí)：

若。平移到對稱軸上尸點(diǎn)，則G的橫坐標(biāo)為至，

2

代入yi=/-lLv+20得y=-―,

若七平移到對稱軸上尸點(diǎn)，則G的橫坐標(biāo)為工,

2

代入yi=/-Ilx+20得y=

4

,■,G(p冬

若OE為平行四邊形的對角線時(shí)，

若七平移到對稱軸上尸點(diǎn)，則G平移到。點(diǎn)，

???G的橫坐標(biāo)為與

2

第36頁(共142頁)

代入y\=j?-lLv+20得y=--,

【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式，鉛垂高求三角形的

面積，以及平移的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)和判定，解決問題的關(guān)鍵是沿4力平移?歷轉(zhuǎn)

化為右平移4個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位，屬于中考壓軸題.

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線丁=/+公+。與直線48相交于A,8兩點(diǎn)，其

中A(-3,-4),B(0,-1).

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點(diǎn)尸為直線4B下方拋物線上的任意一點(diǎn)，連接附，PB,求△布B面積的最大值；

(3)將該拋物線向右平移2個(gè)單位長度得到拋物線從x+ci(⑶片。)，平移后的

拋物線與原拋物線相交于點(diǎn)G點(diǎn)。為原拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中

第37頁(共142頁)

是否存在點(diǎn)￡使以點(diǎn)&C,D,七為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點(diǎn)E

的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

備用圖

【分析】(1)將點(diǎn)A、8的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解；

(2)△氏8面積S=2XP”X(XB-XA)=—(x-1-^-4A+1)X(0+3)=--?-

222

去，即可求解；

2

(3)分BC為菱形的邊、菱形的的對角線兩種情況，分別求解即可.

【解答】解：⑴將點(diǎn)A、8的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得1-4=9-3b+c,解得(b=4,

故拋物線的表達(dá)式為：y=jp+4x-\；

(2)設(shè)直線45的表達(dá)式為:y=kx+t,則f-4=-3k+t,解得仆=1

lt=-llt=-l

故直線48的表達(dá)式為：y=x-1,

過點(diǎn)P作y軸的平行線交AB于點(diǎn)H,

設(shè)點(diǎn)P(x,/+4x-1),則Hix,x-1),

△以8面積S=』XP”X(XB-XA)=—(x-1-f-4x+l)X(0+3)=--x2-—x,

2222

第38頁(共142頁)

???/■VO,故S有最大值，當(dāng)x=-4時(shí)，S的最大值為三;

228

(3)拋物線的表達(dá)式為：>=A2+4X-1=(x+2)2-5,

則平移后的拋物線表達(dá)式為：)，=/-5,

聯(lián)立上述兩式并解得：產(chǎn)-1,故點(diǎn)C(?l,-4)；

ly=-4

>4

圖2

設(shè)點(diǎn)D(-2,m)、點(diǎn)E(s,/),而點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為(0,7)、(-1,-4)；

①當(dāng)8C為菱形的邊時(shí)，

點(diǎn)C向右平移1個(gè)單位向上平移3個(gè)單位得到B,同樣。(E)向右平移1個(gè)單位向上平

移3個(gè)單位得到E(D),

即?2+l=s且m+3=/?或-2?l=s且m-3=@,

當(dāng)點(diǎn)。在E的下方時(shí)，則BE=BC,即/+(r+i)2=12+32@,

當(dāng)點(diǎn)。在E的上方時(shí)，則即2?+(〃+1)2=i+32④，

聯(lián)立①③并解得：s=-1,1=2或-4(舍去-4),故點(diǎn)七(-1,2)；

聯(lián)立②④并解得：S=-3,t=~4±V6>故點(diǎn)七(-3,-4-+V6)或(-3,-4-V6)；

②當(dāng)BC為菱形的的對角線時(shí)，

則由中點(diǎn)公式得：-l=s?2且-4-1=用+/⑤，

此時(shí)，BD=BE,即22+(m+1)2=s2+(r+1)2?,

聯(lián)立⑤⑥并解得：s=l,￡=-3,

故點(diǎn)E(l,-3),

綜上，點(diǎn)E的坐標(biāo)為：(?1,2)或(-3,-4+7^)或(-3,-4-%)或(1,-3).

【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、圖形

的平移、面積的計(jì)算等，其中(3),要注意分類求解，避免遺漏.

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=o?+bx+2(aKO)與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于

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A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè))，且4點(diǎn)坐標(biāo)為(-&，0),直線的解析式為y=

-返x+2.

3

(1)求拋物線的解析式；

(2)過點(diǎn)4作AD〃BC,交拋物線于點(diǎn)。，點(diǎn)E為直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接

CE,EB,BD,DC.求四邊形5ECO面積的最大值及相應(yīng)點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(3)將拋物線y=ax1+bx+2(aWO)向左平移后個(gè)單位，已知點(diǎn)M為拋物線y=ax2+bx+2

QW0)的對稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為平移后的拋物線上一動(dòng)點(diǎn).在(2)中，當(dāng)四邊形

BECD的面積最大時(shí)，是否存在以A,E,M,N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，

直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

備用圖

【分析】(1)利用直線BC的解析式求出點(diǎn)8、C的坐標(biāo)，則y=a^+bx+2=a(x+V2)

(x-3V2)=ar-2y/~2ci-6a,即-6a=2,解得：a=--,即可求解；