2024北京大峪中學高二（上）期中數(shù)學（教師版）

第1頁/共1頁2024北京大峪中學高二（上）期中數(shù)學（滿分：150分；時間：120分鐘；命題人：高二集備組；審核人：宋揚）一、選擇題（本大題共10.小題，每題4分，共40分）1.在空間直角坐標系中，若，，則（）A. B. C. D.2.已知直線l的一個方向向量為，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.3.直線被圓截得的弦長為（）A.1 B. C.2 D.4.已知圓，圓，則這兩圓的位置關(guān)系為（）A.內(nèi)含 B.相切 C.相交 D.外離5.若點關(guān)于直線的對稱點在軸上，則滿足的條件為（）A. B.C. D.6.設aR，則“a＝1”是“直線：ax＋2y－1＝0與直線：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.如圖，在空間四邊形OABC中，，，則與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.8.棱長為1的正方體中，若G為正方形的中心，即（）A.2 B. C.－1 D.19.在平面直角坐標系中，若點在直線上，則當，變化時，直線的斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.10.瑞士著名數(shù)學家歐拉在1765年證明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.在平面直角坐標系中作，，點，點，且其“歐拉線”與圓相切.則圓上的點到直線的距離的最小值為（）A. B. C. D.6二、填空題（本大題共5小題，每題5分，共25分）11.已知向量，若，則__________．12.已知直線與直線交于點，過點且與直線平行的直線方程為________，這兩條平行直線間的距離為______.13.已知，，且與的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍為____.14.在平面直角坐標系中，記為點到直線的距離，當，變化時，的最大值為______.15.如圖，若正方體的棱長為2，點是正方體的底面上的一個動點（含邊界），是棱的中點，則下列結(jié)論中正確結(jié)論的序號是_____．

①若保持，則點在底面內(nèi)運動路徑的長度為②三棱錐體積的最大值為③若，則二面角的余弦值的最大值為④若則與所成角的余弦值的最大值為三、解答題（本大題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）16.已知兩點，直線為線段AB的垂直平分線，求：（1）直線的方程；（2）直線與坐標軸所圍成的三角形的面積.17.在①圓的一條對稱軸為，②圓經(jīng)過點，這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，進行求解.已知圓經(jīng)過點且______.（1）求圓的方程；（2）在圓中，求以為中點的弦所在的直線方程.18.如圖，在長方體中，，，為的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）求三棱錐的體積.19.已知直線，半徑為的圓與相切，圓心在軸上且在直線的上方.（1）求圓的方程；（2）設過點的直線被圓截得的弦長等于，求直線的方程.20.如圖，四棱錐中，平面，，是的中點．（1）證明：平面；（2）若二面角的余弦值是，求的值；（3）若，在線段AD上是否存在一點，使得．若存在，確定點的位置；若不存在，說明理由．21.人臉識別是基于人的臉部特征進行身份識別的一種生物識別技術(shù)．主要應用距離測試樣本之間的相似度，常用測量距離的方式有3種．設，，則歐幾里得距離；曼哈頓距離，余弦距離，其中（為坐標原點）．（1）若，，求，之間的曼哈頓距離和余弦距離；（2）若點，，求的最大值；（3）已知點，是直線上的兩動點，問是否存在直線使得，若存在，求出所有滿足條件的直線的方程，若不存在，請說明理由．

參考答案一、選擇題（本大題共10.小題，每題4分，共40分）1.【答案】B【分析】直接利用空間向量的坐標運算求解.【詳解】解：因為，，所以.故選：B2.【答案】D【分析】由直線的方向向量的概念，即可求出直線的斜率，進而求出直線的傾斜角.【詳解】由直線l的一個方向向量為，則直線的斜率為，所以直線的傾斜角為，故選：D.3.【答案】B【分析】先求出圓心到直線的距離，然后利用半徑、圓心距和弦的關(guān)系可求出弦長【詳解】解：圓的圓心為，半徑，則圓心到直線的距離，所以直線被圓所截得的弦長為，故選：B4.【答案】A【分析】求出兩圓圓心坐標與半徑，再求出圓心距與半徑之和、半徑之差的絕對值比較，即可判斷.【詳解】圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑，則，故，所以兩圓內(nèi)含；故選：A5.【答案】B【分析】由已知，設點關(guān)于直線的對稱點為，再由垂直直線的斜率關(guān)系和點與點的中點在上，建立方程組，即可得到.【詳解】因為點關(guān)于直線的對稱點在軸上，設點關(guān)于直線的對稱點為，則有，解得.故選：B.6.【答案】A【詳解】∵當a=1時，直線：x+2y﹣1=0與直線：x+2y+4=0，兩條直線的斜率都是，截距不相等，得到兩條直線平行，故前者是后者的充分條件，∵當兩條直線平行時，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要條件．故選A．考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷；直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系．7.【答案】C【分析】根據(jù)已給條件該題可利用向量法求解與夾角的余弦值,可先求與的數(shù)量積，再利用代入向量的夾角公式求解即可.【詳解】，，設異面直線與的夾角為，則.故選：C.8.【答案】D【分析】設，，，利用基向量表示、，再求其數(shù)量積.【詳解】設，，，則，且，，，即，且，，，則，，則.故選：D.9.【答案】B【分析】將點代入直線方程中得出點為圓上的動點，結(jié)合圖像分析即可求出直線的斜率的取值范圍.【詳解】因為點在直線上，所以，即，則表示圓心為，半徑為1的圓上的點，如圖：由圖可知當直線與圓相切時，直線的斜率得到最值，設，由圓與直線相切，故有圓心到直線的距離為半徑1，即，解得：，由圖分析得：直線的斜率的取值范圍是.故選：B.10.【答案】A【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可得邊上的高線，垂直平分線和中線合一，其“歐拉線”為邊的垂直平分線，運用中點坐標公式和兩直線垂直的關(guān)系，求得邊上的垂直平分線方程，再由點到直線的距離公式結(jié)合圓的對稱性得出答案.【詳解】解：因為在中，所以邊上的高線、垂直平分線和中線合一，則其“歐拉線”為邊的垂直平分線因為點，點，所以因為直線的斜率為，所以的垂直平分線的斜率為所以的垂直平分線方程為，即因為“歐拉線”與圓相切所以可得圓心到“歐拉線”的距離為圓心到直線的距離為由圓的對稱性可知，圓上的點到直線的距離的最小值為故選：A【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵在于利用距離公式得出圓心到直線的距離，再由對稱性得出最小值.二、填空題（本大題共5小題，每題5分，共25分）11.【答案】-7【分析】根據(jù)空間共線向量的坐標表示計算即可得出結(jié)果.【詳解】∵，，則存在唯一實數(shù)，使得，即，解得,∴．故答案為：.12.【答案】①.②.##【分析】先聯(lián)立直線方程求得點的坐標，然后利用平行關(guān)系得斜率，從而利用點斜式方程求解直線方程，再化為一般式即可，最后代入兩平行線間的距離公式求解即可.【詳解】由，可得，即，又，故過點且與平行的直線方程為，即，可將表示為，此時兩平行直線間的距離為.故答案為：，13.【答案】【分析】結(jié)合向量的坐標運算，兩向量夾角為鈍角需滿足數(shù)量積為負，且夾角不為平角.【詳解】，與的夾角為鈍角，則，即.又當與的夾角為平角時，有，得.故實數(shù)的取值范圍為且.故答案為：14.【答案】3【分析】問題轉(zhuǎn)化為圓的圓心到直線的距離的最大值加上圓的半徑即可得到.【詳解】因為點的軌跡是圓心在原點,半徑為1的圓,直線過定點,如圖所示:過作,垂足為,則,所以,取等的條件是與重合,此時.故答案為3.【點睛】本題考查了數(shù)形結(jié)合思想,點到直線的距離,圓的方程,直線過定點,屬于中檔題.15.【答案】①②④【分析】對于①，易知點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓在底面內(nèi)的四分之一圓，即可知①正確；對于②，的面積為定值，建立空間直角坐標系求得到平面的距離最大值為，可得②正確；對于③，若，由空間向量可得二面角的余弦值的最大值為，即③錯誤；異面直線與所成角的余弦值的最大值為，即④正確.【詳解】對于①，根據(jù)題意可知平面，所以為直角三角形，即，且若保持，可知，所以點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓在底面內(nèi)的部分，即為四分之一圓，因此點在底面內(nèi)的運動路徑長度為，即①正確；對于②，以為坐標原點，分別以為軸建立空間直角坐標系，如圖所示：易知，則，設平面的一個法向量為，可得，令，可得，即；可設，則，所以到平面的距離為，易知當時，距離最大值為；又在中，易知，所以邊上的高為；其面積為定值，即；所以到平面的距離最大時，三棱錐體積的最大為，即②正確；對于③，根據(jù)正方體性質(zhì)可知平面，又是棱的中點，，所以可得點在平面，又點在底面內(nèi)，平面平面，所以；根據(jù)B中的坐標系可知，所以可得，；則，設平面的一個法向量為，可得，令，則，即；易知平面的一個法向量為，所以，易知當時，，當時，，令，可得在上恒成立，即在上單調(diào)遞增；此時時，最大，當，，易知在上單調(diào)遞減，所以時，，又由圖可知，當時，點與重合，綜上二面角的余弦值的取值范圍為，故③錯誤；對于④，根據(jù)選項C易知，可得，當時，，當時，，易知當時，取到最大值為，綜上可知，與所成角的余弦值的最大值為，即④正確；故答案為：①②④【點睛】關(guān)鍵點點睛：在求解二面角以及線面角最值問題時，一般需要借助空間向量得出空間角余弦值的表達式，再利用基本不等式或函數(shù)單調(diào)性求出最值即可.三、解答題（本大題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）16.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用中點坐標和直線垂直的斜率關(guān)系，結(jié)合點斜式即可得解.（2）求求出直線與坐標軸上的交點坐標，進而求出三角形面積.【小問1詳解】點，則線段的中點為，直線的斜率，于是直線的斜率為，其方程為，即.【小問2詳解】由（1）知，直線交軸于點，交軸于點，所以直線與坐標軸所圍成的三角形的面積.17.【答案】（1）條件選擇見解析，；（2）.【分析】（1）選擇條件①、條件②，求出線段中垂線方程，進而求出圓心和半徑即可求出圓的方.（2）先求出弦的中點與圓心所在直線的斜率，進而求出弦所在的直線的斜率，再求直線方程即可.【小問1詳解】選條件①，由點，得線段的中點，直線的斜率，于是線段的中垂線方程為，即，由，解得，因此圓的圓心，半徑，所以圓的方程為

.選條件②，由點，得線段的中點，直線的斜率，于是線段的中垂線方程為，即，顯然圓心在線段的中垂線上，設，由，得，解得，因此圓的圓心，半徑，所以圓的方程為

.【小問2詳解】記，由（1）知，，即點在圓內(nèi)，直線的斜率，因此以為中點的圓的弦所在的直線斜率為，方程為，即，所以所求直線方程為

.18.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【分析】（1）設，連接，利用中位線的性質(zhì)可得出，再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）證明出平面，再利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（3）計算出的面積，再利用三棱錐的體積公式可求得三棱錐的體積.【小問1詳解】證明：設，連接，在長方體中，底面為矩形，且，所以，為的中點，又因為為的中點，所以，，因為平面，平面，所以，平面.【小問2詳解】證明：在矩形中，，則矩形為正方形，故，在長方體，平面，因為平面，則，因為，、平面，所以平面，因為平面，所以平面平面.【小問3詳解】解：因為四邊形是邊長為的正方形，則，因為，為的中點，則，因為平面，則.19.【答案】（1）（2）或【分析】（1）設圓心的坐標為，根據(jù)題意可得出，利用點到直線的距離求出的值，可得出圓心坐標，即可得出圓的方程；（2）利用勾股定理可求得圓心到直線的距離為，然后對直線的斜率是否存在進行分類討論，在直線的斜率不存在時，直接驗證即可；在直線的斜率存在時，設出直線的方程，利用點到直線的距離公式求出直線的斜率，綜合可得出直線的方程.【小問1詳解】解：設圓心的坐標為，因為圓心在直線上方，則，可得，因為半徑為的圓與相切，則，因為，解得，所以，圓心為原點，故圓的方程為.【小問2詳解】解：由勾股定理可得，圓心到直線的距離為，當直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時，圓心到直線的距離為，合乎題意；當直線的斜率存在時，設直線的方程為，即，由題意可得，解得，此時，直線的方程為.綜上所述，直線的方程為或.20.【答案】（1）證明見解析（2）（3）不存在，理由見解析【分析】（1）推導出平面．．由此能證明平面;（2）建立空間直角坐標系，利用向量法能求出的值;（3）設，當，，，由知，,，這與矛盾,從而在線段上不存在點，使得．【小問1詳解】證明：因為平面，,所以平面,又因為平面，所以．在中，，是的中點，所以．又因為,平面,所以平面．【小問2詳解】因為平面，平面，所以,又因為,所以如圖建立空間直角坐標系．則,則，，設平面的法向量為n=x,y,z則即，令，則，，故．因為平面，平面，所以,又,平面,所以平面．又因為，所以取平面的法向量為所以，則，解得．又因為，所以；【小問3詳解】結(jié)論：不存在．理由如下：證明：設．當時，，，由知,，這與矛盾,所以在線段上不存在點，使得．21.【答案】（1），（2）（3）存在，和【分析】（1）代入和的公式，即可求解；（2）首先設，代入，求得點的軌跡，再利用數(shù)形結(jié)合，結(jié)合公式，結(jié)合余弦值，即可求解；（3）首先求的最小值，分和兩