2025年中考數(shù)學(xué)思想方法復(fù)習(xí)系列 【新定義問題】數(shù)與式中的新定義問題（原卷版）

數(shù)與式中的新定義問題知識方法精講1．解新定義題型的方法：方法一:從定義知識的新情景問題入手這種題型它要求學(xué)生在新定義的條件下，對提出的說法作出判斷，主要考查學(xué)生閱讀理解能力，分析問題和解決問題的能力．因此在解這類型題時就必須先認真閱讀，正理解新定義的含義；再運用新定義解決問題；然后得出結(jié)論。方法二：從數(shù)學(xué)理論應(yīng)用探究問題入手對于涉及到數(shù)學(xué)理論的題目，要解決后面提出的新問題，必須仔細研究前面的問題解法．即前面解決問題過程中用到的知識在后面問題中很可能還會用到，因此在解決新問題時，認真閱讀，理解閱讀材料中所告知的相關(guān)問題和內(nèi)容，并注意這些新知識運用的方法步驟．方法三：從日常生活中的實際問題入手對于一些新定義問題，出題的方向通常借助生活問題，那么處理此類問題需要結(jié)合生活實際，再將問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)知識、或者將生活圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)圖形，從而利用數(shù)學(xué)知識進行解答。2．解新定義題型的步驟：(1)理解“新定義”——明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論.(2)重視“舉例”,利用“舉例”檢驗是否理解和正確運用“新定義”;歸納“舉例”提供的解題方法.歸納“舉例”提供的分類情況.(3)類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題.3．列代數(shù)式（1）定義：把問題中與數(shù)量有關(guān)的詞語，用含有數(shù)字、字母和運算符號的式子表示出來，就是列代數(shù)式．（2）列代數(shù)式五點注意：①仔細辨別詞義．列代數(shù)式時，要先認真審題，抓住關(guān)鍵詞語，仔細辯析詞義．如“除”與“除以”，“平方的差（或平方差）”與“差的平方”的詞義區(qū)分．②分清數(shù)量關(guān)系．要正確列代數(shù)式，只有分清數(shù)量之間的關(guān)系．③注意運算順序．列代數(shù)式時，一般應(yīng)在語言敘述的數(shù)量關(guān)系中，先讀的先寫，不同級運算的語言，且又要體現(xiàn)出先低級運算，要把代數(shù)式中代表低級運算的這部分括起來．④規(guī)范書寫格式．列代數(shù)時要按要求規(guī)范地書寫．像數(shù)字與字母、字母與字母相乘可省略乘號不寫，數(shù)與數(shù)相乘必須寫乘號；除法可寫成分數(shù)形式，帶分數(shù)與字母相乘需把代分數(shù)化為假分數(shù)，書寫單位名稱什么時不加括號，什么時要加括號．注意代數(shù)式括號的適當運用．⑤正確進行代換．列代數(shù)式時，有時需將題中的字母代入公式，這就要求正確進行代換．【規(guī)律方法】列代數(shù)式應(yīng)該注意的四個問題1．在同一個式子或具體問題中，每一個字母只能代表一個量．2．要注意書寫的規(guī)范性．用字母表示數(shù)以后，在含有字母與數(shù)字的乘法中，通常將“×”簡寫作“?”或者省略不寫．3．在數(shù)和表示數(shù)的字母乘積中，一般把數(shù)寫在字母的前面，這個數(shù)若是帶分數(shù)要把它化成假分數(shù)．4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除號），而是寫成分數(shù)的形式．4．規(guī)律型：數(shù)字的變化類探究題是近幾年中考命題的亮點，尤其是與數(shù)列有關(guān)的命題更是層出不窮，形式多樣，它要求在已有知識的基礎(chǔ)上去探究，觀察思考發(fā)現(xiàn)規(guī)律．（1）探尋數(shù)列規(guī)律：認真觀察、仔細思考，善用聯(lián)想是解決這類問題的方法，通常將數(shù)字與序號建立數(shù)量關(guān)系或者與前后數(shù)字進行簡單運算，從而得出通項公式．（2）利用方程解決問題．當問題中有多個未知數(shù)時，可先設(shè)出其中一個為x，再利用它們之間的關(guān)系，設(shè)出其他未知數(shù)，然后列方程．5．取整函數(shù)取整函數(shù)．不超過實數(shù)x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分，記作[x]．x﹣[x]稱為x的小數(shù)部分，記作{x}．（需要注意的是，對于負數(shù)，[x]指的并不是x小數(shù)點做右邊的部分，{x}指的是x小數(shù)點右邊的部分，例如對于負數(shù)﹣3.7，[﹣3.7]＝﹣4，而不是﹣3，此時{x}＝﹣3.7﹣（﹣4）＝0.3，而不是﹣0.7）取整函數(shù)的圖象一般都有跳躍性．一．選擇題（共6小題）1．（2021秋?南沙區(qū)期末）定義新運算“”：對于任意實數(shù)，，都有，其中等式右邊是通常的加法、減法和乘法運算，如．若為實數(shù)）是關(guān)于的方程，且是這個方程的一個根，則的值是A．4 B．或4 C．0或4 D．1或42．（2021秋?洪山區(qū)期末）定義：如果，那么叫做以為底的對數(shù)，記作．例如：因為，所以；因為，所以．則下列說法中正確的有個．①；②；③若，則；④；A．4 B．3 C．2 D．13．（2020秋?安新縣期末）定義為二階行列式，規(guī)定它的運算法則為，那么當時，二階行列式的值為A．7 B． C．1 D．4．（2021秋?六盤水月考）對于有理數(shù)，，定義，則化簡后得A． B． C． D．5．（2021秋?瑞安市月考）格子乘法是由明代數(shù)學(xué)家吳敬在其撰寫的《九章算法類比大全》一書中提出，例如圖1所示計算，將被乘數(shù)89計入上行，乘數(shù)65計入右行．然后以乘數(shù)65的每位數(shù)字乘被乘數(shù)89的每個數(shù)字，將結(jié)果計入相應(yīng)格子中，最后斜行加起來，即得5785．現(xiàn)用格子乘法進行如圖2計算，問：根據(jù)該計算得到的最終結(jié)果是A．3056 B．3058 C．4056 D．40586．（2021秋?德城區(qū)校級月考）對于正整數(shù)，我們定義一種“運算”：①當為奇數(shù)時，結(jié)果為；②當為偶數(shù)時，結(jié)果，并且運算重復(fù)進行．例如，取，則若，則第2019次運算的結(jié)果是A．2018 B．2017 C．2 D．1二．填空題（共7小題）7．（2021秋?海曙區(qū)期末）對實數(shù)、規(guī)定一種新運算△，若△，則方程△的解是．8．（2021秋?順義區(qū)期末）對于任意的正數(shù)，，定義運算“”如下：，計算的結(jié)果為．9．（2021秋?遷安市期末）對于實數(shù)，我們規(guī)定：用表示不小于的最小整數(shù)．例如：，，現(xiàn)在對72進行如下操作：，即對72只需進行3次操作后變?yōu)?．類比上述操作：對36只需進行次操作后變?yōu)?；如果只需進行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中最大的數(shù)為．10．（2021秋?金牛區(qū)期末）規(guī)定“”是一種新的運算符號：，已知，則．11．（2021秋?成都期末）對于實數(shù)，，定義新運算：，其中，，是常數(shù)，等式右邊是通常的加法和乘法運算．已知，，那么．12．（2021秋?福田區(qū)校級期末）規(guī)定：符號叫做取整符號，它表示不超過的最大整數(shù)，例如：，，．現(xiàn)在有一列非負數(shù)，，，，已知，當時，，則的值為．13．（2021?金鳳區(qū)二模）定義新運算：對于任意實數(shù)，，都有⊕，等式右邊是通常的加法、減法及乘法運算，比如：3⊕．（1）2⊕．（2）若⊕等于，則．三．解答題（共13小題）14．（2021秋?順德區(qū)期末）用“”定義一種新運算：對于任何有理數(shù)和，規(guī)定．（1）求的值；（2）若，求的最大整數(shù)；（3）若關(guān)于的方程滿足：，求的值；（4）若，，且，求的值．15．（2021秋?門頭溝區(qū)期末）對于任意兩個非零實數(shù)，，定義運算如下：．如：，．根據(jù)上述定義，解決下列問題：（1），；（2）如果，那么；（3）如果，求的值．16．（2021秋?通州區(qū)期末）現(xiàn)有四個正整數(shù)分布在正方形上，規(guī)定一次操作為；將相鄰的兩個數(shù)作差再取絕對值．圖1是小歡兩次操作的示意圖：（1）圖2是兩次操作的過程，請將空缺的數(shù)補全；（2）在經(jīng)過若干次操作后，如果這4個整數(shù)最終都變?yōu)?，我們就稱其進入了“穩(wěn)定狀態(tài)”．請將1，2，3，4以某種順序排列在圖3所示的正方形上，通過若干次操作，使其進入“穩(wěn)定狀態(tài)”，請畫圖呈現(xiàn)操作次數(shù)最少的過程；（3）1，3，6，這4個正整數(shù)以如圖4的方式排列在正方形上．如果通過三次操作進入“穩(wěn)定狀態(tài)”，請直接寫出所有滿足條件的值．17．（2021秋?魯?shù)榭h期末）用“△”定義一種新運算：對于任意有理數(shù)、，規(guī)定：△，例如：1△．（1）求△3的值；（2）求△3的值；（3）若△，求的值．18．（2021秋?武昌區(qū)期末）知識背景：已知，為有理數(shù)，規(guī)定：（a），（b），例如：，．知識應(yīng)用：（1）若（a）（b），求的值；（2）求的最值；知識遷移：若有理數(shù)，，滿足，且關(guān)于的方程有無數(shù)解，，求的值．19．（2021秋?北京期末）我們規(guī)定：使得成立的一對數(shù)，為“積差等數(shù)對”，記為．例如，因為，，所以數(shù)對，都是“積差等數(shù)對”．（1）下列數(shù)對中，是“積差等數(shù)對”的是；①；②；③，．（2）若是“積差等數(shù)對”，求的值；（3）若是“積差等數(shù)對”，求代數(shù)式的值．20．（2021秋?工業(yè)園區(qū)期末）對于任意有理數(shù)、，如果滿足，那么稱它們?yōu)椤鞍閭H數(shù)對”，記為．（1）若是“伴侶數(shù)對”，求的值；（2）若是“伴侶數(shù)對”，求的值．21．（2021?九龍坡區(qū)校級模擬）對于一個四位自然數(shù)，如果滿足各數(shù)位上的數(shù)字不全相同且均不為0，它的千位數(shù)字減去個位數(shù)字之差等于百位數(shù)字減去十位數(shù)字之差，那么稱這個數(shù)為“差同數(shù)”．對于一個“差同數(shù)”，將它的千位和個位構(gòu)成的兩位數(shù)減去百位和十位構(gòu)成的兩位數(shù)所得差記為，將它的千位和十位構(gòu)成的兩位數(shù)減去百位和個位構(gòu)成的兩位數(shù)所得差記為，規(guī)定：．例如：，因為，故：7513是一個“差同數(shù)”．所以：，則：．（1）請判斷2586、8734是否是“差同數(shù)”．如果是，請求出的值；（2）若自然數(shù)，都是“差同數(shù)”，其中，，，，，，，，都是整數(shù)），規(guī)定：，當能被11整除時，求的最小值．22．（2021?寧波模擬）規(guī)定一種新運算※．（1）求※2的值；（2）這種新運算滿足交換律嗎？若不滿足請舉反例，若滿足請說明理由．23．（2020?河北一模）有一種用“☆”定義的新運算，對于任意實數(shù)，，都有☆．例如7☆．（1）已知☆3的結(jié)果是，則．（2）將兩個實數(shù)和用這種新定義“☆”加以運算，結(jié)果為9，則的值是多少？24．（2021秋?海淀區(qū)校級期末）在數(shù)軸上，為原點，點，對應(yīng)的數(shù)分別是，，為線段的中點．給出如下定義：若，則稱是的“正比點”；若，則稱是的“反比點”．例如，時，是的“正比點”；，時，是的“反比點”．（1）若，則對應(yīng)的數(shù)為，下列說法正確的是（填序號）．①是的“正比點”；②是的“反比點”；③是的“正比點”；④是的“反比點”；（2）若，且是的“正比點”，求的值；（3）若，且既是，其中一點的“正比點”，又是另一點的“反比點”，直接寫出的值．25．（2021秋?西城區(qū)校級期末）