高中數(shù)學強基計劃專題訓練10推理與證明（原卷版）

專題訓練10推理與證明一、填空題1．容器中有種粒子，若相同種類的兩顆粒子發(fā)生碰撞，則變成一顆B粒子；不同種類的兩顆粒子發(fā)生碰撞，會變成另外一種粒子.例如，一顆A粒子和一顆B粒子發(fā)生碰撞則變成一顆C粒子，現(xiàn)有A粒子10顆，B粒子8顆，C粒子9顆，如果經(jīng)過各種兩兩碰撞后，只剩1顆粒子.給出下列結(jié)論：①最后一顆粒子可能是A粒子；②最后一顆粒子可能是B粒子；③最后一顆粒子可能是C粒子；其中正確結(jié)論的序號是______.（寫出所有正確結(jié)論的序號）2．有限集的全部元素的積稱為該數(shù)集的“積數(shù)”，例如的“積數(shù)”為2，的“積數(shù)”為6，的“積數(shù)”為，則數(shù)集的所有非空子集的“積數(shù)”的和為___________.3．長沙市為了支援邊遠山區(qū)的教育事業(yè)，組織了一支由13名教師組成的隊伍下鄉(xiāng)支教，記者采訪隊長時詢問這個團隊的構(gòu)成情況，隊長回答：“（1）有中學高級教師；（2）中學教師不多于小學教師；（3）小學高級教師少于中學中級教師；（4）小學中級教師少于小學高級教師；（5）支教隊伍的職稱只有小學中級、小學高級、中學中級、中學高級；（6）無論是否把我計算在內(nèi)，以上條件都成立．”由隊長的敘述可以推測出他的學段及職稱分別是____．二、解答題4．已知集合，對于集合的非空子集．若中存在三個互不相同的元素，，，使得，，均屬于，則稱集合是集合的“期待子集”．(1)試判斷集合，是否為集合的“期待子集”；（直接寫出答案，不必說明理由）(2)如果一個集合中含有三個元素，，，同時滿足①，②，③為偶數(shù)．那么稱該集合具有性質(zhì)．對于集合的非空子集，證明：集合是集合的“期待子集”的充要條件是集合具有性質(zhì)；(3)若的任意含有個元素的子集都是集合的“期待子集”，求的最小值．5．若正整數(shù)的二進制表示是，這里()，稱有窮數(shù)列1，，，，為的生成數(shù)列，設(shè)是一個給定的實數(shù)，稱為的生成數(shù).（1）求的生成數(shù)列的項數(shù)；（2）求由的生成數(shù)列，，，的前項的和(用?表示)；（3）若實數(shù)滿足，證明：存在無窮多個正整數(shù)，使得不存在正整數(shù)滿足.6．甲、乙兩人輪流吹同一只氣球，當且僅當氣球內(nèi)的氣體體積（單位：毫升）大于2014時，氣球會被吹破．先由甲開始吹入1毫升氣體，約定以后每次吹入的氣體體積為上一次體積的2倍或，且吹入的氣體體積為整數(shù)．（1）若誰先吹破氣球誰輸，問誰有必勝策略？證明你的結(jié)論．（2）若在不吹破氣球的前提下，約定單次吹入的氣體體積最大者為贏家（如果吹入的體積相同，則最先吹出最大體積者為贏家）．問：誰有必勝策略？證明你的結(jié)論．7．設(shè)，，.證明：（1）存在常數(shù)，使得對任意正整數(shù)，有.（2）對任意正整數(shù)，有.8．集合，，.若集合中的所有元素都能用中不超過9個的不同元素相加表示，求，并構(gòu)造達到最小時對應(yīng)的一個集合.9．對于一個m行n列的數(shù)表，用表示數(shù)表中第i行第j列的數(shù)，（；）．對于給定的正整數(shù)t，若數(shù)表滿足以下兩個條件，則稱數(shù)表具有性質(zhì)：①，；②．(1)以下給出數(shù)表1和數(shù)表2．數(shù)表111101000011110100001111010000數(shù)表2（i）數(shù)表1是否具有性質(zhì)？說明理由；（ii）是否存在正整數(shù)t，使得數(shù)表2具有性質(zhì)？若存在，直接寫出t的值，若不存在，說明理由；(2)是否存在數(shù)表具有性質(zhì)？若存在，求出m的最小值，若不存在，說明理由；(3)給定偶數(shù)，對每一個，將集合中的最小元素記為．求的最大值．10．如圖所示，，，…，，…是曲線（）上的點，，，…，，…是x軸正半軸上的點，且，，…，，…均為等腰直角三角形（為坐標原點）.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求.11．在一張無限大的方格表上的每個方格中填有一個實數(shù)．已知任意一個由格線構(gòu)成的正方形中的數(shù)之和的絕對值不超過1．證明：任意一個由格線構(gòu)成的矩形中的數(shù)之和的絕對值不超過4．12．已知集合，其中．對于，，定義與之間的距離為．（1）記，寫出所有使得；（2）記，、，并且，求的最大值；（3）設(shè)，中所有不同元素間的距離的最小值為，記滿足條件的集合的元素個數(shù)的最大值為，求證：．13．設(shè)為正整數(shù)，如果表達式同時滿足下列性質(zhì)，則稱之為“交錯和”.①，；②；③當時，（）；④規(guī)定：當時，也是“交錯和”.（1）請將7和10表示為“交錯和”；（2）若正整數(shù)可以表示為“交錯和”，求證：；（3）對于任意正整數(shù)，判斷一共有幾種“交錯和”的表示方法，并證明你的結(jié)論.14．是定義在上且滿足如下條件的函數(shù)組成的集合：①對任意的，都有；②存在常數(shù)，使得對任意的，都有.（1）設(shè)，問是否屬于？說明你的判斷理由；（2）若，如果存在，使得，證明這樣的是唯一的；（3）設(shè)為正實數(shù)，是否存在函數(shù)，使？作出你的判斷，并說明理由.15．已知，給定個整點,其中.（Ⅰ）當時,從上面的個整點中任取兩個不同的整點，求的所有可能值；（Ⅱ）從上面?zhèn)€整點中任取個不同的整點，.（i）證明：存在互不相同的四個整點，滿足,；（ii）證明：存在互不相同的四個整點，滿足,.16．如圖，將一個正三角形的每一邊都等分后，過各分點作其它兩邊的平行線形成一個三角形網(wǎng).記為n等分后圖中所有梯形的個數(shù).（1）求的值；（2）求的表達式.17．在個實數(shù)組成的行列的數(shù)表中，表示第行第列的數(shù)，記．，若，0，，且，，，，，，，，兩兩不等，則稱此表為“階表”，記，，，，，，，．(1)請寫出一個“階表”；(2)對任意一個“階表”，若整數(shù)，且，求證：為偶數(shù)；(3)求證：不存在“階表”．18．已知每一項都是正數(shù)的數(shù)列滿足，．（1）用數(shù)學歸納法證明：；（2）證明：；（3）記為數(shù)列的前項和，證明：．19．已知，且，數(shù)列滿足．(1)求證數(shù)列是等比數(shù)列；(2)數(shù)列的通項公式；(3)若滿足，試用數(shù)學