數(shù)學(xué)學(xué)案：課堂導(dǎo)學(xué)函數(shù)的零點(diǎn)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、考查函數(shù)零點(diǎn)的概念【例1】求下列函數(shù)的零點(diǎn).（1)f(x）=kx+b(k≠0）；(2）f(x)=2x2-5x+2;(3）f（x）=x3+2x—3.思路分析：求函數(shù)的零點(diǎn)即是求f(x）=0的根,分解因式即可.解：（1）f（x）=k（x+）,∴零點(diǎn)為.（2)f（x）=(x—2）（2x-1)，∴零點(diǎn)為2、.(3）f(x）=x3—1+2x-2=(x-1）（x2+x+1)+2(x—1)=（x-1)（x2+x+3)，∵x2+x+3=（x+)2+>0恒成立，∴f（x)零點(diǎn)為1。二、利用零點(diǎn)的性質(zhì)求參數(shù)【例2】函數(shù)y=x2+2px+1的零點(diǎn)一個大于1，一個小于1，求p的取值范圍.思路分析：二次函數(shù)的零點(diǎn)即函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，因此借助二次函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合法來研究.解法一:記f（x）=x2+2px+1，則函數(shù)f（x）的圖象開口向上,當(dāng)f(x)的零點(diǎn)一個大于1,一個小于1時，即f(x）與x軸的交點(diǎn)一個在（1,0）的左方,另一個在（1,0)的右方,∴必有f（1)<0,即12+2p+1〈0.∴p〈—1?！鄍的取值為（-∞,—1)。解法二：設(shè)y=x2+2px+1的零點(diǎn)為x1、x2，則得p〈-1。三、應(yīng)用函數(shù)零點(diǎn)【例3】求證：方程5x2—7x—1=0的根一個在區(qū)間(—1,0)內(nèi)，另一個在區(qū)間(1,2）內(nèi)。思路分析:證明方程5x2-7x-1=0的兩個根分別位于(-1，0）和（1,2)內(nèi)，即證在(—1，0）和(1,2）上分別有一個零點(diǎn).證明：設(shè)f（x）=5x2-7x—1=0，則f（-1)=5+7-1=11,f（0)=—1，f（1)=5—7—1=-3，f(2)=20—14—1=5。由于f(—1）·f(0)=-11<0，f(1）·f(2）=—15<0,且f（x）=5x2—7x-1的圖象在R上是連續(xù)不斷的,∴f(x)的圖象在（-1,0)和（1,2）上分別有交點(diǎn)，即方程5x2—7x-1=0的根一個在（—1，0）內(nèi),另一個在（1，2）內(nèi)。溫馨提示判斷函數(shù)f(x）是否在（x1，x2）上存在零點(diǎn)，除驗(yàn)算f（x1）·f(x2)<0是否成立外,還需考查函數(shù)的圖象在(x1,x2)上是否連續(xù)不斷。若判斷根的個數(shù)問題，還需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行。各個擊破類題演練1求下列函數(shù)的零點(diǎn).(1)f(x）=x3+1；(2)f（x）=.解析：（1)f（x)=(x+1)(x2-x+1）,∴f（x）零點(diǎn)為—1。(2）f(x）=,令=0，得x=—1.∴f(x)零點(diǎn)為—1.變式提升1若f(x）=ax-b(b≠0）有一個零點(diǎn)3,則函數(shù)g(x）=bx2+3ax的零點(diǎn)是_______.解析：∵f（x)=ax—b的零點(diǎn)是3,∴f(3）=0，即3a-b=0,也就是b=3a?！鄃（x)=bx2+3ax=bx2+bx=bx（x+1）.∴g（x)零點(diǎn)為-1，0。答案:-1，0類題演練2已知函數(shù)f(x)=x2+（a2-1）x+(a—2）的一個零點(diǎn)小于1,另一個零點(diǎn)在1與2之間。求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解析：函數(shù)的大致圖象如圖,則即∴0〈a〈1或—2<a〈—。變式提升2m為何實(shí)數(shù)時，函數(shù)f（x）=mx2-（1—m）x+m有零點(diǎn)？解析：若m=0,函數(shù)為f(x)=—x，∴有零點(diǎn)x=0。當(dāng)m≠0時，由已知，Δ=(1—m)2—4m2∴3m2+2m∴—1≤m≤且m≠0。綜上，當(dāng)m∈［—1,]時，函數(shù)有零點(diǎn).類題演練3若函數(shù)y=f(x）在區(qū)間（-2,2）上的圖象是連續(xù)不斷的，且方程f（x）=0在（—2，2)上僅有一個實(shí)根,則f（—1)·f(1)的值()A。大于0B.小于0解析:由于函數(shù)f(x)在（—2，2)上的圖象是連續(xù)的,且f（x)=0在(-2,2）上僅有一個實(shí)根，則有f(2)·f(-2）〈0。若f（1）·f（-1)〈0，則f(x）在(—1,1）上必有零點(diǎn),即方程f(x）=0在(-1,1）上必有根;反之，由f（2)·f（-2)<0，卻不一定有f(1）·f(—1）<0,也可能有f（1)·f(—1）〉0，如圖所示?！噙xD。答案：D變式提升3若函數(shù)f（x)=ax2—x—1僅有一個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解析：(1）a=0，則f（x）=-x-1為一次函數(shù),易知函