2025年中考數(shù)學思想方法復習系列 【數(shù)形結合】幾何圖形中的數(shù)形結合思想（原卷版）

幾何圖形中的數(shù)形結合思想知識方法精講1．完全平方公式的幾何背景（1）運用幾何直觀理解、解決完全平方公式的推導過程，通過幾何圖形之間的數(shù)量關系對完全平方公式做出幾何解釋．（2）常見驗證完全平方公式的幾何圖形（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面積等于邊長為a和邊長為b的兩個正方形與兩個長寬分別是a，b的長方形的面積和作為相等關系）2．平方差公式的幾何背景（1）常見驗證平方差公式的幾何圖形（利用圖形的面積和作為相等關系列出等式即可驗證平方差公式）．（2）運用幾何直觀理解、解決平方差公式的推導過程，通過幾何圖形之間的數(shù)量關系對平方差公式做出幾何解釋．3．七巧板（1）七巧板是由下面七塊板組成的，完整圖案為一正方形：五塊等腰直角三角形（兩塊小形三角形、一塊中形三角形和兩塊大形三角形）、一塊正方形和一塊平行四邊形．（2）用這七塊板可以拼搭成幾何圖形，如三角形、平行四邊形、不規(guī)則的多角形等；也可以拼成各種具體的人物形象，或者動物或者是一些中、英文字符號．（3）制作七巧板的方法：①首先，在紙上畫一個正方形，把它分為十六個小方格．②再從左上角到右下角畫一條線．③在上面的中間連一條線到右面的中間．④再在左下角到右上角畫一條線，碰到第二條線就可以停了．⑤從剛才的那條線的尾端開始一條線，畫到最下面四份之三的位置，從左邊開始數(shù)，碰到線就可停．⑥最后，把它們涂上不同的顏色并跟著黑線條剪開，你就有一副全新的七巧板了．4．軸對稱的性質（1）如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線．由軸對稱的性質得到一下結論：①如果兩個圖形的對應點的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱；②如果兩個圖形成軸對稱，我們只要找到一對對應點，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這兩個圖形的對稱軸．（2）軸對稱圖形的對稱軸也是任何一對對應點所連線段的垂直平分線．5．坐標與圖形變化-對稱（1）關于x軸對稱橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù)．（2）關于y軸對稱縱坐標相等，橫坐標互為相反數(shù)．（3）關于直線對稱①關于直線x＝m對稱，P（a，b）?P（2m﹣a，b）②關于直線y＝n對稱，P（a，b）?P（a，2n﹣b）6．旋轉的性質（1）旋轉的性質：①對應點到旋轉中心的距離相等．②對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角．③旋轉前、后的圖形全等．（2）旋轉三要素：①旋轉中心；②旋轉方向；③旋轉角度．注意：三要素中只要任意改變一個，圖形就會不一樣．7．解直角三角形（1）解直角三角形的定義在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的關系①銳角、直角之間的關系：∠A+∠B＝90°；②三邊之間的關系：a2+b2＝c2；③邊角之間的關系：sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．（a，b，c分別是∠A、∠B、∠C的對邊）8．簡單組合體的三視圖（1）畫簡單組合體的三視圖要循序漸進，通過仔細觀察和想象，再畫它的三視圖．（2）視圖中每一個閉合的線框都表示物體上的一個平面，而相連的兩個閉合線框常不在一個平面上．（3）畫物體的三視圖的口訣為：主、俯：長對正；主、左：高平齊；俯、左：寬相等．9．由三視圖判斷幾何體（1）由三視圖想象幾何體的形狀，首先，應分別根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側面的形狀，然后綜合起來考慮整體形狀．（2）由物體的三視圖想象幾何體的形狀是有一定難度的，可以從以下途徑進行分析：①根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側面的形狀，以及幾何體的長、寬、高；②從實線和虛線想象幾何體看得見部分和看不見部分的輪廓線；③熟記一些簡單的幾何體的三視圖對復雜幾何體的想象會有幫助；④利用由三視圖畫幾何體與有幾何體畫三視圖的互逆過程，反復練習，不斷總結方法．10.數(shù)形結合思想數(shù)形結合是數(shù)學解題中常用的思想方法，數(shù)形結合的思想可以使某些抽象的數(shù)學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學問題的本質；另外，由于使用了數(shù)形結合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。2.所謂數(shù)形結合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應關系，通過數(shù)與形的相互轉化來解決數(shù)學問題的思想，實現(xiàn)數(shù)形結合，常與以下內(nèi)容有關：（1）實數(shù)與HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"數(shù)軸上的點的對應關系；（2）函數(shù)與圖象的對應關系；（3）HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"線與方程的對應關系；（4）所給的HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"等式或HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"代數(shù)式的結構含有明顯的幾何意義。如等式。3.巧妙運用數(shù)形結合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學問題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形結合的重點是研究“以形助數(shù)”。4.數(shù)形結合的思想方法應用廣泛，常見的如在解方程和解HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"不等式問題中，在求函數(shù)的HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"值域、最值問題中，運用數(shù)形結思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復雜的計算與推理，大大簡化了解題過程。這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識，要爭取胸中有圖見數(shù)想圖，以開拓自己的思維視野。一．選擇題（共17小題）1．（2021秋?襄汾縣期末）我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代的數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中．漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．現(xiàn)在勾股定理的證明已經(jīng)有400多種方法，下面的兩個圖形就是驗證勾股定理的兩種方法，在驗證著名的勾股定理過程，這種根據(jù)圖形直觀推論或驗證數(shù)學規(guī)律和公式的方法，簡稱為“無字證明”．在驗證過程中它體現(xiàn)的數(shù)學思想是A．函數(shù)思想 B．數(shù)形結合思想 C．分類思想 D．統(tǒng)計思想2．（2021秋?金水區(qū)校級期末）如圖是一種正方形地磚的花型設計圖，為了求這個正方形地磚的邊長，可根據(jù)圖示列方程A． B． C． D．3．（2021秋?宣化區(qū)期末）在邊長為的正方形中挖掉一個邊長為的小正方形．把余下的部分剪拼成一個矩形（如圖）．通過計算圖形（陰影部分）的面積，驗證了一個等式，則這個等式是A． B． C． D．4．（2021?汝陽縣二模）七巧板是中國古代勞動人民的發(fā)明，其歷史至少可以追溯到公元前一世紀．為祝賀辛丑年的到來，用一副七巧板（如圖①，拼成了“牛氣沖天”的圖案（如圖②，則圖②中A． B． C． D．5．（2021秋?雁塔區(qū)校級月考）如圖，在中，，，點為的中點，于點，則的值等于A． B． C． D．6．（2021秋?禹州市期中）如圖，在平面直角坐標系中，對進行循環(huán)往復的軸對稱變換，若原來點坐標是，則經(jīng)過第2022次變換后點的對應點的坐標為A． B． C． D．7．（2021秋?高青縣期中）已知長方形的周長為，它兩鄰邊長分別為，，且滿足，則該長方形的面積為A． B． C． D．8．（2021秋?舞鋼市期中）一個幾何體由若干個大小相同的小正方體搭成，從上面看到的幾何體形狀如圖所示，其中小正方形中的數(shù)字表示該位置小正方體的個數(shù)，能表示該幾何體從左面看到的形狀圖是A． B． C． D．9．（2021秋?永春縣期中）一塊三角形玻璃不慎碰破，成了四片完整碎片（如圖所示），假如只帶其中的兩塊碎片去玻璃店就可以讓師傅切一塊與以前一樣的玻璃，你認為下列說法正確的是A．帶其中的任意兩塊去都可以 B．帶1、4或2、3去就可以 C．帶1、3或3、4去就可以 D．帶1、4或2、4去就可以10．（2021秋?福州期中）在中，將圓心繞著圓周上一點旋轉一定角度，使旋轉后的圓心落在上，則的值可以是A． B． C． D．11．（2021秋?謝家集區(qū)期中）如圖，與△關于直線對稱，為上任一點不與共線），下列結論中錯誤的是A． B．與△面積相等 C．垂直平分 D．直線，的交點不一定在上12．（2021秋?三元區(qū)期中）如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中，，，，則A．25 B．20 C．9 D．513．（2021秋?鄧州市期中）如圖，在等邊三角形中，，點是邊上一點，且，點是邊上一動點、兩點均不與端點重合），作，交邊于點．若，當滿足條件的點有且只有一個時，則的值為A．2 B．2.5 C．3 D．414．（2021春?雁塔區(qū)期末）對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數(shù)學等式．例如，利用圖1可以得到，那么利用圖2所得到的數(shù)學等式為A． B． C． D．15．（2021秋?海曙區(qū)校級期中）如圖，所有矩形都是正方形，設最大正方形的邊長是最小正方形邊長的倍，則的值為A． B．8 C． D．916．（2021春?羅湖區(qū)校級期中）在邊長為的正方形中挖掉一個邊長為的小正方形，把余下的部分剪拼成一個矩形（如圖），通過計算圖形（陰影部分）的面積，驗證了一個等式，則這個等式是A． B． C． D．17．（2018春?太原期末）如圖，小明用長為的10個全等的小長方形拼成一個無重疊，無縫隙的大長方形，這個大長方形的面積為A． B． C． D．二．填空題（共7小題）18．（2021秋?平昌縣期末）三國時期，數(shù)學家趙爽繪制了“勾股圓方圖”，又叫“趙爽弦圖”，如圖所示，、、和是四個全等的直角三角形，四邊形和四邊形都是正方形，如果，，那么四邊形的面積等于．19．（2021秋?沂水縣期末）有兩個正方形、，現(xiàn)將放在的內(nèi)部得圖甲，將、并列放置后構造新的正方形得圖乙．若圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為1和10，則正方形，的面積之和為．20．（2021秋?雁塔區(qū)校級月考）如圖，的頂點都在正方形網(wǎng)格的格點上，則的值為．21．（2021秋?朝陽區(qū)校級月考）如圖，在中，，，，且，則．22．（2021秋?秦都區(qū)月考）已知幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為．（結果保留23．（2021秋?思明區(qū)校級期中）4張長為、寬為的長方形紙片，按如圖的方式拼成一個邊長為的正方形，圖中空白部分的面積為，陰影部分的面積為．（1）若，，則．（2）若，求與滿足關系：．24．（2021秋?襄汾縣月考）有若干個大小形狀完全相同的小長方形，現(xiàn)將其中4個如圖1擺放，構造出一個正方形，其中陰影部分面積為35；其中5個如圖2擺放，構造出一個長方形，其中陰影部分面積為102（各個小長方形之間不重疊不留空），則每個小長方形的面積為．三．解答題（共11小題）25．（2021秋?東?？h期中）如圖1，在平面直角坐標系中，的半徑為1，點．已知點是上一動點，點關于點的對稱點為點，我們稱點為點關于的反射點，請解決下列問題：（1）在點，，，中，不是點關于的反射點的是；（只填寫對應字母）（2）若點從逆時針運動到，試求點關于的反射點的運動路徑長；（3）若在直線上存在點關于的反射點，求的取值范圍．26．（2021春?蕭山區(qū)期中）兩個邊長分別為和的正方形如圖放置，其未疊合部分（陰影）面積為，若再在圖1中大正方形的右下角擺放一個邊長為的小正方形（如圖，兩個小正方形疊合部分（陰影）面積．（1）用含，的代數(shù)式分別表示，；（2）若，，求的值；（3）當時，求出圖3中陰影部分的面積．27．（2021春?臨渭區(qū)期末）數(shù)形結合是解決數(shù)學問題的一種重要的思想方法，借助圖的直觀性，可以幫助理解數(shù)學問題．（1）請寫出圖1、圖2、圖3分別能解釋的乘法公式．（2）用4個全等的長和寬分別為、的長方形拼擺成一個如圖4的正方形，請你寫出這三個代數(shù)式、、之間的等量關系．（3）根據(jù)（2）中你探索發(fā)現(xiàn)的結論，完成下列問題：①當，時，則的值為．②設，，計算：的結果．28．（2020秋?延邊州期末）【知識生成】我們已經(jīng)知道，通過計算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)恒等式．例如圖1可以得到，基于此，請解答下列問題：（1）根據(jù)圖2，寫出一個代數(shù)恒等式：．（2）利用（1）中得到的結論，解決下面的問題：若，，則．（3）小明同學用圖3中張邊長為的正方形，張邊長為的正方形，張寬、長分別為、的長方形紙片拼出一個面積為長方形，則．【知識遷移】（4）事實上，通過計算幾何圖形的體積也可以表示一些代數(shù)恒等式，圖4表示的是一個邊長為的正方體挖去一個小長方體后重新拼成一個新長方體，請你根據(jù)圖4中圖形的變化關系，寫出一個代數(shù)恒等式：．29．（2020春?邗江區(qū)期末）如圖1是一個長為、寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個“回形”正方形（如圖（1）觀察圖2請你寫出、、之間的等量關系是；（2）根據(jù)（1）中的結論，若，，則；（3）拓展應用：若，求的值．30．（2021秋?鼓樓區(qū)校級期中）我們將進行變形，如：，等．根據(jù)以上變形解決下列問題：（1）已知，，則．（2）已知，若滿足，求的值．（3）如圖，長方形，，，，，連接，，若，則圖中陰影部分的面積為．31．（2021秋?光澤縣期中）如圖所示，已知長方形的長為米，寬為米，半圓半徑為米．（1）這個長方形的面積等于平方米；（2）用代數(shù)式表示陰影部分的面積；（3）當，，時，求陰影部分的面積（結果保留．32．（2021秋?南安市期中）數(shù)學活動課上，老師準備了若干個如圖1的三種紙片，種紙片是邊長為的正方形，種紙片是邊長為的正方形，種紙片是長為，寬為的長方形．并用種紙片一張，種紙片一張，種紙片兩張拼成如圖2的大正方形．利用圖2正方形面積的不同表示方法，可以驗證公式：．（1）類似的，請你用圖1中的三種紙片拼一個圖形驗證：，請畫出圖形．（2）已知：，，求的值；（3）已知，求的值；（4）已知，求的值．33．（2021秋?西城區(qū)校級期中）數(shù)形結合是數(shù)學學習中經(jīng)常使用的數(shù)學方法之一，在研究代數(shù)問題時，如：學習平方差公式和完全平方公式，我們通過構造幾何圖形，用面積法可以很直觀地推導出公式．以下三個構圖都可以用幾何方法生成代數(shù)結論，請嘗試解決問題．構圖一，小函