2025年中考數(shù)學(xué)思想方法復(fù)習(xí)系列 【數(shù)形結(jié)合】幾何圖形中的數(shù)形結(jié)合思想（原卷版）

幾何圖形中的數(shù)形結(jié)合思想知識(shí)方法精講1．完全平方公式的幾何背景（1）運(yùn)用幾何直觀理解、解決完全平方公式的推導(dǎo)過(guò)程，通過(guò)幾何圖形之間的數(shù)量關(guān)系對(duì)完全平方公式做出幾何解釋．（2）常見(jiàn)驗(yàn)證完全平方公式的幾何圖形（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面積等于邊長(zhǎng)為a和邊長(zhǎng)為b的兩個(gè)正方形與兩個(gè)長(zhǎng)寬分別是a，b的長(zhǎng)方形的面積和作為相等關(guān)系）2．平方差公式的幾何背景（1）常見(jiàn)驗(yàn)證平方差公式的幾何圖形（利用圖形的面積和作為相等關(guān)系列出等式即可驗(yàn)證平方差公式）．（2）運(yùn)用幾何直觀理解、解決平方差公式的推導(dǎo)過(guò)程，通過(guò)幾何圖形之間的數(shù)量關(guān)系對(duì)平方差公式做出幾何解釋．3．七巧板（1）七巧板是由下面七塊板組成的，完整圖案為一正方形：五塊等腰直角三角形（兩塊小形三角形、一塊中形三角形和兩塊大形三角形）、一塊正方形和一塊平行四邊形．（2）用這七塊板可以拼搭成幾何圖形，如三角形、平行四邊形、不規(guī)則的多角形等；也可以拼成各種具體的人物形象，或者動(dòng)物或者是一些中、英文字符號(hào)．（3）制作七巧板的方法：①首先，在紙上畫一個(gè)正方形，把它分為十六個(gè)小方格．②再?gòu)淖笊辖堑接蚁陆钱嬕粭l線．③在上面的中間連一條線到右面的中間．④再在左下角到右上角畫一條線，碰到第二條線就可以停了．⑤從剛才的那條線的尾端開(kāi)始一條線，畫到最下面四份之三的位置，從左邊開(kāi)始數(shù)，碰到線就可停．⑥最后，把它們涂上不同的顏色并跟著黑線條剪開(kāi)，你就有一副全新的七巧板了．4．軸對(duì)稱的性質(zhì)（1）如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．由軸對(duì)稱的性質(zhì)得到一下結(jié)論：①如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱；②如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，我們只要找到一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這兩個(gè)圖形的對(duì)稱軸．（2）軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸也是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．5．坐標(biāo)與圖形變化-對(duì)稱（1）關(guān)于x軸對(duì)稱橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．（2）關(guān)于y軸對(duì)稱縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)．（3）關(guān)于直線對(duì)稱①關(guān)于直線x＝m對(duì)稱，P（a，b）?P（2m﹣a，b）②關(guān)于直線y＝n對(duì)稱，P（a，b）?P（a，2n﹣b）6．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)（1）旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：①對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．②對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．③旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．（2）旋轉(zhuǎn)三要素：①旋轉(zhuǎn)中心；②旋轉(zhuǎn)方向；③旋轉(zhuǎn)角度．注意：三要素中只要任意改變一個(gè)，圖形就會(huì)不一樣．7．解直角三角形（1）解直角三角形的定義在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過(guò)程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的關(guān)系①銳角、直角之間的關(guān)系：∠A+∠B＝90°；②三邊之間的關(guān)系：a2+b2＝c2；③邊角之間的關(guān)系：sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．（a，b，c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊）8．簡(jiǎn)單組合體的三視圖（1）畫簡(jiǎn)單組合體的三視圖要循序漸進(jìn)，通過(guò)仔細(xì)觀察和想象，再畫它的三視圖．（2）視圖中每一個(gè)閉合的線框都表示物體上的一個(gè)平面，而相連的兩個(gè)閉合線框常不在一個(gè)平面上．（3）畫物體的三視圖的口訣為：主、俯：長(zhǎng)對(duì)正；主、左：高平齊；俯、左：寬相等．9．由三視圖判斷幾何體（1）由三視圖想象幾何體的形狀，首先，應(yīng)分別根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀，然后綜合起來(lái)考慮整體形狀．（2）由物體的三視圖想象幾何體的形狀是有一定難度的，可以從以下途徑進(jìn)行分析：①根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀，以及幾何體的長(zhǎng)、寬、高；②從實(shí)線和虛線想象幾何體看得見(jiàn)部分和看不見(jiàn)部分的輪廓線；③熟記一些簡(jiǎn)單的幾何體的三視圖對(duì)復(fù)雜幾何體的想象會(huì)有幫助；④利用由三視圖畫幾何體與有幾何體畫三視圖的互逆過(guò)程，反復(fù)練習(xí)，不斷總結(jié)方法．10.數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問(wèn)題便迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷。2.所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：（1）實(shí)數(shù)與HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；（2）函數(shù)與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系；（3）HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系；（4）所給的HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"等式或HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義。如等式。3.巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”。4.數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，常見(jiàn)的如在解方程和解HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"不等式問(wèn)題中，在求函數(shù)的HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"值域、最值問(wèn)題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，大大簡(jiǎn)化了解題過(guò)程。這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識(shí)，要爭(zhēng)取胸中有圖見(jiàn)數(shù)想圖，以開(kāi)拓自己的思維視野。一．選擇題（共17小題）1．（2021秋?襄汾縣期末）我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，它被記載于我國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中．漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．現(xiàn)在勾股定理的證明已經(jīng)有400多種方法，下面的兩個(gè)圖形就是驗(yàn)證勾股定理的兩種方法，在驗(yàn)證著名的勾股定理過(guò)程，這種根據(jù)圖形直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡(jiǎn)稱為“無(wú)字證明”．在驗(yàn)證過(guò)程中它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是A．函數(shù)思想 B．?dāng)?shù)形結(jié)合思想 C．分類思想 D．統(tǒng)計(jì)思想2．（2021秋?金水區(qū)校級(jí)期末）如圖是一種正方形地磚的花型設(shè)計(jì)圖，為了求這個(gè)正方形地磚的邊長(zhǎng)，可根據(jù)圖示列方程A． B． C． D．3．（2021秋?宣化區(qū)期末）在邊長(zhǎng)為的正方形中挖掉一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形．把余下的部分剪拼成一個(gè)矩形（如圖）．通過(guò)計(jì)算圖形（陰影部分）的面積，驗(yàn)證了一個(gè)等式，則這個(gè)等式是A． B． C． D．4．（2021?汝陽(yáng)縣二模）七巧板是中國(guó)古代勞動(dòng)人民的發(fā)明，其歷史至少可以追溯到公元前一世紀(jì)．為祝賀辛丑年的到來(lái)，用一副七巧板（如圖①，拼成了“牛氣沖天”的圖案（如圖②，則圖②中A． B． C． D．5．（2021秋?雁塔區(qū)校級(jí)月考）如圖，在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，于點(diǎn)，則的值等于A． B． C． D．6．（2021秋?禹州市期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)進(jìn)行循環(huán)往復(fù)的軸對(duì)稱變換，若原來(lái)點(diǎn)坐標(biāo)是，則經(jīng)過(guò)第2022次變換后點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為A． B． C． D．7．（2021秋?高青縣期中）已知長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為，它兩鄰邊長(zhǎng)分別為，，且滿足，則該長(zhǎng)方形的面積為A． B． C． D．8．（2021秋?舞鋼市期中）一個(gè)幾何體由若干個(gè)大小相同的小正方體搭成，從上面看到的幾何體形狀如圖所示，其中小正方形中的數(shù)字表示該位置小正方體的個(gè)數(shù)，能表示該幾何體從左面看到的形狀圖是A． B． C． D．9．（2021秋?永春縣期中）一塊三角形玻璃不慎碰破，成了四片完整碎片（如圖所示），假如只帶其中的兩塊碎片去玻璃店就可以讓師傅切一塊與以前一樣的玻璃，你認(rèn)為下列說(shuō)法正確的是A．帶其中的任意兩塊去都可以 B．帶1、4或2、3去就可以 C．帶1、3或3、4去就可以 D．帶1、4或2、4去就可以10．（2021秋?福州期中）在中，將圓心繞著圓周上一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度，使旋轉(zhuǎn)后的圓心落在上，則的值可以是A． B． C． D．11．（2021秋?謝家集區(qū)期中）如圖，與△關(guān)于直線對(duì)稱，為上任一點(diǎn)不與共線），下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是A． B．與△面積相等 C．垂直平分 D．直線，的交點(diǎn)不一定在上12．（2021秋?三元區(qū)期中）如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中，，，，則A．25 B．20 C．9 D．513．（2021秋?鄧州市期中）如圖，在等邊三角形中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)、兩點(diǎn)均不與端點(diǎn)重合），作，交邊于點(diǎn)．若，當(dāng)滿足條件的點(diǎn)有且只有一個(gè)時(shí)，則的值為A．2 B．2.5 C．3 D．414．（2021春?雁塔區(qū)期末）對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．例如，利用圖1可以得到，那么利用圖2所得到的數(shù)學(xué)等式為A． B． C． D．15．（2021秋?海曙區(qū)校級(jí)期中）如圖，所有矩形都是正方形，設(shè)最大正方形的邊長(zhǎng)是最小正方形邊長(zhǎng)的倍，則的值為A． B．8 C． D．916．（2021春?羅湖區(qū)校級(jí)期中）在邊長(zhǎng)為的正方形中挖掉一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形，把余下的部分剪拼成一個(gè)矩形（如圖），通過(guò)計(jì)算圖形（陰影部分）的面積，驗(yàn)證了一個(gè)等式，則這個(gè)等式是A． B． C． D．17．（2018春?太原期末）如圖，小明用長(zhǎng)為的10個(gè)全等的小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)無(wú)重疊，無(wú)縫隙的大長(zhǎng)方形，這個(gè)大長(zhǎng)方形的面積為A． B． C． D．二．填空題（共7小題）18．（2021秋?平昌縣期末）三國(guó)時(shí)期，數(shù)學(xué)家趙爽繪制了“勾股圓方圖”，又叫“趙爽弦圖”，如圖所示，、、和是四個(gè)全等的直角三角形，四邊形和四邊形都是正方形，如果，，那么四邊形的面積等于．19．（2021秋?沂水縣期末）有兩個(gè)正方形、，現(xiàn)將放在的內(nèi)部得圖甲，將、并列放置后構(gòu)造新的正方形得圖乙．若圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為1和10，則正方形，的面積之和為．20．（2021秋?雁塔區(qū)校級(jí)月考）如圖，的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則的值為．21．（2021秋?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)月考）如圖，在中，，，，且，則．22．（2021秋?秦都區(qū)月考）已知幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為．（結(jié)果保留23．（2021秋?思明區(qū)校級(jí)期中）4張長(zhǎng)為、寬為的長(zhǎng)方形紙片，按如圖的方式拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，圖中空白部分的面積為，陰影部分的面積為．（1）若，，則．（2）若，求與滿足關(guān)系：．24．（2021秋?襄汾縣月考）有若干個(gè)大小形狀完全相同的小長(zhǎng)方形，現(xiàn)將其中4個(gè)如圖1擺放，構(gòu)造出一個(gè)正方形，其中陰影部分面積為35；其中5個(gè)如圖2擺放，構(gòu)造出一個(gè)長(zhǎng)方形，其中陰影部分面積為102（各個(gè)小長(zhǎng)方形之間不重疊不留空），則每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積為．三．解答題（共11小題）25．（2021秋?東海縣期中）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，點(diǎn)．已知點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，我們稱點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于的反射點(diǎn)，請(qǐng)解決下列問(wèn)題：（1）在點(diǎn)，，，中，不是點(diǎn)關(guān)于的反射點(diǎn)的是；（只填寫對(duì)應(yīng)字母）（2）若點(diǎn)從逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)到，試求點(diǎn)關(guān)于的反射點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)；（3）若在直線上存在點(diǎn)關(guān)于的反射點(diǎn)，求的取值范圍．26．（2021春?蕭山區(qū)期中）兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為和的正方形如圖放置，其未疊合部分（陰影）面積為，若再在圖1中大正方形的右下角擺放一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形（如圖，兩個(gè)小正方形疊合部分（陰影）面積．（1）用含，的代數(shù)式分別表示，；（2）若，，求的值；（3）當(dāng)時(shí)，求出圖3中陰影部分的面積．27．（2021春?臨渭區(qū)期末）數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要的思想方法，借助圖的直觀性，可以幫助理解數(shù)學(xué)問(wèn)題．（1）請(qǐng)寫出圖1、圖2、圖3分別能解釋的乘法公式．（2）用4個(gè)全等的長(zhǎng)和寬分別為、的長(zhǎng)方形拼擺成一個(gè)如圖4的正方形，請(qǐng)你寫出這三個(gè)代數(shù)式、、之間的等量關(guān)系．（3）根據(jù)（2）中你探索發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，完成下列問(wèn)題：①當(dāng)，時(shí)，則的值為．②設(shè)，，計(jì)算：的結(jié)果．28．（2020秋?延邊州期末）【知識(shí)生成】我們已經(jīng)知道，通過(guò)計(jì)算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)恒等式．例如圖1可以得到，基于此，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）根據(jù)圖2，寫出一個(gè)代數(shù)恒等式：．（2）利用（1）中得到的結(jié)論，解決下面的問(wèn)題：若，，則．（3）小明同學(xué)用圖3中張邊長(zhǎng)為的正方形，張邊長(zhǎng)為的正方形，張寬、長(zhǎng)分別為、的長(zhǎng)方形紙片拼出一個(gè)面積為長(zhǎng)方形，則．【知識(shí)遷移】（4）事實(shí)上，通過(guò)計(jì)算幾何圖形的體積也可以表示一些代數(shù)恒等式，圖4表示的是一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方體挖去一個(gè)小長(zhǎng)方體后重新拼成一個(gè)新長(zhǎng)方體，請(qǐng)你根據(jù)圖4中圖形的變化關(guān)系，寫出一個(gè)代數(shù)恒等式：．29．（2020春?邗江區(qū)期末）如圖1是一個(gè)長(zhǎng)為、寬為的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后用四塊小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)“回形”正方形（如圖（1）觀察圖2請(qǐng)你寫出、、之間的等量關(guān)系是；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論，若，，則；（3）拓展應(yīng)用：若，求的值．30．（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）我們將進(jìn)行變形，如：，等．根據(jù)以上變形解決下列問(wèn)題：（1）已知，，則．（2）已知，若滿足，求的值．（3）如圖，長(zhǎng)方形，，，，，連接，，若，則圖中陰影部分的面積為．31．（2021秋?光澤縣期中）如圖所示，已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為米，寬為米，半圓半徑為米．（1）這個(gè)長(zhǎng)方形的面積等于平方米；（2）用代數(shù)式表示陰影部分的面積；（3）當(dāng)，，時(shí)，求陰影部分的面積（結(jié)果保留．32．（2021秋?南安市期中）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師準(zhǔn)備了若干個(gè)如圖1的三種紙片，種紙片是邊長(zhǎng)為的正方形，種紙片是邊長(zhǎng)為的正方形，種紙片是長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形．并用種紙片一張，種紙片一張，種紙片兩張拼成如圖2的大正方形．利用圖2正方形面積的不同表示方法，可以驗(yàn)證公式：．（1）類似的，請(qǐng)你用圖1中的三種紙片拼一個(gè)圖形驗(yàn)證：，請(qǐng)畫出圖形．（2）已知：，，求的值；（3）已知，求的值；（4）已知，求的值．33．（2021秋?西城區(qū)校級(jí)期中）數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常使用的數(shù)學(xué)方法之一，在研究代數(shù)問(wèn)題時(shí)，如：學(xué)習(xí)平方差公式和完全平方公式，我們通過(guò)構(gòu)造幾何圖形，用面積法可以很直觀地推導(dǎo)出公式．以下三個(gè)構(gòu)圖都可以用幾何方法生成代數(shù)結(jié)論，請(qǐng)嘗試解決問(wèn)題．構(gòu)圖一，小函