解題技巧：乘法公式(平方差公式與完全平方公式)的靈活運用壓軸題五種模型全攻略（解析版）

專題06解題技巧專題：乘法公式的靈活運用壓軸題五種模型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一利用乘法公式進行簡便運算】 1【類型二利用乘法公式的變式求值】 4【類型三利用完全平方配方求多項式最小/大值問題】 6【類型四平方差公式在幾何圖形中的應用】 11【類型五完全平方公式在幾何圖形中的應用】 17【典型例題】【類型一利用乘法公式進行簡便運算】例題：（2023春·廣西北?！て吣昙壗y(tǒng)考期中）用簡便方法計算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）把原式變形為，然后利用平方差公式求解即可；（2）把原式變形為，然后利用完全平方公式進行求解即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點睛】本題主要考查了完全平方公式和平方差公式，熟知完全平方公式和平方差公式是解題的關鍵：．【變式訓練】1．（2023春·北京海淀·七年級?？计谀┯煤啽惴椒ㄓ嬎悖海敬鸢浮俊痉治觥坷猛耆椒焦竭M行變型，計算即可．【詳解】．【點睛】本題考查對完全平方公式的靈活應用能力，當所求的式子有三項，且滿足完全平方公式的特點，運用完全平方公式進行求值可簡化運算．2．（2023春·江蘇常州·七年級統(tǒng)考期中）用簡便方法計算：(1)(2)【答案】(1)9999(2)400【分析】（1）根據(jù)平方差公式簡化運算即可；（2）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法公式簡化運算即可．【詳解】（1）；（2）．【點睛】本題考查了平方差公式，同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握這些知識是解題的關鍵．3．（2023春·四川成都·七年級?？茧A段練習）用簡便方法計算．(1)(2)(3)；(4)．【答案】(1)(2)1(3)(4)【分析】（1）先變形，再利用完全平方公式展開計算；（2）先變形為，再利用平方差公式計算即可；（3）根據(jù)完全平方公式將原式化為即可；（4）配上因式，連續(xù)使用平方差公式進行計算即可．【詳解】（1）解：；（2）；（3）；（4）．【點睛】本題考查平方差公式、完全平方公式，掌握完全平方公式、平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的前提．【類型二利用乘法公式的變式求值】例題：（2023春·湖南懷化·七年級?？计谥校┮阎海?1)求；(2)求．【答案】(1)9(2)1【分析】（1）先運用完全平方公式分別計算，然后聯(lián)立即可解答；（2）先運用完全平方公式分別計算，然后聯(lián)立即可解答．【詳解】（1）解：①，②則得：，解得．（2）解：①，②則得：，解得．【點睛】本題主要考查完全平方公式的應用，掌握完全平方公式是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2021春·廣東深圳·七年級?？计谥校┮阎?，，求下列代數(shù)式的值：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）將已知完全平方公式展開，再代入計算即可得到答案；（2）將所求完全平方式展開后，整體代入計算可得答案．【詳解】（1）∵，，∴；（2）∵，，∴．【點睛】此題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．2．（2023春·安徽安慶·八年級安慶市石化第一中學?？计谀┮阎?，，求下列代數(shù)式的值．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出的值，再根據(jù)完全平方公式把原式變形，代入計算即可；（2）先算出的值，再根據(jù)平方差公式把原式變形，代入計算，得到答案．【詳解】（1）解：，，，；（2），，．【點睛】本題考查了代數(shù)式求值，涉及平方差公式和完全平方公式運算的應用，算出和的值代入變形的原式是解答本題的關鍵．3．（2023春·遼寧沈陽·七年級?？茧A段練習）已知，，求：(1)(2)【答案】(1)(2)或【分析】（1）原式變形為，然后把，，代入計算即可求出結(jié)果．（2）變形為，然后把，，代入計算即可求出平方根即可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴；（2）解：∵，，∴，∴．【點睛】本題考查了完全平方公式，求一個數(shù)的平方根，熟練地運用公式進行變形是解答本題的關鍵．【類型三利用完全平方配方求多項式最小/大值問題】例題：（2023秋·湖南衡陽·八年級統(tǒng)考期末）閱讀材料：數(shù)學課上，老師在求代數(shù)式的最小值時，利用公式：，對式子作如下變形：，因為，所以，當時，，因此有最小值，即的最小值為．通過閱讀，解下列問題：(1)代數(shù)式的最小值為___________，此時的值為___________(2)試比較代數(shù)式與的大小，并說明理由．【答案】(1)，(2)，見解析【分析】（1）根據(jù)材料提示，運用配方法配成完全平方公式，即可求解；（2）運用作差法化簡兩個代數(shù)式，運用配方法配成完全平方公式，比較結(jié)果的正負，即可求解．【詳解】（1）解：，∵，∴，∴當時，的最小值為，故答案為：，．（2）解：，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查乘法公式，作差法比較兩個多項式的大小的綜合，掌握配方法配成完全平方公式判定代數(shù)式的最值，運用作差法比較結(jié)果的正負判斷代數(shù)式的大小等知識是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023春·江蘇淮安·七年級統(tǒng)考期末）將一個式子或一個式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和，這種方法稱之為配方法．這種方法常常被用到式子的恒等變形中，以挖掘題目中的隱含條件，是解題的有力手段之一．例如，求代數(shù)式的最小值．解：原式．，．當時，的最小值是．(1)請仿照上面的方法求代數(shù)式的最小值．(2)代數(shù)式的最大值為______．【答案】(1)當時，原式有最小值(2)【分析】（1）直接將代數(shù)式化成的形式，然后求解即可；（2）先把負號提出來，再將代數(shù)式化成的形式，然后求解即可．【詳解】（1）解：，，，當時原式有最小值；（2），，，代數(shù)式的最大值為，故答案為：．【點睛】本題考查了完全平方公式的運用，熟練掌握利用完全平方公式對多項式變形是解答本題的關鍵．2．（2023春·浙江·七年級統(tǒng)考期末）在學習了乘法公式“”的應用后，王老師提出問題：求代數(shù)式的最小值．同學們經(jīng)過探究、合作、交流，最后得到如下的解法：解：，∵，∴，當時，的值最小，最小值為1．∴的最小值是1，請你根據(jù)上述方法，解答下列問題：(1)求代數(shù)式的最小值；(2)求代數(shù)式的最小值；(3)若，求的最小值．【答案】(1)2(2)(3)【分析】（1）原式利用完全平方公式配方后，利用平方的非負性求出最小值即可；（2）原式利用完全平方公式配方后，利用平方的非負性求出最小值即可；（3）由，可得，代入中利用完全平方公式配方后，利用平方的非負性求出最小值即可．【詳解】（1）解：，，．的最小值是2．（2），，．的最小值是．（3），，，，．的最小值．【點睛】此題考查了運用完全平方公式進行計算，非負數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．3．（2023春·廣東茂名·七年級統(tǒng)考期末）把代數(shù)式通過配方等手段得到完全平方式，再運用完全平方式的非負性這一性質(zhì)解決問題，這種解題方法叫做配方法．配方法在代數(shù)式求值，解方程，最值問題等都有廣泛的應用.如利用配方法求最小值，求的最小值．解：，因為不論a取何值，總是非負數(shù)，即．所以，所以當時，有最小值．根據(jù)上述材料，解答下列問題：(1)在橫線上添上一個常數(shù)項使之成為完全平方式：_____________；(2)將變形為的形式，并求出的最小值；(3)若代數(shù)式，試求N的最大值．【答案】(1)(2)，2(3)17【分析】（1）根據(jù)完全平方公式求解；（2）利用配方法求最小值；（3）先對式子進行配方化成完全平方式，求出最大值即可．【詳解】（1）解：∵，故答案為：．（2）解：∵，其中，，的最小值是2；故答案為：2．（3）解：，的最大值是17．【點睛】本題主要考查完全平方式的變換，根據(jù)式子進行變換化成完全平方式是解題的關鍵.【類型四平方差公式在幾何圖形中的應用】例題：（2023春·廣東揭陽·七年級統(tǒng)考期中）長為的正方形中剪掉一個邊長為的正方形（如圖），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖）

(1)上述操作能驗證的等式是___________（請選擇正確的一個）A．B．C．(2)應用你從（）選出的等式，完成下面習題：①已知，，求的值；②計算【答案】(1)B(2)①；②【分析】（1）根據(jù)圖形可知，圖中陰影部分的面積為：，圖的面積為長方形的長乘以長方形的寬，即可；（2）由（1）得，，則，再根據(jù)，即可；根據(jù)，則變形為，根據(jù)第二項的分子和第三項的分母約分，第二項的分母與第三項的分子約分，最后得，進行計算，即可．【詳解】（1）∵大正方形的邊長為：，小正方形的邊長為：，∴陰影部分的面積為：；由圖可知，長方形的長為：，長方形的寬為：，∴組成的長方形的面積為：，∴，故選：B．（2）由（1）得，，∴，∵，，∴，∴；∵，∴．【點睛】本題考查平方差公式的幾何背景與應用，解題的關鍵是掌握平方差公式并能靈活運用．【變式訓練】1．（2023秋·河北邢臺·八年級校聯(lián)考期末）乘法公式的探究及應用．

【探究】（1）將圖1中的陰影部分裁剪下來，重新拼成一個如圖2的長方形，通過比較圖1、圖2陰影部分的面積，可以得到整式乘法公式_________；【應用】（2）運用你所得到的乘法公式，完成下列齊題：①若，，求的值；②計算：．【拓展】（3）計算：．【答案】（1）；（2）①3；②9996；（3）【分析】（1）根據(jù)圖1與圖2面積相等，則可列出等式即可得出答案；（2）①由（1）可知，進而代入相對于的值即可求解；②將變形為，再應用平方差公式進行計算即可；（3）根據(jù)平方差公式將每個括號變形，即可求出答案．【詳解】解：（1）大的正方形邊長為，面積為，小正方形邊長為，面積為，∵圖1陰影部分的面積為大的正方形面積減去小的正方形面積，∴圖1陰影部分面積，圖2陰影部分面積，∵圖1的陰影部分與圖2面積相等，∴，故答案為：；（2）①∵，，即：，∴；②；（3）．【點睛】本題考查平方差公式的幾何背景，靈活運用平方差公式是解題的關鍵．2．（2023春·廣東河源·七年級統(tǒng)考期末）如圖①，從邊長為a的大正方形中剪掉一個邊長為b的小正方形，將陰影部分沿線剪開，如圖所示，拼成圖②的長方形．

(1)請你表示出圖①中陰影部分的面積_________________________；請你表示出圖②中陰影部分的面積_________________________；(2)比較兩圖的陰影部分面積，可以得到乘法公式：_________________________；(3)請應用公式計算：．【答案】(1)；(2)(3)【分析】（1）圖①中陰影部分的面積是兩個正方形面積的差，圖②中陰影部分的面積是長為，寬為的長方形面積；（2）易得兩圖的陰影部分面積相等，即可列出式子；（3）各項都應用公式計算即可抵消，得到結(jié)果．【詳解】（1）在圖①中，∵大正方形的面積為，小正方形的面積為，∴陰影部分的面積為，在圖②中，∵陰影部分為長方形，長為，寬為，∴陰影部分的面積為；故答案為：,；（2）∵兩圖的陰影部分面積相等，∴可以得到乘法公式；（3）應用乘法公式得：．【點睛】本題考查平方差公式的幾何意義和平方差公式的應用，解題的關鍵是數(shù)形結(jié)合思想的運用及熟練掌握平方差公式．3．（2023春·山東濰坊·七年級校聯(lián)考階段練習）如圖，在邊長為的正方形中挖去一個邊長為的小正方形，把余下的部分剪拼成一個矩形．

(1)通過計算兩個圖形的面積陰影部分的面積，可以驗證的等式是______；請選擇正確的一個A.B.C.D.(2)應用你從（1）選出的等式，完成下列各題：①已知，，求的值．②計算：【答案】(1)B(2)①3；②【分析】（1）分別表示左圖和右圖中陰影部分的面積，根據(jù)面積相等得出結(jié)論；（2）由（1）中規(guī)律，利用平方差公式整體代入即可解得；通過觀察，此題數(shù)字具有一定規(guī)律，可用運算定律把原式變?yōu)椋海龠\用平方差公式，解決問題．【詳解】（1）解：左圖中，陰影部分為正方形，面積為：，右圖陰影是拼成的長方形，長是：，寬是：，所以右圖陰影部分面積為：，由于左右兩圖面積相等，所以有：，故答案為：B．（2）解：由（1）中規(guī)律，利用平方差公式可得：，，，．故答案為：．通過觀察，此題數(shù)字具有一定規(guī)律，可用運算定律將原式寫成：．故答案為：．【點睛】本題主要考查平方差的幾何背景和應用，代數(shù)式求值，有理數(shù)混合運算及數(shù)式規(guī)律問題，利用平方差公式將代數(shù)式變形是關鍵．【類型五完全平方公式在幾何圖形中的應用】例題：（2023春·浙江紹興·七年級校聯(lián)考期中）圖1是一個長為、寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個正方形．

(1)觀察圖2，請你寫出下列三個代數(shù)式，，之間的等量關系為________________．(2)運用你所得到的公式，計算：若為實數(shù)，且，，試求的值．(3)如圖3，點C是線段上的一點，以為邊向兩邊作正方形，設，兩正方形的面積和，求圖中陰影部分面積．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由陰影部分的面積可得面積為或，從而可得答案；（2）把，代入，再利用平方根的含義可得答案；（3）設，，而，，可得，，可得，從而可得答案．【詳解】（1）解：由陰影部分的面積可得：，或，∴；（2）∵，，∴，∴；（3）設，，而，，∴，，而，∴，∴，∴．【點睛】本題考查的是完全平方公式及其變形與幾何圖形的面積，利用完全平方公式的表示求解代數(shù)式的值，熟記完全平方公式的變形是解本題的關鍵．【變式訓練】1．（2022秋·河北廊坊·八年級廊坊市第四中學?？计谥校﹫D①是一個長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀分成四塊小長方形，然后按圖②的形狀拼成一個正方形．

(1)圖②中陰影部分的正方形的邊長是；(2)請用兩種不同的方法求圖②中陰影部分的面積：方法1：；方法2：；(3)觀察圖②，請寫出代數(shù)式，，之間的等量關系：．(4)根據(jù)（3）題中的等量關系，解決如下問題：已知：，，求：的值；【答案】(1)(2)，(3)(4)13【分析】（1）由圖可知，圖②中陰影部分的正方形的邊長是小長方形長與寬的差；（2）用正方形面積公式可表示陰影部分面積，根據(jù)陰影部分面積等于大正方形面積減去四個小長方形面積可表示陰影部分面積；（3）根據(jù)（2）中兩種方法表示的陰影部分面積相等，即可得出等量關系；（4）由（3）可得，將，代入即可求解．【詳解】（1）解：由圖可知：圖②中陰影部分的正方形的邊長是：，故答案為：；（2）解：方法一：陰影部分面積，方法二：陰影部分面積，故答案為：，；（3）解：由（2）可得：陰影部分面積，∴，故答案為：；（4）解：由（3）可得：，把，代入得：，∴．【點睛】本題主要考查了完全平方公式在幾何圖形中的應用，用不同的方法表示圖形面積，以及熟知完全平方公式是解題的關鍵．2．（2023春·山東濰坊·七年級統(tǒng)考期末）圖1是一個長為，寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均裁成四塊小長方形，然后按如圖2所示的形狀拼成一個大正方形．(1)圖2中的陰影部分正方形的邊長是（用含a，b的代數(shù)式表示）；(2)觀察圖1，圖2，能驗證的等式是：（請選擇正確的一個）；A．B．C．(3)如圖3，C是線段上的一點，以為邊向上分別作正方形和正方形，連結(jié)．若，求的面積．【答案】(1)(2)C(3)【分析】（1）根據(jù)圖2中的信息即可得出陰影部分正方形的邊長；（2）根據(jù)大正方形的面積等于小正方形的面積加上4個長方形的面積，進行求解即可；（3）設正方形的邊長為x，正方形的邊長為y，根據(jù)圖形中的關系得出，再求解，最后利用三角形面積公式即可得出答案；另解：設正方形的邊長為x，正方形的邊長為y，根據(jù)圖形中的關系得出，利用（2）的結(jié)論直接代入即可，最后根據(jù)三角形面積公式即可得出答案．【詳解】（1）圖2中的陰影部分正方形的邊長是；故答案為：（2）之間的等量關系是：，故選：C.（3）設正方形的邊長為x，正方形的邊長為y∴，解得，；

另解：設正方形的邊長為x，正方形的邊長為y，∴，

∴，∴，∴，

∴．【點睛】本題考查了完全平方公式的應用，熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵．3．（2023春·山東煙臺·六年級統(tǒng)考期中）如圖1是長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個“回形”正方形（如圖2）．(1)你認為圖2中陰影部分的正方形的邊長等于多少？___________．(2)觀察圖2，請你寫出、、之間的等量關系是___________；(3)若，，求的值；(4)拓展：若，求的值．【答案】(1)(2)(3)；(4)【分析】（1）由圖2可知，陰影部分的正方形的邊