2021年新教材高中數(shù)學(xué)第8章 學(xué)案新人教A版必修第二冊

第八章立體幾何初步

8.1基本立體圖形

第1課時棱柱、棱錐、棱臺

［目標］1.記住棱柱、棱錐、棱臺的定義及結(jié)構(gòu)特征；2.理解棱柱、棱錐、棱臺之間的

關(guān)系；3.能用棱柱、棱錐、棱臺的定義及結(jié)構(gòu)特征解答一些簡單的有關(guān)問題.

［重點］棱柱、棱錐、棱臺的定義及結(jié)構(gòu)特征.

［難點］棱柱、棱錐、棱臺之間關(guān)系的理解.

要點整合夯基礎(chǔ)

知識點一空間幾何體

［填一填1

1.空間幾何體的定義

空間中的物體都占據(jù)著空間的一部分，如果只考慮這些物體的續(xù)和大小，而不考慮

其他因素，那么由這些物體抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體.

2.空間幾何體的分類

(1)多面體：由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.圍成多面體的各個鈕彪

叫做多面體的面：兩個面的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的公共息叫做多面體的頂點.

(2)旋轉(zhuǎn)體：一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面內(nèi)的一條定亙線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面

叫做旋轉(zhuǎn)面,封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做施技體，這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸.

［答一答］

I.多面體與旋轉(zhuǎn)體的主要區(qū)別是什么？

提示：多面體是由多個多邊形圍成的幾何體，旋轉(zhuǎn)體是由平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而形成的

幾何體.

2.多面體最少有幾個面，幾個頂點，幾條棱？

提示：多面體最少有4個面、4個頂點和6條棱.

知識點二棱柱的結(jié)構(gòu)特征

［填一填］

I.有兩個面互相亞，其余各面都是四邊形,并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相

平行,由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.在棱柱中，兩個互相平行的面叫做棱柱的底面,

它們是全等的多邊形:其余各面叫做棱柱的側(cè)向,它們都是平行四邊形；相鄰側(cè)面的公共邊

叫做棱柱的側(cè)棱;側(cè)面與底面的公共頂點叫做棱柱的項息.

2.一般地，我們把側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直援掛，側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫

做斜棱柱,底面是正多邊形的直多柱叫做正棱柱,底面是平行四邊形的四棱柱也叫做平行六

面體.

［答一答］

3.棱柱的各側(cè)棱是什么關(guān)系？各側(cè)面是什么樣的多邊形？兩個底面的關(guān)系是怎樣

的？

提示：根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各側(cè)棱互相平行，惻面是平行四邊形，兩個底面是全

等的多邊形.

4.有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體一定是棱柱嗎？

提示：不一定，因為“其余各面都是平行四邊形”并不等價于"相鄰兩個四邊形的公

共邊都互相平行”，如圖所示.

知識點三棱錐的結(jié)構(gòu)特征

［填一填］

有一個面是多邊形,其余各面都是有一個公共頂點的三角形,由這些面所圍成的多面

體叫做棱錐.這個多邊形面叫做棱錐的底面；有公共頂點的各個三角形面叫做棱錐的惻面:

相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的鯉陵；各側(cè)面的公共頂點叫做棱錐的頂點.底面是正多邊形,

并且頂點與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做正技筵.

［答一答］

5.棱錐的側(cè)面是什么樣的多邊形？有什么特征？

提示：根據(jù)棱錐的定義，棱錐的側(cè)面一定是三角形，且各個三角形有公共頂點.

6.有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體一定是棱錐嗎？

提示：不一定，因為“其余各面都是三角形”并不等價于“其余各面都是有一個公共

頂點的三角形”，如圖所示.

知識點四棱臺的結(jié)構(gòu)特征

［填一填］

用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐,我們把底面和截面之間的那部分多面體叫做

棱臺.在棱臺中，原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺的上底面和上底面.

I答一答I

7.桂臺的各側(cè)槌是什么關(guān)系？各側(cè)面是什么樣的多邊形？兩個底面是什么關(guān)系？

提示：棱臺的各側(cè)棱延長后交于一點，各側(cè)面是梯形，兩個底面是相似的多邊形.

8.觀察下面的幾何體，思考問題：

圖①是棱臺嗎？圖②用任意一個平面去截棱錐，一定能得到核臺嗎？

提示：題圖①不是棱臺，因為各側(cè)棱延長后不交于一點.不一定，題圖②中只有用平

行于底面的平面去截才能得到棱臺.

典例講練破題型

類型一棱柱的結(jié)構(gòu)特征

［例1］下列關(guān)于棱柱的說法：

(1)所有的面都是平行四邊形；

(2)每一個面都不會是三角形；

(3)兩底面平行，并且各側(cè)棱也平行；

(4)被平面截成的兩部分可以都是棱柱.

其中正確說法的序號是.

［分析］根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特怎進行判斷.

［解析］(1)錯誤，棱柱的底面不一定是平行四邊形；

(2)錯誤，棱柱的底面可以是三角形；

(3)正確，由棱柱的定義易知；

(4)正確，棱柱可以被平行于底面的平面截成兩個棱柱.

所以說法正確的序號是(3)(4).

［答案］(3)(4)

通法提煉

棱柱的結(jié)構(gòu)特征：(1)有兩個面互相平行；(2)其余各面是四邊形；(3)相鄰兩個四邊形

的公共邊都互相平行.求解時，首先看是否有兩個平行的面作為底面，再看是否滿足其他特

征.

［變式訓(xùn)練1］如圖，已知長方體ABCD-A1BCQ1.

(1)這個長方體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？為什么？

(2)用平面BCFE把這個長方體分成兩部分后，各部分形成的幾何體還是棱柱嗎？如果

是，是幾棱柱？如果不是，請說明理由.

解：(1)是棱柱，并且是四棱柱.因為以長方體相對的兩個面作為底面，則底面都是四

邊形，其余各面都是矩彩，矩彩當然是平行四邊形，并且?guī)缀误w的四條側(cè)棱互相平行.

(2)截面BCFE上方的部分是棱柱，且是三棱柱BEB「CFC|,其中4BEB］和△CFC1是

底面.

城面BCFE下方的部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA「DCFDi,其中四邊形ABEA1和

四邊形DCFD1是底面.

類型二棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征

［例2］(1)下列關(guān)于棱錐、棱臺的說法：

①棱臺的側(cè)面一定不會是平行四邊形；

②棱錐的側(cè)面只能是三角形；

③由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；

④棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐.

其中正確說法的序號是.

(2)如圖，在三棱臺A'8'C'-ABC中，截去三棱錐A'-ABC,則剩余部分是()

A.三棱錐B.四棱錐

C.三棱柱D.三棱臺

［分析］根據(jù)棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征進行判斷.

［解析］

(1)①正確，棱臺的側(cè)面都是梯形.

②正確，由棱錐的定義知棱錐的側(cè)面只能是三角形.

③正確，由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐.

④錯誤，如圖所示，四棱錐被平面極成的兩部分都是棱錐.

(2)由題圖知，在三棱臺A'B'C'-ABC中，城去三棱維A'?ABC,剩下的部分如

圖所示，故剩余部分是四棱般A'-BB'CC.故選區(qū)

［答案］⑴①②③(2)B

通法提煉

判斷棱錐、棱臺形狀的兩個方法

(I)舉反例法：

結(jié)合棱錐、棱臺的定義舉反例直接判斷關(guān)于棱錐、棱臺結(jié)構(gòu)特征的某些說法不正確.

(2)直接法：

棱錐棱臺

定底面只有一個面是多邊形，此面即為底面兩個互相平行的面，即為底面

看側(cè)棱相交于一點延長后相交于一點

［變式訓(xùn)練2］下列特征不是棱臺必須具有的是（C）

A.兩底面平行

B.側(cè)面都是梯形

C.側(cè)棱長都相等

D.側(cè)棱延長后相交于一點

解析：用平行于棱錐底面的平面截棱錐，截面和底面之間的部分叫做棱臺，A,B,D

正確，選C.

課堂達標練經(jīng)典

I.有兩個血平行的多曲體不可能是（B）

A.棱柱B.棱錐

C.棱臺D.長方體

解析：棱錐的任意兩個面都相交，不可能有兩個面平行，所以不可能是棱錐.

2.關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，下列說法不正確的是（B）

A.棱柱的側(cè)棱長都相等

B.四棱錐有五個頂點

C.三棱臺的上、下底面是相似三角形

D.有的棱臺的側(cè)棱長都相等

解析：根據(jù)枝錐頂點的定義可知，四棱錐只有一個頂點，故B不正確.

3.下列幾何體中，①?④是棱柱,⑥是棱錐，⑤是棱臺（僅填相應(yīng)序號）.

解析：結(jié)合棱柱、棱錐和棱臺的定義可知①③④是棱柱，⑥是棱錐，⑤是棱臺.

4.一個棱臺至少有&個面，面數(shù)最少的棱臺有2個頂點，有￡條棱.

解析：面數(shù)最少的棱臺是三棱臺，共有5個面，6個頂點，9條棱.

5.如圖所示的幾何體中，所有棱長都相等，分析此幾何體的構(gòu)成，有幾個面、幾個

頂點、幾條棱?

S]

解：這個幾何體是由兩個同底面的四棱錐組合而成的八面體，有8個面，都是全等的

正三角形；有6個頂點；有】2條棱.

(5—?

.課堂小結(jié)

——本課須掌握的四大問題

1.對于多面體概念的理解，注意以下兩個方面：

(1)多面體是由平面多邊形圍成的，圍成一個多面體至少要四個面.

(2)多面體是一個“封閉”的幾何體.

2.對于棱柱的定義注意以下三個方面：

(1)有兩個面互相平行，各側(cè)棱都平行，各側(cè)面都是平行四邊形.

(2)有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體不一定是棱柱.

(3)從運動的觀點看，棱柱可以看成是一個平面多邊形，從一個位置沿一條不與其共面

的直線運動到另一位置時，形成的幾何體.

3.對于棱錐要注意有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體不一定是棱錐,

必須強調(diào)其余各面是共頂點的三角形.

4.棱臺中各側(cè)棱延長后必相交于一點，否則不是棱臺.

學(xué)科素養(yǎng)培優(yōu)精品微課堂

柱、錐、臺結(jié)構(gòu)特征判斷中的誤區(qū)

*3開講啦(1)解答過程中易忽視側(cè)棱的延長線不能交于一點，直觀感覺是棱臺，而

不注意邏輯推理.

(2)解答空間幾何體概念的判斷題時，要注意緊扣定義，切忌只憑圖形主觀臆斷.

I典例]如圖所示，幾何體的正確說法的序號為.

（1）這是一個六面體；（2）這是一個四棱臺；（3）這是一個四棱柱；（4）此幾何體可由三棱

柱截去一個小三棱柱得到；（5）此幾何體可由四棱柱截去一個三棱柱得到.

［解析］（1）正確，因為有六個面，屬于六面體的范圍；（2）錯誤，因為側(cè)棱的延長線不

能交于一點，所以不正確：（3）正確，如果把幾何體放倒就會發(fā)現(xiàn)是一個四棱柱；（4）（5）都正

確，如圖①②所示.

圖①圖②

［答案］（1）⑶（4）（5）

［對應(yīng)訓(xùn)練］如圖，將裝有水的長方體水槽固定底面一邊后傾斜一個小角度，則傾斜

后水槽中的水形成的兒何體是（A）

A.棱柱B.棱臺

C.棱柱與棱錐的組合體D.不能確定

解析：符合棱柱的定義.

第2課時圓柱、圓錐、圓臺、球、簡單組合體

［目標］1.記住圓柱、圓錐、圓臺、球的定義及它們的結(jié)構(gòu)特征；2.能用圓柱、圓錐、

圓臺的定義及結(jié)構(gòu)特征解答一些相關(guān)問題；3.了解組合體的概念.

［重點］圓柱、圓錐、圓臺、球的定義及結(jié)構(gòu)特征.

［難點］圓柱、圓錐、圓臺之間關(guān)系的理解.

要點整合夯基礎(chǔ)

知識點一圓柱

［填一填］

1.以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫

做圓柱.

2.旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的底面；平行于軸

的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的刨面；無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面

的母線.

3.棱柱和圓柱統(tǒng)稱為柱體.

［答一答］

1.(1)在圓柱中，圓柱的任意兩條母線是什么關(guān)系？過兩條母線的截面是怎樣的圖形？

(2)在圓柱中，過軸的截面是軸截面，圓柱的軸截面是什么圖形？軸截面含有哪些重要

的量？

(3)圓柱上底面圓周上任一點與下底面圓周上任一點的連線是圓柱的母線嗎？

提示：(。圓柱的任意兩條母線平行，過兩條母線的截面是矩形，

(2)圓柱的軸截面是矩形，軸截面中含有圓柱的底面直徑與圓柱的母線.

(3)不一定.圓柱的母線與軸是平行的.

知識點二圓錐

［填一填］

1.以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所困

成的旋轉(zhuǎn)佟叫做圓錐.

2.棱錐與圓錐統(tǒng)稱為錐體.

［答一答］

2.直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都

s

sr

是圓錐嗎？

提示：不是.當以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體

不是圓錐，如圖所示，它是由兩個同底面圓錐組成的幾何體.

知識點三圓臺

［填一填］

I.用班于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺.

2.棱食與小統(tǒng)稱為臺體.

I答一答I

3.類比圓柱、圓錐的形成過程，圓臺可以由平面圖形旋轉(zhuǎn)而成嗎？

提示：(1)圓臺可以看作是直角梯形以垂直底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其他三邊旋

轉(zhuǎn)一周而成的曲面所圍成的幾何依.

(2)圓臺也可以看作是等腰梯形以其兩底邊的中點連線為軸，各邊旋轉(zhuǎn)半周形成的曲面

所圍成的幾何體.

知識點四球

［填一填］

生圓以它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做毯面，球面所圍成的旋

轉(zhuǎn)體叫做球體,簡稱球.半圓的圓心叫做球的球心:連接球心和球面上任意一點的線段叫做

球的半徑；連接球面上兩點并且經(jīng)過球心的線段叫做球的直徑.

［答一答］

4.半圓或圓繞它的直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成什么？它與球有區(qū)別嗎？

提示：半圓或圓繞它的直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成球面.球面是一曲面，它只能度量

面積而不能度量體積；球是由球面圍成的幾何體，它不僅可以度量球的表面積，還可以度量

其體積.

5.用一個平面去截球，得到的是一個圓嗎？

提示：不是，得到的是一個圓面，球是一個幾何體，包括表面及其內(nèi)部.

知識點五簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征

［填一填］

I.定義：由簡單幾何體組合而成的幾何體稱為簡單組合體.

2.簡單組合體構(gòu)成的兩種基本形式

由簡單幾何體拼接而成:

簡單組合體，

由簡單幾何體截去或挖去一部分而成.

I答一答I

6.組合體的形式有哪些？

提示：(1)多面體與多面體的組合體.

(2)旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合體.

(3)多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合體.

典例講練破題型

類型一旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

［例IJ下列命題正確的是.

①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；

②圓柱的母線是連接圓柱上底面上一點和下底面上一點的直線：

③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓；

④以等腰三角形的底邊上的高所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍

成的幾何體是圓錐；

⑤球面上四個不同的點一定不在同一平面內(nèi)；

⑥球的半徑是球面上任意一點和球心的連線段；

⑦球面上任意三點可能在一條直線上；

⑧用一個平面去截球，得到的截面是一個圓面.

［分析］準確理解旋轉(zhuǎn)體的定義，在此基礎(chǔ)上掌握各旋轉(zhuǎn)體的性質(zhì)，才能更好地把握

它們的結(jié)構(gòu)特征，以作出準確的判斷.

［解析］①以直角三角形的一條直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周才可以得到圓錐，故①錯誤；②

圓柱的母線是連接圓柱上底面上一點和下底面上一點的線段，且這條坡段與軸平行，故②錯

誤；③它們的底面為圓面，故③錯誤；④正確；作球的一個截面，在截面的圓周上任意取四

點，則這四點就在球面上，故⑤錯誤；根據(jù)球的半徑定義可知⑥正確；球面上任意三點一定

不共線，故⑦錯誤：用一個平面去板球，一定截,得一個圓面，故⑧正確.

［答案］④⑥⑧

通法提煉

簡單旋轉(zhuǎn)體判斷問題的解題策略,(1)準確掌握圓柱、圓錐、圓臺和球的生成過程及其

特征性質(zhì)是解決此類概念問題的關(guān)鍵.,(2)解題時要注意兩個明確：，①明確由哪個平面圖形旋

轉(zhuǎn)而成；，②明確旋轉(zhuǎn)軸是哪條直線.

［變式訓(xùn)練1J下列命題：①任意平面截圓柱，截面都是圓面；②圓錐的頂點與底面

圓周上任意一點的連線是圓錐的母線；③在圓臺上、下兩底面的圓周上各取一點，則這兩點

的連線是圓臺的母線，其中正確的是(O)

A.B.??C.D.②

解析：過圓柱兩母線的截面為矩形，有時斜的截面為橢圓，故①錯誤；圓臺的母線不

是上底面和下底面上任意兩點的連線，③錯誤；由圓錐母線的定義知②正確，故選D.

類型二旋轉(zhuǎn)體的有關(guān)計算

命題視角1：圓柱、圓錐、圓臺的計算問題

［例2］已知一個圓臺的母線長為12cm,兩底面的面積分別為4乃°52和25乃。療，求:

(1)圓臺的高；

(2)截得此圓臺的圓錐的母線長.

［分析］在解答有關(guān)臺體的問題時，一般要把臺體還原成錐體，這就是常應(yīng)用的“還

臺為錐”的思想，不僅在作圖時應(yīng)用，而且在計算時也常應(yīng)用此思想尋求元素間的關(guān)系，以

便解決問題.

［解］(1)設(shè)圓臺的軸截面為等腰梯形ABCD(如圖所示).

S

由題意可得上底的一半O|A=2c/n,下底的一半0B=5an,腰長AB=12cm,所以

圓臺的高AM=^/122-(5-2)2=3V15(cm).

(2)如圖，延長BA,00),CD,交于點S,設(shè)極得此圓臺的圓錐的母線長為law,

1—122

則由△SAO］S/\SBO,得—j-=予

解得1=20.

故我得此圓臺的圓錐的母線長為20cm.

通法提煉

旋轉(zhuǎn)體中有關(guān)底面半徑、母線、高的計算，可利用軸截面求解，即將立體問題平面化.

對于圓臺的軸截面，可將兩腰延長相交后在三角形中求解.這是解答圓臺問題常用的方法.

［變式訓(xùn)練2］如圖所示，用一個平行于圓錐SO底面的平面截這個圓錐，截得圓臺上、

卜底面的面積之比為116,截去的圓錐的母線長是3cm,求圓臺O'O的母線長.

解：設(shè)圓臺的母線長為1cm,由截得圓臺上、下底面面積之比為116,可設(shè)截得圓

臺的上、下底面的

半徑分別為r、4r.過軸SO作截面,

如圖所示.則△SO'A'^ASOA,SA'=3cm.

.SA，_O,A，.3_r_l

-SA=0A'?，3+i=4r=4-

解得1=9.

即圓臺的母線長為9cm.

命題視角2：球的截面問題

［例3］已知半徑為10的球的兩個平行截面的周長分別是12%和16兀，求這兩個截面

間的距離.

［分析］畫出球的截面圖，球心與極面圓心連線垂直于截面所在的平面，構(gòu)造直角三

角形解決.對于球的兩個平行截面要注意討論它們在球心同側(cè)還是異側(cè)，否則容易漏解.

［解］設(shè)球的大圓為圓O,C,D兩點為兩截面圓的圓心，AB為經(jīng)過C,0,D三點

的直徑且兩截面圓的半徑分別是6和8.

(1)(2)

當兩截面在球心同側(cè)時，如圖(1),此時CD=OC-OD=，5匹市一45Pzz5諾=8

-6=2.

當兩極面在球心兩側(cè)時，如圖(2),此時CD=OC+OD=，6匹記+而產(chǎn)東=8

+6=14.

故兩極面間的距離為2或14.

通法提煉

利用球的截面，將立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題是解決球的有關(guān)問題的關(guān)鍵.

［變式訓(xùn)練3］一個與球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為不，則球的直徑為

2y［2.

解析：設(shè)球心到平面的距離為d,極面圓的半徑為r,則一=元,Ar=l,

設(shè)球的半徑為R,則R=^/d2+r2=V2,故球的直徑為

類型三簡單組合體

命題視角1：簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征

［例4］(1)如圖①所示的物體為燕尾槽工件，請說明該物體是1±哪些幾何體構(gòu)成的.

(2)指出圖②中三個幾何體的主要結(jié)構(gòu)特征.

［分析］由多面體和旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征進行判斷.

［解］(1)題圖①中的幾何體可以看作是一個長方體割去一個四枝柱所得的幾何體，也

可以看成是一個長方體與兩個四棱柱組合而成的幾何體(如圖所示).

5可/

補上兩個

四棱柱四棱柱

(2)(A)中的幾何體由一個三棱柱挖去一個圓柱后剩余部分組合而成，其中圓柱內(nèi)切于

三棱柱.

(8)中的幾何體由一個圓錐挖去一個四棱柱后剩余部分組合而成，其中四棱柱內(nèi)接于圓

錐.

(C)中的幾何體由一個球挖去一個三棱錐后剩余部分組合而成.其中三棱錐內(nèi)接于球.

通法提煉

會識別較復(fù)雜的圖形是學(xué)好立體幾何的第一步，我們應(yīng)注意觀察周圍的物體，然后將

它們“分拆”成幾個簡單的幾何低，進而培養(yǎng)我們的空間想象能力和識圖能力.

［變式訓(xùn)練4］如圖，繞虛線旋轉(zhuǎn)一周后形成的旋轉(zhuǎn)體是由哪些簡單幾何體組成的？

解：如圖所示，由一個圓錐0Q5，一個圓柱。3。4及一個圓臺。1。3中挖去圓錐

組成的.

Os

命題視角2:與球有關(guān)的“切”與“接”問題

［例5］已知正方體的棱長為a,分別求出它的內(nèi)切球及與各棱都相切的球的半徑.

［分析I解決此題的關(guān)鍵是找準軸截面，建立半徑與棱長的關(guān)系.

［解］（1）正方體的內(nèi)切球與各面的切點為正方體各面的中心，故作出經(jīng)過正方體相對

兩面的中心且與棱平行的截面，則球的一個大圓是其正方形截面的內(nèi)切圓，如圖（1）所示，

設(shè)球的半徑為Ri,易得R|=/

（2）與正方體的各棱均相切的球與正方體相連接的點是正方體各棱的中點，故應(yīng)作出經(jīng)

過正方體一組平行棱中點的極面，則球的軸極面是其正方形截面的外接圓，如圖Q）所示，

設(shè)球的半徑為R2,易求得球的半徑R2=^a.

通法提煉

組合體問題應(yīng)分清各部分之間是如何組合起來的，以便轉(zhuǎn)化為平面圖形進行計算.正

方體的內(nèi)切球直徑等于正方體的棱長；外接球直徑等于其體對角線的長；球與正方體各棱都

相切，則球的直徑等于正方體面對角線的長.

［變式訓(xùn)練5］正三棱錐內(nèi)有一個內(nèi)切球，經(jīng)過棱錐的一條側(cè)棱和高作截面，正確的

圖形是（C）

解析：正三棱錐的內(nèi)切球與各個面的切點為正三棱錐各面的中心，所以過一條側(cè)棱和

高的橫面必過該棱所對面的高線，故C正確.

課堂達標練經(jīng)典

I.下列說法正確的是（C）

A.用一平面去截圓臺，截面一定是圓面

B.通過圓臺側(cè)面上一點，有無數(shù)條母線

C.圓臺的任意兩條母線延長后相交于同一點

D.圓錐的母線可能平行

解析：對于A,用一平面去截圓臺，當截面與底面不平行時，橫面不是圓面；對于B,

通過圓臺側(cè)面上一點，只有一條母線：對于D,圓錐的母線延長后交于頂點，因此不可能平

行.

2.下圖中的幾何體由一個圓柱挖去一個以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點

的圓錐而得.現(xiàn)用一個豎直的平面去截這個幾何體，則截面圖形可能是(D)

A.(1)(2)

C.(1)(4)D.(1)(5)

解析：由題圖得當微面過旋轉(zhuǎn)軸時，嵌面圖形是(1);當我面不過旋轉(zhuǎn)軸時，城面圖形

是(5),故選D

3.已知圓錐SO的母線長為5,底面直徑為8,則圓錐SO的高h=3.

解析：如圖，???圓錐的底面直徑AB=8,

又：SA=5,

???圓錐的高h=SO=^52-42=3.

4.下列說法正確的是②③④.(填序號)

①以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺；

②矩形任意一條邊所在的直線都可以作為軸，其他邊繞其旋轉(zhuǎn)形成圓柱；

③半圓面繞其直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成球；

④用一個平面去截球，得到的截面是一個圓面.

解析：①以直角梯形垂直于底邊的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周可得到圓臺；②③④正

確.

5.已知圓錐底面半徑r=lC7",母線I=6c〃?，現(xiàn)有一只螞蟻，從圓錐底面圓周上的

點A沿側(cè)面爬一周后又回到點A,求它至少要爬的路程.

解：如圖，將圓錐側(cè)面沿母線PA展開，所得扇形的圓心角吟

連接AA',則AA'的長度就是螞蟻爬的最短距離.

因為AAA'P是等邊三角形，

所以AA'=AP=6cm,

即螞蟻至少要爬6cm.

課堂小結(jié)

本課須掌握的四大問題

I.圓柱、圓錐、圓臺的關(guān)系如圖所示.

上底縮小

上底擴大至：頂點拓展為

與下底面全等k二：與底面平行

但不全等的

上底面

2.處理臺體問題常采用還臺為錐的補體思想.

3.重視圓柱、圓錐、圓臺的軸截面在解決幾何問題中的特殊作用，切實體會空間幾

何平面化的思想.

4.簡單組合體的構(gòu)成有兩種基本形式：一種是拼接而成；一種是由簡單幾何體截去

或挖去一部分而成.具體可以分為以下三類：

(1)多面體與多面體的組合

由兩個或兩個以上的多面體組合而成，如圖(1)是一個正方體截去一個三棱錐的組合

體.

(2)多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合

由多面體和旋轉(zhuǎn)體組合而成，如圖Q)是一個六棱柱與一個圓柱的組合體.

(3)旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合

由兩個或兩個以上的旋轉(zhuǎn)體組合而成，如圖(3)是一個圓柱挖去一個圓錐的組合體.

8.2立體圖形的直觀圖

［目標］1.掌握斜二測畫法的步躲；2.會用斜二測畫法畫出一些簡單平面圖形和立體圖

形的直觀圖.

［重點］用斜二測畫法畫簡單的平面圖形與幾何體的直觀圖.

［難點］用斜二測畫法畫簡單的平面圖形與幾何體的直觀圖.

要點整合夯基礎(chǔ)

1.畫軸：在已知圖形中取互相垂直的x軸和)，軸，兩軸相交于點0.畫直觀圖時，把

它們畫成對應(yīng)的x'軸與y'軸，兩軸相交于點0',且使0')，'=45。(或135。),它

們確定的平面表示水壬面.

2.畫線：已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于/軸或

y'軸的線段.

3.取長度：已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變,平行于y

軸的線段，在直觀圖中長度為原來的一半.

［答一答］

1.斜二測畫法中“斜”和“二測”分別指什么？

提示：“斜”是指在已知圖形的平面內(nèi)與x軸垂直的線段，在直觀圖中均與/

軸成45。或135。：“二測”是指兩種度量形式，即在直觀圖中，平行于/軸的線段長度不

變；平行于＜軸的線段長度變?yōu)樵瓉淼囊话?

2.相等的角或線段在直觀圖中仍然相等嗎？

提示：不一定相等，如正方形的邊長和內(nèi)角分別相等，但是它的直觀圖是平行四邊形，

相鄰兩邊邊長不相等，相鄰兩內(nèi)角也不相等.

知識點二空間幾何體直觀圖的畫法

［填一填］

1.畫軸：與平面圖形的直觀圖畫法相比多了一個二軸.

2.畫平面：平面xOy表示水平平面,平面yOz和xOz表示豎直平面.

3.取長度：已知圖形中平行于z軸(或在z軸上)的線段，在其直觀圖中平行性和長度

都不變.

4.成圖處理：成圖后，去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線.

I答一答］

3.畫直觀圖時，如何區(qū)別實線和虛線？

提示：直觀圖是一個平面圖形，我們用它表示空間圖形，為了增強空間感，畫圖要分

實線和虛線，其中被面擋住的部分要畫成虛線.看得見的部分要畫成實線.

4.空間幾何體的直觀圖唯一嗎？

提示：不唯一.作直觀圖時，由于選軸不同，所畫直觀圖就不一定相同.

典例講練破題型

類型一水平放置的平面圖形直觀圖的畫法

［例I］如圖所示，梯形ABCD中，AB〃CD,AB=4cm,CD=2cm,ZDAB=30°,

AD=3cm,試畫出它的直觀圖.

［分析］以AB所在直線為x軸，以A為原點建立平面直角坐標系.只需確定四個頂

點A,B,C,D在直觀圖中的相應(yīng)點即可.

［解］畫法步驟：

(1)如圖甲所示，在梯形A8CO中，以邊AB所在的直線為x軸，點A為原點，建立平

面直角坐標系xOy.如圖乙所示，面出對應(yīng)的『軸，y'軸，使Nx'O'y'=45°.

丙

(2)在圖甲中，過。點作。及Lx軸，垂足為E.在/軸上取A'B'=AB=4cm,A'E'

=AE=￥勺2.598(cm);過點E'作E'O'//y1軸，使E'O'=^ED=1X|=0.75(cm),

再過點O'作O'CHx'軸，且使O'C=DC=2cm.

(3)連接4'D：B，C‘，并擦去f軸與y'軸及其他一些輔助線，如圖丙所示，

則四邊形4'B'CD'就是所求作的直觀圖.

通法提煉

在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，選取適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼凳顷P(guān)鍵，一般要使

得平面多邊形盡可能多的頂點在坐標軸上，便于畫點；原圖中的共線點在直觀圖中仍是共線

點；原圖中的共點線，在直觀圖口仍是共點線；原圖中的平行線，在直觀圖中仍是平行線.

本題中，關(guān)鍵在于點。'的位置的確定，這里我們采用作垂線的方法，先找到垂足E的對

應(yīng)點E',再去確定的位置.

［變式訓(xùn)練1］畫邊長為1cm的正三角形的水平放置的直觀圖.

解：(1)如圖①所示，以邊所在直線為x軸，以邊上的高線AO所在直線為y

軸，再畫對應(yīng)的/軸與y軸，兩軸相交于點O',使O'y'=45°,如圖②所示.

1yK

(2)在一軸上極取O'B'=。'C=0.5cm,在4軸上截取。'A'=那。=當

cm,連接A'8'、A'C',則△/!'B'C即為正三角形ABC的直觀圖.

(3)擦去％'、yr軸得直觀圖B'C,如圖③所示.

類型二畫空間幾何體的直觀圖

［例2］用斜二測畫法畫長、寬、高分別是4cm、3cm、2cm的長方體

ABCD-A'B'CD'的直觀圖.

［分析］利用畫軸、畫底面、畫側(cè)棱、成圖進行作圖.

［解］(1)畫軸.如圖①所示，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點O,使/x0y=45°,

ZxOz=90°.

(2)畫底面.以點0為中心，在x軸上取線段MN,使MN=4cm;在)，軸上取線段PQ,

使PQ=；cm,分別過點M和點N作)，軸的平行線，過點P和Q作工軸的平行線，設(shè)它們

的交點分別為A、B、C、D,四邊形ABC。就是長方體的底面A8CD

(3)畫側(cè)棱.過A、8、C、。各點分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取2

cm長的線段A4'、BB'、CC、DD'.

(4)成圖.順次連接A'、"、C'、O',并加以整理(擦掉輔助線，將被遮擋的線改

為虛線)，就得到長方體的直觀圖(如圖②).

通法提煉

(1)畫空間幾何體的直觀圖，可先畫出底面的平面圖形，然后畫出豎軸.此外，坐標系

的建立要充分利用圖形的對稱性，以便方便、準確的確定頂點；

(2)對于一些常見幾何體(如柱、錐、臺、球)的直觀圖，應(yīng)該記住它們的大致形狀，以

便可以又快又準的畫出.

[變式訓(xùn)練2]一個幾何體，它的下面是一個圓柱，上面是一個圓錐，并且圓錐的底

面與圓柱的上底面重合，圓柱的底面直徑為3cm,高為4cm,圓錐的高為3cm,畫出此幾

何體的直觀圖.

圖1圖2

解：(1)畫軸，如圖1所示，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點O,使Nx0y=45°,

ZxOz=90°.

(2)畫圓柱的兩底面，在x軸上取A、B兩點，使48的長度等于3cm,且。4=。8.選

擇橢圓模板中適當?shù)臋E圓過4、8兩點，使它為圓柱的下底面.在Oz上截取點O',使。0'

=4cm,過。'作Qr,Oy的平行線O'/，O'y',類似圓柱下底面的作法作出圓柱的

上底面.

(3)畫圓錐的頂點.在Oz上截取點P,使P0'等于圓錐的高3cm.

(4)成圖.連接A'4、B'B、PA'、PB',擦掉輔助線，將其被遮擋的線改為虛線,

整理得到此幾何體的直觀圖.如圖2所示.

類型三由直觀圖還原成原圖

［例3］如圖所示，梯形Ai&GS是一平面圖形A8CO的直觀圖.若A5〃。'y',

2

AB|=1CNi=2,4。］=0'1.求原四邊形ABCO的面積.

［分析］利用斜二測畫法的法則得到原圖和直觀圖的關(guān)系.

［解］如圖，建立平面直角坐標系X。)，，在x軸上截取0。=0'2=1,OC=O'G

在過點D的1y軸的平行線上截取DA=2D|A)=2.

在過點A的x軸的平行線上橫取4?=4歸1=2.連接BC,即得到了原圖形(如圖).

由作法可知，原四邊形ABCO是直角梯形，上、下底長度分別為A8=2,8=3,直

角腰長度為40=2.

2+3

所以面積為5=方=X2=5.

通法提煉

由直觀圖還原為平面圖的關(guān)鍵是找與X,軸，曠軸平行的直線或線段，且平行于廣

軸的線段還原時長度不變，平行于y軸的線段還原時放大為直觀圖中相應(yīng)線段長的2倍，

由此確定圖形的各個頂點，順次連接即可.

［變式訓(xùn)練3］如圖，矩形OA'B'C是水平放置的一個平面圖形用斜二測畫法得

到的直觀圖，其中O'A'=6cm,O'C'=2cm,則原圖形是(C)

B'

orAfx

A.正方形B.矩形C.菱形D.梯形

解析：將直觀圖還原得到平行四邊形。ABC,如圖所示，由題意知。'=啦0'C

=2y[2cm,OD=2O,D'=4小cm,C'D'=O'C=2cm,：.CD=2cm,0C=

^/CD24-OD2=6cm,又0A=。'A'=6cm,：.OA=OC,???原圖形為菱形.

課堂達標練經(jīng)典

1.利用斜二測畫法畫邊長為3cm的正方形的直觀圖，正確的是圖中的（C）

33

AB

解析：選項A是平面圖，選項8中角度有誤，選項。中的邊長有誤.

2.一個建筑物上部為四棱錐，下部為長方體，且四棱錐的底面與長方體的上底面尺

寸一樣，己知長方體的長、寬、高分別為20〃?、5〃?、10m,四棱錐H勺高為8/〃，若按1

500的比例畫出它的直觀圖，那么直觀圖中，長方體的長、寬、高和棱錐的高分別為（C）

A.4cm,lcm,2cm,1.6cm

B.4cm,0.5cm,2cm,0.8cm

C.4cm,0.5cm,2cm,1.6cm

D.2cm,0.5cm,1cm,0.8cm

解析：由比例尺可知長方體的長、寬、高和四棱錐的高分別為4cm,1cm,2cm和

1.6cm,再結(jié)合斜二測畫法，可知直觀圖的相應(yīng)尺寸應(yīng)分別為4cm,0.5cm,2cm,1.6cm.

3.水平放置的AABC的直觀圖如圖所示，已知A'C=3,B'C=2,則48邊上

的中線的實際長度為空.

解析：由于在直觀圖中NA'CB'=45°,則在原圖形中N4C8=90。，AC=3,BC

=4,AB=5tJAB邊上的中線為2.5.

4.如圖所示，XNBfC是水平放置的△ABC用斜二測畫法得到的直觀圖，則在

△ABC的三邊及中線AD中，最長的線段是這.

解析：畫出原圖形如圖所示，△ABC為直角三角形，顯然，4c邊最長.

5.如圖所示，四邊形ABCD是一個梯形，CD//AB,CD=AO=\t三角形AOO為等

腰直角三角形，。為A8的中點，試求梯形ABCD水平放置的直觀圖的面積.

解：在梯形A8CO中，48=2,高00=1,由于梯形A8CQ水二放鼠的直觀圖仍為梯

形，且上底CO和下底A3的長度都不變，在直觀圖中，O'D1=；0。，梆形的高。E1

=乎，于是梯形A'B'CD'的面積為義乂（1+2）乂乎=平.

.課堂小結(jié)

—本課須掌握的兩大問題

1.畫水平放置的平面多邊形的直觀圖的關(guān)鍵是確定多邊形的頂點位置.頂點位置可

以分為兩類：一類是在軸上或在與軸平行的線段上，這類頂點比較容易確定；另一類是不在

軸上且不在與軸平行的線段上，確定這類頂點一般過此點作與軸平行的直線，將此點轉(zhuǎn)到與

軸平行的線段上來.

2.要畫好對應(yīng)平面圖形的直觀圖，首先應(yīng)在原圖形中建立平面直角坐標系，盡量利

用原有線段或圖形的對稱軸畫坐標軸，圖形的對稱中心作為坐標原點，讓盡可能多的頂點在

坐標軸上.

學(xué)科素養(yǎng)培優(yōu)精品微課堂

關(guān)于直觀圖面積的一個結(jié)論

*'開講啦若設(shè)原平面圖形的面積為S,則其直觀圖的面積為5'=昔5由于其他多

邊形均可以劃分為若干個三角形，故上述結(jié)論對其他多邊形也成立.

［典例］證明：已知某三角形的面積為S,則其直觀圖的面積為S'=%.

［分析］利用三角形的底邊和高的關(guān)系，找出兩個面積的關(guān)系.

［證明］如圖⑴，在△4BC中，AD±BCt其面積S=：AZ>BC,在其直觀圖（如圖⑵）

中，作4'M_L夕C,則直觀圖的面積為S'=4B'C'M=；B'CrDfs加45。

=^義/BCAD=*S.

［對應(yīng)訓(xùn)練］有一個長為5cm,寬為4cm的矩形，則其直觀圖的面積為5，5cm

解析：由于該矩形的面積為5=5X4=20(5?),所以由典例中的公式可得，其直觀圖

=^S=5y/2(cm2).

的面積為S

8.3簡單幾何體的表面積與體積

8.3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積

［目標］1.會求棱柱、棱錐、棱臺的表面積；2.會求棱柱、棱錐、棱臺的體積.

［重點］求棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積.

［難點］棱臺的體積.

要點整合夯基礎(chǔ)

知識點一棱柱、棱錐、棱臺的表面積

［填一填］

1.棱柱的表面積

棱柱的表面積：S-=S俏+2S收.

①其中底面周長為C,高為人的直棱柱的側(cè)面積：5蝴=0；

②長、寬、高分別為a,b,c的長方體的表面積：5%=2(ab+ac+bc)；

③棱長為a的正方體的表面積：5&=艇.

2.棱錐的表面積

棱錐的表面積：S夫=s/建：底面周長為C,斜高(側(cè)面三角形底邊上的高)為"的

1

26

正棱錐的側(cè)面積:S用_

3.棱臺的表面積

棱臺的表面積：S&=S值+S1底+S卜&

多面體的表面積就是圍成多面體各個面的面積之和.

［答一答I

1.幾何體的側(cè)面積與表面枳有何區(qū)別？

提示：側(cè)面積指的是幾何體側(cè)面的面積，而表面積是指整個幾何體表面的面積.表面

積等于側(cè)面積與底面積之和，因此，側(cè)面積僅是幾何體表面積的一部分.

知識點二棱柱、棱錐、棱臺的體積

［填一填］

1.棱柱的體積

(1)棱柱的高是指兩底面之間的距離,即從一底面上任意一點向另一個底面作垂線，這

個點與垂足(垂線與底面的交點)之間的距離.

(2)棱柱的底面積S,高為兒其體積V=曲.

2.棱錐的體積

(1)棱錐的高是指從頂點向底面作垂線，頂點與垂足(垂線與底面的交點)之間的距離.

(2)棱錐的底面積為S,高為小其體積曠=如.

3.棱臺的體積

(1)棱臺的高是指兩個底面之間的距離.

(2)棱臺的上、下底面面積分別是S'、S,而為h,其體積V=<(S'飛+5).

［答一答］

2.對于三棱錐在求體積時，底面固定嗎？怎樣確定哪個面為底面？

提示：不固定，三棱錐的任何一個面都可以作為它的底面，關(guān)鍵是哪個底面的面積和

相應(yīng)的高容易求出，就選哪個面為底面.

典例講練破題型

類型一多面體的表面積

［例1］己知正三棱臺(上、下底是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面

的中心)的上、下底面邊長分別為2cm和4cm,側(cè)棱長是加cm,則該三棱臺的表面積為

［分析］利用側(cè)面是等腰梯杉求出棱臺的側(cè)面積，再求出其表面積.

［解析］正三棱臺的表面積即上下兩個正三角形的面積與三個例面的面積和，其中三

個側(cè)面均為等腰梯形，易求出斜高為小cm,故三棱臺的表面積為3X^X(2+4)X#+；X2

+小+^X4X2巾=5小+味.

［答案］(5小+味)5?

通法提煉

在掌握直棱柱、正棱錐、正棱臺側(cè)面積公式的基礎(chǔ)上，對于一些較簡單的組合體，能

夠?qū)⑵浞纸獬芍㈠F、臺體，再進一步分解為平面圖形（正多邊形、三角形、梯形等），以求

得其表面積，要注意對各幾何體相重疊部分的面積的處理.

［變