2025年中考數(shù)學(xué)思想方法復(fù)習(xí)系列 【整體思想】求代數(shù)式值中的整體思想（解析版）

求代數(shù)式值中的整體思想知識方法精講1．整體思想從問題的整體性質(zhì)出發(fā)，突出對問題的整體結(jié)構(gòu)的分析和改造，發(fā)現(xiàn)問題的整體結(jié)構(gòu)特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個整體，把握它們之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行有目的的、有意識的整體處理。整體思想方法在代數(shù)式的化簡與求值、解方程（組）、幾何解證等方面都有廣泛的應(yīng)用，整體代入、疊加疊乘處理、整體運(yùn)算、整體設(shè)元、整體處理、幾何中的補(bǔ)形等都是整體思想方法在解數(shù)學(xué)問題中的具體運(yùn)用。

2．代數(shù)式求值（1）代數(shù)式的值：用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，計(jì)算后所得的結(jié)果叫做代數(shù)式的值．（2）代數(shù)式的求值：求代數(shù)式的值可以直接代入、計(jì)算．如果給出的代數(shù)式可以化簡，要先化簡再求值．題型簡單總結(jié)以下三種：①已知條件不化簡，所給代數(shù)式化簡；②已知條件化簡，所給代數(shù)式不化簡；③已知條件和所給代數(shù)式都要化簡．一．選擇題（共7小題）1．（2021秋?南充期末）已知，是方程的兩根，則代數(shù)式的值等于A．0 B． C．9 D．11【考點(diǎn)】根的判別式；根與系數(shù)的關(guān)系【分析】先根據(jù)一元二次方程根的定義得到，則可化為，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【解答】解：是方程的兩根，，，，，是方程的兩根，，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根，則，．2．（2021秋?中原區(qū)校級期末）已知，則代數(shù)式的值是A． B． C．4 D．7【考點(diǎn)】代數(shù)式求值【分析】原式前兩項(xiàng)提取2變形后，將已知等式代入計(jì)算即可求出值．【解答】解：，原式．故選：．【點(diǎn)評】此題考查了代數(shù)式求值，利用了整體代入的思想，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．3．（2021秋?天門期末）如果，那么代數(shù)式的值為A． B． C．6 D．8【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算—化簡求值【分析】利用完全平方公式和單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算乘方和乘法，然后合并同類項(xiàng)進(jìn)行化簡，最后利用整體思想代入求值．【解答】解：原式，，原式，故選：．【點(diǎn)評】本題考查整式的混合運(yùn)算，靈活應(yīng)用整體思想代入求值，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)是解題關(guān)鍵．4．（2021秋?晉州市期末）若，則的值為A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【考點(diǎn)】代數(shù)式求值【分析】將代數(shù)式適當(dāng)變形，利用整體代入的方法解答即可．【解答】解：，．原式．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了求代數(shù)式的值，將代數(shù)式適當(dāng)變形，利用整體代入的方法解答是解題的關(guān)鍵．5．（2021秋?長沙期末）已知，則的值是A．20 B．21 C．7 D．10【考點(diǎn)】代數(shù)式求值【分析】將代數(shù)式適當(dāng)變形，利用整體代入的方法解答即可．【解答】解：，，原式．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了求代數(shù)式的值，將代數(shù)式適當(dāng)變形，利用整體代入的方法解答是解題的關(guān)鍵．6．（2021秋?江油市期末）已知代數(shù)式的值是3，則的值是A． B． C． D．【考點(diǎn)】代數(shù)式求值【分析】原式變形后，把已知代數(shù)式的值代入計(jì)算即可求出值．【解答】解：代數(shù)式的值是3，．故選：．【點(diǎn)評】此題考查了代數(shù)式求值，利用了整體代入的思想，正確將所求代數(shù)式變形是解題關(guān)鍵．7．（2021秋?封開縣期末）若，則的值為A． B．42 C． D．22【考點(diǎn)】代數(shù)式求值【分析】由可得出的值，又所求式子可變形為，則將整體的值代入即可．【解答】解：，，原式．故選：．【點(diǎn)評】此題主要考查了代數(shù)式求值，代數(shù)式中的字母沒有明確告知，而是隱含在題設(shè)中，首先應(yīng)從題設(shè)入手，尋找要求的代數(shù)式與題設(shè)之間的關(guān)系，然后利用“整體代入法”求代數(shù)式的值．二．填空題（共14小題）8．（2021?饒平縣校級模擬）已知的值為13，則代數(shù)式的值為10．【考點(diǎn)】33：代數(shù)式求值【分析】通過已知將代數(shù)式化為，再將，代入即可求解；【解答】解：的值為13，，；故答案為10；【點(diǎn)評】本題考查代數(shù)式求值；熟練運(yùn)用整體思想是解決本題的關(guān)鍵．9．（2021?廣東模擬）已知的值是7，則式子的值是．【考點(diǎn)】代數(shù)式求值【分析】首先根據(jù)的值是7，求出的值是多少；然后代入式子，求出算式的值是多少即可．【解答】解：，，．故答案為：．【點(diǎn)評】此題主要考查了代數(shù)式求值問題，要熟練掌握，求代數(shù)式的值可以直接代入、計(jì)算．如果給出的代數(shù)式可以化簡，要先化簡再求值．題型簡單總結(jié)以下三種：①已知條件不化簡，所給代數(shù)式化簡；②已知條件化簡，所給代數(shù)式不化簡；③已知條件和所給代數(shù)式都要化簡．10．（2020?東莞市一模）已知，則代數(shù)式的值為9．【考點(diǎn)】33：代數(shù)式求值【分析】先求得，依據(jù)等式的性質(zhì)得到即可得到結(jié)論．【解答】解：，，，原式．故答案為：9．【點(diǎn)評】本題主要考查的是求代數(shù)式的值，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．11．（2021秋?廣豐區(qū)期末）若關(guān)于的一元二次方程的一個解是，則的值是2023．【考點(diǎn)】一元二次方程的解【分析】先把代入方程得到，再把變形為，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【解答】解：把代入方程得，，．故答案為：2023．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．12．（2021秋?安居區(qū)期末）設(shè)、是一元二次方程的兩個根，則1．【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系【分析】先根據(jù)一元二次方程根的定義得到，則可化為，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【解答】解：是一元二次方程的根，，，，、是一元二次方程的兩個根，，．故答案為：1．【點(diǎn)評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根，則，．13．（2021秋?南充期末）已知，則18．【考點(diǎn)】完全平方公式；分式的化簡求值【分析】根據(jù)完全平方公式將原式進(jìn)行變形，然后利用整體思想代入求值．【解答】解：原式，當(dāng)時，原式，故答案為：18．【點(diǎn)評】本題考查分式的化簡求值，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)是解題關(guān)鍵．14．（2021秋?渝北區(qū)期末）已知，則代數(shù)式的值為2018．【考點(diǎn)】代數(shù)式求值【分析】原式后兩項(xiàng)提取2變形后，將已知等式代入計(jì)算即可求出值．【解答】解：，．故答案為：2018．【點(diǎn)評】此題考查了代數(shù)式求值，利用了整體代入的思想，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．15．（2021秋?金牛區(qū)期末）已知，則式子的值為2027．【考點(diǎn)】代數(shù)式求值【分析】對已知條件進(jìn)行變形，得到的值，對所求式子進(jìn)行變形，再把的值整體代入即可．【解答】解：，，；故答案為：2027．【點(diǎn)評】此題主要考查了代數(shù)式求值，代數(shù)式中的字母沒有明確告知，而是隱含在題設(shè)中，首先應(yīng)從題設(shè)入手，尋找要求的代數(shù)式與題設(shè)之間的關(guān)系，然后利用“整體代入法”求代數(shù)式的值；本題也可以直接把的值代入所求式子．16．（2021秋?錦江區(qū)校級期末）若，，則3．【考點(diǎn)】整式的加減【分析】將原式進(jìn)行變形，然后利用整體思想代入求值．【解答】解：原式，，，原式，故答案為：3．【點(diǎn)評】本題考查整式的加減，掌握合并同類項(xiàng)（系數(shù)相加，字母及其指數(shù)不變）和去括號的運(yùn)算法則（括號前面是“”號，去掉“”號和括號，括號里的各項(xiàng)不變號；括號前面是“”號，去掉“”號和括號，括號里的各項(xiàng)都變號），利用整體思想代入求值是解題關(guān)鍵．17．（2021秋?鼓樓區(qū)校級期末），，則15．【考點(diǎn)】整式的加減【分析】原式進(jìn)行變形后，利用整體思想代入求值．【解答】解：原式，，，原式，故答案為：15．【點(diǎn)評】本題考查整式的加減，掌握合并同類項(xiàng)（系數(shù)相加，字母及其指數(shù)不變）和去括號的運(yùn)算法則（括號前面是“”號，去掉“”號和括號，括號里的各項(xiàng)不變號；括號前面是“”號，去掉“”號和括號，括號里的各項(xiàng)都變號），利用整體思想代入求值是解題關(guān)鍵．18．（2021秋?成華區(qū)期末）已知一元二次方程的兩根為，，則的值為．【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及一元二次方程的解，可得出，，再整體代入即可求出結(jié)論．【解答】解：一元二次方程的兩根為，，，，．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的解和根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是得到，．19．（2021秋?臨江市期末）若，則1．【考點(diǎn)】代數(shù)式求值【分析】原式進(jìn)行化簡，然后利用整體思想代入求值．【解答】解：原式，，，原式，故答案為：1．【點(diǎn)評】本題考查代數(shù)式求值，利用整體思想代入求值是解題關(guān)鍵．20．（2021秋?福田區(qū)校級期末）已知，則2024．【考點(diǎn)】代數(shù)式求值【分析】由已知條件可得，對所求式子進(jìn)行變形，整體代入即可．【解答】解：，，原式．故答案為：2024．【點(diǎn)評】此題主要考查了代數(shù)式求值，代數(shù)式中的字母沒有明確告知，而是隱含在題設(shè)中，首先應(yīng)從題設(shè)入手，尋找要求的代數(shù)式與題設(shè)之間的關(guān)系，然后利用“整體代入法”求代數(shù)式的值．21．（2021秋?東城區(qū)校級期中）如果代數(shù)式的值為6，那么代數(shù)式的值是11．【考點(diǎn)】33：代數(shù)式求值【分析】把已知變形后，整體代入計(jì)算即可求出值．【解答】解：，，．故為：11．【點(diǎn)評】此題考查了代數(shù)式求值，熟練掌握整體代入計(jì)算的方法是解本題的關(guān)鍵．三．解答題（共9小題）22．（2021秋?通州區(qū)期末）先化簡，再求值：已知，求的值．【考點(diǎn)】整式的加減—化簡求值【分析】根據(jù)去括號、合并同類項(xiàng)法則把原式化簡，整體代入計(jì)算得到答案．【解答】解：原式，，原式．【點(diǎn)評】本題考查的是整式的化簡求值，掌握整式的加減混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．23．（2021秋?白云區(qū)期末）已知，互為倒數(shù)，，互為相反數(shù)．（1）求式子的值；（2）若，，求式子的值．【考點(diǎn)】有理數(shù)的混合運(yùn)算【分析】（1）將原式進(jìn)行變形，根據(jù)倒數(shù)及相反數(shù)的概念求得，，然后利用整體思想代入求值；（2）根據(jù)有理數(shù)乘方的運(yùn)算法則求得和的值，從而確定和的值，代入求值即可．【解答】解：（1）原式，，互為倒數(shù)，，互為相反數(shù)，，，原式，即式子的值為3；（2），，，，又，互為倒數(shù)，，互為相反數(shù)，，，原式．【點(diǎn)評】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，理解相反數(shù)和倒數(shù)的概念，注意明確有理數(shù)混合運(yùn)算順序（先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運(yùn)算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運(yùn)算）是解題關(guān)鍵．24．（2021秋?海淀區(qū)期末）已知，求代數(shù)式的值．【考點(diǎn)】分式的化簡求值【分析】原式小括號內(nèi)的式子先進(jìn)行通分計(jì)算，然后算括號外面的除法，最后利用整體思想代入求值．【解答】解：原式，，，原式．【點(diǎn)評】本題考查分式的化簡求值，掌握分式混合運(yùn)算的運(yùn)算順序（先算乘方，然后算乘除，最后算加減，有小括號先算小括號里面的）和計(jì)算法則，利用整體代入求值是關(guān)鍵．25．（2021秋?荔灣區(qū)期末）已知，，求代數(shù)式的值．【考點(diǎn)】整式的加減—化簡求值【分析】原式去括號，合并同類項(xiàng)進(jìn)行化簡，然后利用整體思想代入求值．【解答】解：原式；當(dāng)，時，原式，原代數(shù)式的值為3．【點(diǎn)評】本題考查整式的加減—化簡求值，掌握合并同類項(xiàng)（系數(shù)相加，字母及其指數(shù)不變）和去括號的運(yùn)算法則（括號前面是“”號，去掉“”號和括號，括號里的各項(xiàng)不變號；括號前面是“”號，去掉“”號和括號，括號里的各項(xiàng)都變號），利用整體思想解題是關(guān)鍵．26．（2021秋?鐵西區(qū)期末）利用乘法公式解決下列問題：（1）若，．則144；（2）已知，若滿足，求值．【考點(diǎn)】多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式；完全平方公式【分析】（1）由，給等式兩邊同時加上，再根據(jù)已知條件即可得出答案；（2）設(shè)，，則，再代入計(jì)算即可【解答】解：（1），把，，代入上式，得．故答案是：144；（2）設(shè)，，由進(jìn)行變形得，，．【點(diǎn)評】此題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，完全平方公式的變式應(yīng)用能力，屬于基礎(chǔ)計(jì)算題．27．（2021秋?西城區(qū)校級期中）若，求的值．【考點(diǎn)】整式的加減—化簡求值【分析】先把給出的多項(xiàng)式進(jìn)行化簡，由題意得出的值，再整體代入即可．【解答】解：原式，，，原式．【點(diǎn)評】此題主要考查了代數(shù)式求值，代數(shù)式中的字母沒有明確告知，而是隱含在題設(shè)中，首先應(yīng)從題設(shè)入手，尋找要求的代數(shù)式與題設(shè)之間的關(guān)系，然后利用“整體代入法”求代數(shù)式的值．28．（2021秋?思明區(qū)校級期中）所謂完全平方式，就是對一個整式，如果存在另一個整式，使，則稱是完全平方式，如、，則稱、是完全平方式．（1）下列各式中是完全平方式的有②⑤⑥．（填寫編號）①；②；③；④；⑤；⑥．（2）證明：多項(xiàng)式是一個完全平方式．（3）已知、、是的三邊長，滿足，判定的形狀．【考點(diǎn)】冪的乘方與積的乘方；完全平方式；因式分解的應(yīng)用【分析】（1）通過題干定義，通過完全平方式分別判斷求解．（2）先將整理為，然后將作為整體求解．（3）將整理為求解．【解答】解：（1）①，不是我去蘋果是，不符合題意．②，符合題意．③，不符合題意．④，不符合題意．⑤，符合題意．⑥，符合題意．故答案為：②⑤⑥．（2），多項(xiàng)式是一個完全平方式．（3），，，，，，是等邊三角形．【點(diǎn)評】本題考查因式分解的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握完全平方式，通過整體思想求解．29．（2021秋?六盤水月考）“整體思想”是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一種重要思想，它在多項(xiàng)式的化簡與求值中應(yīng)用極為廣泛，例如把看成一個整體：，請應(yīng)用整體思想解答下列問題：（1）化簡：；（2）已知，，，求的值．【考點(diǎn)】整式的加減—化簡求值【分析】（1）把看成一個整體，利用合并同類項(xiàng)法則計(jì)算即可；（2）先去括號，再利用加法的交換律和結(jié)合律，最后整體代入求值．【解答】解：（1）原式．（2）原式．當(dāng)，，時，原式．【點(diǎn)評】本題考查了整式的加減和整體的思想方法，掌握整體的思