解題技巧：乘法公式(平方差公式與完全平方公式)的靈活運(yùn)用壓軸題五種模型全攻略（解析版）

專題06解題技巧專題：乘法公式的靈活運(yùn)用壓軸題五種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一利用乘法公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算】 1【類型二利用乘法公式的變式求值】 4【類型三利用完全平方配方求多項(xiàng)式最小/大值問題】 6【類型四平方差公式在幾何圖形中的應(yīng)用】 11【類型五完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用】 17【典型例題】【類型一利用乘法公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算】例題：（2023春·廣西北海·七年級(jí)統(tǒng)考期中）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）把原式變形為，然后利用平方差公式求解即可；（2）把原式變形為，然后利用完全平方公式進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式和平方差公式，熟知完全平方公式和平方差公式是解題的關(guān)鍵：．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·北京海淀·七年級(jí)?？计谀┯煤?jiǎn)便方法計(jì)算：．【答案】【分析】利用完全平方公式進(jìn)行變型，計(jì)算即可．【詳解】．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)完全平方公式的靈活應(yīng)用能力，當(dāng)所求的式子有三項(xiàng)，且滿足完全平方公式的特點(diǎn)，運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行求值可簡(jiǎn)化運(yùn)算．2．（2023春·江蘇常州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：(1)(2)【答案】(1)9999(2)400【分析】（1）根據(jù)平方差公式簡(jiǎn)化運(yùn)算即可；（2）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法公式簡(jiǎn)化運(yùn)算即可．【詳解】（1）；（2）．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式，同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·四川成都·七年級(jí)校考階段練習(xí)）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算．(1)(2)(3)；(4)．【答案】(1)(2)1(3)(4)【分析】（1）先變形，再利用完全平方公式展開計(jì)算；（2）先變形為，再利用平方差公式計(jì)算即可；（3）根據(jù)完全平方公式將原式化為即可；（4）配上因式，連續(xù)使用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：；（2）；（3）；（4）．【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式、完全平方公式，掌握完全平方公式、平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的前提．【類型二利用乘法公式的變式求值】例題：（2023春·湖南懷化·七年級(jí)?？计谥校┮阎?，．(1)求；(2)求．【答案】(1)9(2)1【分析】（1）先運(yùn)用完全平方公式分別計(jì)算，然后聯(lián)立即可解答；（2）先運(yùn)用完全平方公式分別計(jì)算，然后聯(lián)立即可解答．【詳解】（1）解：①，②則得：，解得．（2）解：①，②則得：，解得．【點(diǎn)睛】本題主要考查完全平方公式的應(yīng)用，掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021春·廣東深圳·七年級(jí)?？计谥校┮阎?，，求下列代數(shù)式的值：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）將已知完全平方公式展開，再代入計(jì)算即可得到答案；（2）將所求完全平方式展開后，整體代入計(jì)算可得答案．【詳解】（1）∵，，∴；（2）∵，，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．2．（2023春·安徽安慶·八年級(jí)安慶市石化第一中學(xué)?？计谀┮阎?，求下列代數(shù)式的值．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出的值，再根據(jù)完全平方公式把原式變形，代入計(jì)算即可；（2）先算出的值，再根據(jù)平方差公式把原式變形，代入計(jì)算，得到答案．【詳解】（1）解：，，，；（2），，．【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式求值，涉及平方差公式和完全平方公式運(yùn)算的應(yīng)用，算出和的值代入變形的原式是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023春·遼寧沈陽·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知，，求：(1)(2)【答案】(1)(2)或【分析】（1）原式變形為，然后把，，代入計(jì)算即可求出結(jié)果．（2）變形為，然后把，，代入計(jì)算即可求出平方根即可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴；（2）解：∵，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，求一個(gè)數(shù)的平方根，熟練地運(yùn)用公式進(jìn)行變形是解答本題的關(guān)鍵．【類型三利用完全平方配方求多項(xiàng)式最小/大值問題】例題：（2023秋·湖南衡陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料：數(shù)學(xué)課上，老師在求代數(shù)式的最小值時(shí)，利用公式：，對(duì)式子作如下變形：，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，因此有最小值，即的最小值為．通過閱讀，解下列問題：(1)代數(shù)式的最小值為___________，此時(shí)的值為___________(2)試比較代數(shù)式與的大小，并說明理由．【答案】(1)，(2)，見解析【分析】（1）根據(jù)材料提示，運(yùn)用配方法配成完全平方公式，即可求解；（2）運(yùn)用作差法化簡(jiǎn)兩個(gè)代數(shù)式，運(yùn)用配方法配成完全平方公式，比較結(jié)果的正負(fù)，即可求解．【詳解】（1）解：，∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，的最小值為，故答案為：，．（2）解：，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查乘法公式，作差法比較兩個(gè)多項(xiàng)式的大小的綜合，掌握配方法配成完全平方公式判定代數(shù)式的最值，運(yùn)用作差法比較結(jié)果的正負(fù)判斷代數(shù)式的大小等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇淮安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）將一個(gè)式子或一個(gè)式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和，這種方法稱之為配方法．這種方法常常被用到式子的恒等變形中，以挖掘題目中的隱含條件，是解題的有力手段之一．例如，求代數(shù)式的最小值．解：原式．，．當(dāng)時(shí)，的最小值是．(1)請(qǐng)仿照上面的方法求代數(shù)式的最小值．(2)代數(shù)式的最大值為______．【答案】(1)當(dāng)時(shí)，原式有最小值(2)【分析】（1）直接將代數(shù)式化成的形式，然后求解即可；（2）先把負(fù)號(hào)提出來，再將代數(shù)式化成的形式，然后求解即可．【詳解】（1）解：，，，當(dāng)時(shí)原式有最小值；（2），，，代數(shù)式的最大值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的運(yùn)用，熟練掌握利用完全平方公式對(duì)多項(xiàng)式變形是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023春·浙江·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在學(xué)習(xí)了乘法公式“”的應(yīng)用后，王老師提出問題：求代數(shù)式的最小值．同學(xué)們經(jīng)過探究、合作、交流，最后得到如下的解法：解：，∵，∴，當(dāng)時(shí)，的值最小，最小值為1．∴的最小值是1，請(qǐng)你根據(jù)上述方法，解答下列問題：(1)求代數(shù)式的最小值；(2)求代數(shù)式的最小值；(3)若，求的最小值．【答案】(1)2(2)(3)【分析】（1）原式利用完全平方公式配方后，利用平方的非負(fù)性求出最小值即可；（2）原式利用完全平方公式配方后，利用平方的非負(fù)性求出最小值即可；（3）由，可得，代入中利用完全平方公式配方后，利用平方的非負(fù)性求出最小值即可．【詳解】（1）解：，，．的最小值是2．（2），，．的最小值是．（3），，，，．的最小值．【點(diǎn)睛】此題考查了運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．3．（2023春·廣東茂名·七年級(jí)統(tǒng)考期末）把代數(shù)式通過配方等手段得到完全平方式，再運(yùn)用完全平方式的非負(fù)性這一性質(zhì)解決問題，這種解題方法叫做配方法．配方法在代數(shù)式求值，解方程，最值問題等都有廣泛的應(yīng)用.如利用配方法求最小值，求的最小值．解：，因?yàn)椴徽揳取何值，總是非負(fù)數(shù)，即．所以，所以當(dāng)時(shí)，有最小值．根據(jù)上述材料，解答下列問題：(1)在橫線上添上一個(gè)常數(shù)項(xiàng)使之成為完全平方式：_____________；(2)將變形為的形式，并求出的最小值；(3)若代數(shù)式，試求N的最大值．【答案】(1)(2)，2(3)17【分析】（1）根據(jù)完全平方公式求解；（2）利用配方法求最小值；（3）先對(duì)式子進(jìn)行配方化成完全平方式，求出最大值即可．【詳解】（1）解：∵，故答案為：．（2）解：∵，其中，，的最小值是2；故答案為：2．（3）解：，的最大值是17．【點(diǎn)睛】本題主要考查完全平方式的變換，根據(jù)式子進(jìn)行變換化成完全平方式是解題的關(guān)鍵.【類型四平方差公式在幾何圖形中的應(yīng)用】例題：（2023春·廣東揭陽·七年級(jí)統(tǒng)考期中）長(zhǎng)為的正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形（如圖），然后將剩余部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖）

(1)上述操作能驗(yàn)證的等式是___________（請(qǐng)選擇正確的一個(gè)）A．B．C．(2)應(yīng)用你從（）選出的等式，完成下面習(xí)題：①已知，，求的值；②計(jì)算【答案】(1)B(2)①；②【分析】（1）根據(jù)圖形可知，圖中陰影部分的面積為：，圖的面積為長(zhǎng)方形的長(zhǎng)乘以長(zhǎng)方形的寬，即可；（2）由（1）得，，則，再根據(jù)，即可；根據(jù)，則變形為，根據(jù)第二項(xiàng)的分子和第三項(xiàng)的分母約分，第二項(xiàng)的分母與第三項(xiàng)的分子約分，最后得，進(jìn)行計(jì)算，即可．【詳解】（1）∵大正方形的邊長(zhǎng)為：，小正方形的邊長(zhǎng)為：，∴陰影部分的面積為：；由圖可知，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為：，長(zhǎng)方形的寬為：，∴組成的長(zhǎng)方形的面積為：，∴，故選：B．（2）由（1）得，，∴，∵，，∴，∴；∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式的幾何背景與應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握平方差公式并能靈活運(yùn)用．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·河北邢臺(tái)·八年級(jí)校聯(lián)考期末）乘法公式的探究及應(yīng)用．

【探究】（1）將圖1中的陰影部分裁剪下來，重新拼成一個(gè)如圖2的長(zhǎng)方形，通過比較圖1、圖2陰影部分的面積，可以得到整式乘法公式_________；【應(yīng)用】（2）運(yùn)用你所得到的乘法公式，完成下列齊題：①若，，求的值；②計(jì)算：．【拓展】（3）計(jì)算：．【答案】（1）；（2）①3；②9996；（3）【分析】（1）根據(jù)圖1與圖2面積相等，則可列出等式即可得出答案；（2）①由（1）可知，進(jìn)而代入相對(duì)于的值即可求解；②將變形為，再應(yīng)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可；（3）根據(jù)平方差公式將每個(gè)括號(hào)變形，即可求出答案．【詳解】解：（1）大的正方形邊長(zhǎng)為，面積為，小正方形邊長(zhǎng)為，面積為，∵圖1陰影部分的面積為大的正方形面積減去小的正方形面積，∴圖1陰影部分面積，圖2陰影部分面積，∵圖1的陰影部分與圖2面積相等，∴，故答案為：；（2）①∵，，即：，∴；②；（3）．【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式的幾何背景，靈活運(yùn)用平方差公式是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·廣東河源·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖①，從邊長(zhǎng)為a的大正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，將陰影部分沿線剪開，如圖所示，拼成圖②的長(zhǎng)方形．

(1)請(qǐng)你表示出圖①中陰影部分的面積_________________________；請(qǐng)你表示出圖②中陰影部分的面積_________________________；(2)比較兩圖的陰影部分面積，可以得到乘法公式：_________________________；(3)請(qǐng)應(yīng)用公式計(jì)算：．【答案】(1)；(2)(3)【分析】（1）圖①中陰影部分的面積是兩個(gè)正方形面積的差，圖②中陰影部分的面積是長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形面積；（2）易得兩圖的陰影部分面積相等，即可列出式子；（3）各項(xiàng)都應(yīng)用公式計(jì)算即可抵消，得到結(jié)果．【詳解】（1）在圖①中，∵大正方形的面積為，小正方形的面積為，∴陰影部分的面積為，在圖②中，∵陰影部分為長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為，寬為，∴陰影部分的面積為；故答案為：,；（2）∵兩圖的陰影部分面積相等，∴可以得到乘法公式；（3）應(yīng)用乘法公式得：．【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式的幾何意義和平方差公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用及熟練掌握平方差公式．3．（2023春·山東濰坊·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為的正方形中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形，把余下的部分剪拼成一個(gè)矩形．

(1)通過計(jì)算兩個(gè)圖形的面積陰影部分的面積，可以驗(yàn)證的等式是______；請(qǐng)選擇正確的一個(gè)A.B.C.D.(2)應(yīng)用你從（1）選出的等式，完成下列各題：①已知，，求的值．②計(jì)算：【答案】(1)B(2)①3；②【分析】（1）分別表示左圖和右圖中陰影部分的面積，根據(jù)面積相等得出結(jié)論；（2）由（1）中規(guī)律，利用平方差公式整體代入即可解得；通過觀察，此題數(shù)字具有一定規(guī)律，可用運(yùn)算定律把原式變?yōu)椋海龠\(yùn)用平方差公式，解決問題．【詳解】（1）解：左圖中，陰影部分為正方形，面積為：，右圖陰影是拼成的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)是：，寬是：，所以右圖陰影部分面積為：，由于左右兩圖面積相等，所以有：，故答案為：B．（2）解：由（1）中規(guī)律，利用平方差公式可得：，，，．故答案為：．通過觀察，此題數(shù)字具有一定規(guī)律，可用運(yùn)算定律將原式寫成：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查平方差的幾何背景和應(yīng)用，代數(shù)式求值，有理數(shù)混合運(yùn)算及數(shù)式規(guī)律問題，利用平方差公式將代數(shù)式變形是關(guān)鍵．【類型五完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用】例題：（2023春·浙江紹興·七年級(jí)校聯(lián)考期中）圖1是一個(gè)長(zhǎng)為、寬為的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后按圖2的形狀拼成一個(gè)正方形．

(1)觀察圖2，請(qǐng)你寫出下列三個(gè)代數(shù)式，，之間的等量關(guān)系為________________．(2)運(yùn)用你所得到的公式，計(jì)算：若為實(shí)數(shù)，且，，試求的值．(3)如圖3，點(diǎn)C是線段上的一點(diǎn)，以為邊向兩邊作正方形，設(shè)，兩正方形的面積和，求圖中陰影部分面積．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由陰影部分的面積可得面積為或，從而可得答案；（2）把，代入，再利用平方根的含義可得答案；（3）設(shè)，，而，，可得，，可得，從而可得答案．【詳解】（1）解：由陰影部分的面積可得：，或，∴；（2）∵，，∴，∴；（3）設(shè)，，而，，∴，，而，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是完全平方公式及其變形與幾何圖形的面積，利用完全平方公式的表示求解代數(shù)式的值，熟記完全平方公式的變形是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·河北廊坊·八年級(jí)廊坊市第四中學(xué)校考期中）圖①是一個(gè)長(zhǎng)為2m、寬為2n的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀分成四塊小長(zhǎng)方形，然后按圖②的形狀拼成一個(gè)正方形．

(1)圖②中陰影部分的正方形的邊長(zhǎng)是；(2)請(qǐng)用兩種不同的方法求圖②中陰影部分的面積：方法1：；方法2：；(3)觀察圖②，請(qǐng)寫出代數(shù)式，，之間的等量關(guān)系：．(4)根據(jù)（3）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：已知：，，求：的值；【答案】(1)(2)，(3)(4)13【分析】（1）由圖可知，圖②中陰影部分的正方形的邊長(zhǎng)是小長(zhǎng)方形長(zhǎng)與寬的差；（2）用正方形面積公式可表示陰影部分面積，根據(jù)陰影部分面積等于大正方形面積減去四個(gè)小長(zhǎng)方形面積可表示陰影部分面積；（3）根據(jù)（2）中兩種方法表示的陰影部分面積相等，即可得出等量關(guān)系；（4）由（3）可得，將，代入即可求解．【詳解】（1）解：由圖可知：圖②中陰影部分的正方形的邊長(zhǎng)是：，故答案為：；（2）解：方法一：陰影部分面積，方法二：陰影部分面積，故答案為：，；（3）解：由（2）可得：陰影部分面積，∴，故答案為：；（4）解：由（3）可得：，把，代入得：，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用，用不同的方法表示圖形面積，以及熟知完全平方公式是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·山東濰坊·七年級(jí)統(tǒng)考期末）圖1是一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀平均裁成四塊小長(zhǎng)方形，然后按如圖2所示的形狀拼成一個(gè)大正方形．(1)圖2中的陰影部分正方形的邊長(zhǎng)是（用含a，b的代數(shù)式表示）；(2)觀察圖1，圖2，能驗(yàn)證的等式是：（請(qǐng)選擇正確的一個(gè)）；A．B．C．(3)如圖3，C是線段上的一點(diǎn)，以為邊向上分別作正方形和正方形，連結(jié)．若，求的面積．【答案】(1)(2)C(3)【分析】（1）根據(jù)圖2中的信息即可得出陰影部分正方形的邊長(zhǎng)；（2）根據(jù)大正方形的面積等于小正方形的面積加上4個(gè)長(zhǎng)方形的面積，進(jìn)行求解即可；（3）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，正方形的邊長(zhǎng)為y，根據(jù)圖形中的關(guān)系得出，再求解，最后利用三角形面積公式即可得出答案；另解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，正方形的邊長(zhǎng)為y，根據(jù)圖形中的關(guān)系得出，利用（2）的結(jié)論直接代入即可，最后根據(jù)三角形面積公式即可得出答案．【詳解】（1）圖2中的陰影部分正方形的邊長(zhǎng)是；故答案為：（2）之間的等量關(guān)系是：，故選：C.（3）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，正方形的邊長(zhǎng)為y∴，解得，；

另解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，正方形的邊長(zhǎng)為y，∴，

∴，∴，∴，

∴．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·山東煙臺(tái)·六年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1是長(zhǎng)為4a、寬為b的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后用四塊小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)“回形”正方形（如圖2）．(1)你認(rèn)為圖2中陰影部分的正方形的邊長(zhǎng)等于多少？___________．(2)觀察圖2，請(qǐng)你寫出、、之間的等量關(guān)系是___________；(3)若，，求的值；(4)拓展：若，求的值．【答案】(1)(2)(3)；(4)【分析】（1）由圖2可知，陰影部分的正方形的邊