數(shù)學(xué)學(xué)案：課堂導(dǎo)學(xué)對數(shù)函數(shù)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點剖析一、對數(shù)函數(shù)定義域、值域問題【例1】求下列函數(shù)的定義域與值域。（1）y=log2(x2-4x-5）；(2）y=log3（9-x2);(3）y=；(4)y=。思路分析：（1)(2）題，用y=logax的定義域來求它們的定義域,即相當(dāng)于利用y=logax中的x的代數(shù)式大于0即可求得;(3)(4)題,對數(shù)要有意義并且根式也要有意義，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖象求定義域比較直觀、好理解。解：（1)∵x2—4x-5〉0，∴x〈-1或x〉5?！鄖=log2（x2—4x—5)的定義域是{x｜x〈-1或x〉5}.又令g(x）=(x—2)2—9，∵g（x)在定義域內(nèi)恒有g(shù)（x)>0，∴函數(shù)值域為R。（2)由9-x2>0，得—3〈x<3,∴y=log3（9—x2)的定義域為｛x｜—3〈x<3}.又知0〈9—x2≤9且y=log3x是增函數(shù)，∴y=log3（9—x2)≤log39=2?！鄖=log3(9-x2）的值域為（-∞,2］。(3）∵該函數(shù)有奇次根式,要使函數(shù)有意義，只需對數(shù)的真數(shù)是正數(shù),∴所求定義域是｛x|x〉0｝,值域為R.（4）要使函數(shù)y=有意義,必須log0.5(4x-3)≥0=log0。51.∴0〈4x—3≤1?！?lt;x≤1.∴所求定義域是{x|〈x≤1｝，值域為[0,+∞)。二、比較大小問題【例2】比較下列各組數(shù)中兩個值的大小:（1）log0。3,log20.8；（2)loga5.1,loga5。9;(3)log67,log76.思路分析：對于底數(shù)相同的兩個對數(shù)值比較大小,可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性確定。對于底數(shù)不同的兩個對數(shù)值比較大小,要換底或在兩個對數(shù)值之間搭一個“橋梁"，如“0”和“1”，間接地比較大小.解:(1）由對數(shù)的性質(zhì)，知log0。3>0,log20。8<0,∴l(xiāng)og0。3>log20.8。（2）對數(shù)函數(shù)的增減性取決于對數(shù)的底數(shù)是大于1還是在0與1之間,而已知條件中并未明確指出底數(shù)a與1哪個大，因此需要對底數(shù)a進行討論.當(dāng)a〉1時,函數(shù)y=logax在(0，+∞)上是增函數(shù),5。1<5.9,∴l(xiāng)oga5。1<loga5.9;當(dāng)0<a〈1時，函數(shù)y=logax在(0,+∞)上是減函數(shù),5。1〈5。9,∴l(xiāng)oga5.1>loga5。9.(3）∵log67〉1，log76<log77=1，∴l(xiāng)og67〉log76.三、函數(shù)單調(diào)性的判定與單調(diào)區(qū)間的求法【例3】(1)求證:函數(shù)f(x）=-logx在(0，+∞）上是增函數(shù)；（2)求函數(shù)f(x)=log2（x2—1）的單調(diào)區(qū)間。(1）證明:在（0,+∞)上任取x1、x2,且0〈x1〈x2,則f(x1）—f(x2）=（—logx1)—(-logx2）=logx2—logx1。又y=logx在(0，+∞)上是減函數(shù),有l(wèi)ogx2〈logx1,∴l(xiāng)ogx2—logx1〈0,即f（x1)—f（x2)〈0.∴f（x1)<f(x2)。∴f（x）=—logx在(0,+∞）上是增函數(shù)。（2)解析:由x2-1>0得x>1或x<—1,∴f（x)定義域為（1,+∞)∪(-∞,-1）。令g(x)=x2—1，知g（x）在（1，+∞)上遞增，在(-∞,-1)上遞減且f（x）=log2x為增函數(shù)。故f(x)的增區(qū)間為(1，+∞),減區(qū)間為(—∞，-1）。溫馨提示(1)要熟練地應(yīng)用增、減函數(shù)的定義,以及對數(shù)函數(shù)y=logax的單調(diào)性來證明復(fù)合函數(shù)單調(diào)性.(2)G(x）=f［g（x）］,若g(x）與f(x）同增（或同減）,則G（x)為增；若g（x）與f(x）一增一減，則G（x)為減,可據(jù)此來求單調(diào)區(qū)間.各個擊破類題演練1已知函數(shù)y=loga(a—ax)（其中a>1)，求它的定義域和值域.解析：根據(jù)題意a—ax>0,∴ax〈a.又∵a〉1,y=ax是增函數(shù),∴x〈1?！遖x〈a，且ax〉0，0<a—ax〈a，∴l(xiāng)oga(a—ax)<1.∴函數(shù)y=loga(a—ax)的定義域和值域分別是｛x｜x<1｝和｛y|y〈1｝.變式提升1求下列函數(shù)的定義域:（1)y=log7;(2)y=;（3)y=log(x+1）(16-4x）。解析:（1)由得x<,∴所求函數(shù)的定義域為｛x｜x<}.(2）由即∴函數(shù)y=的定義域為｛x｜x≥2或x〈-3且x≠-1}。(3)由∴y=log(x+1)(16—4x）的定義域為{x｜—1<x<2且x≠0}.類題演練2比較下列各組數(shù)中兩個值的大小:（1）log3,log3；(2）log3π，log20。8。解析：(1）∵在x∈（1,+∞)上，y=logx的圖象在y=logx圖象的上方,∴l(xiāng)og3〉log3.(2)∵log3π〉log31=0,log20。8<log21=0，∴l(xiāng)og3π>log20.8。變式提升比較(lgm）1。9與(lgm)2。1(m>1）的大小。解析：把lgm看作指數(shù)函數(shù)的底數(shù)，本題轉(zhuǎn)化為比較一個指數(shù)函數(shù)的兩個函數(shù)值的大小，于是應(yīng)對底數(shù)lgm進行討論：當(dāng)1〉lgm〉0,即1〈m〈10時，y=（lgm)x在R上是減函數(shù),1。9〈2.1,∴（lgm）1。9>（lgm)2.1;當(dāng)lgm=1,即m=10時,(lgm)1.9=(lgm）2.1=1;當(dāng)lgm〉1,即m>10時，y=（lgm)x在R上是增函數(shù)，1.9〈2.1,∴（lgm）1.9〈(lgm)2.1.類題演練3求函數(shù)f(x)=log0。5(x2—2x—3）的單調(diào)區(qū)間。解析：由x2—2x-3>0得x>3或x<—1,令g（x)=（x—1）2—4,知g(x)在(3,+∞)上遞增,在(—∞，—1）上遞減.又f（x）=log0.5x是減函數(shù),故f（x)的增區(qū)間為(—∞，—1）,減區(qū)間為（3,+∞）.變式提升3判斷f(x)=loga(x2-2x—3）在(3,+∞）上的單調(diào)性。解析：令g（x）=x2-2x-3，當(dāng)x∈（3,+∞)時,有g(shù)(x)〉0.設(shè)x1、x2∈（3，+∞）且x1>x2,則g(x1）=x12-2x1-3,g(x2）=x22-2x2-3.∴g(x1）—g（x2)=(x12-x22)—2（x1—x2)=（x1-x2）（x1+x2-2）.∵x1>x2>3,∴x1-x2>