2025年中考數(shù)學思想方法復習系列 【轉化思想】圓中的轉化思想（解析版）

圓中的轉化思想知識方法精講1．轉化思想轉化不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的HYPERLINK\t"/item/%E5%8C%96%E5%BD%92%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"數(shù)學思維方式。所謂的轉化思想方法，就是在研究和解決有關數(shù)學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而達到解決的一種方法。一般總是將復雜問題通過變換轉化為簡單問題；將難解的問題通過變換轉化為容易求解的問題；將未解決的問題通過變換轉化為已解決的問題?？傊D化在數(shù)學解題中幾乎無處不在，轉化的基本功能是：生疏化成熟悉，復雜化成簡單，抽象化成直觀，含糊化成明朗。說到底，轉化的實質就是以運動變化發(fā)展的觀點，以及事物之間相互聯(lián)系，相互制約的觀點看待問題，善于對所要解決的問題進行變換轉化，使問題得以解決。實現(xiàn)這種轉化的方法有：HYPERLINK\t"/item/%E5%8C%96%E5%BD%92%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"待定系數(shù)法，配方法，HYPERLINK\t"/item/%E5%8C%96%E5%BD%92%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"整體代入法以及化動為靜，由抽象到具體等轉化思想。2．垂徑定理的應用垂徑定理的應用很廣泛，常見的有：（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．（2）垂徑定理和勾股定理相結合，構造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題．這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學思想方法一定要掌握．3．圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．（3）在解圓的有關問題時，常常需要添加輔助線，構成直徑所對的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圓周角和圓心角的轉化可通過作圓的半徑構造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點和底角的關系進行轉化．②圓周角和圓周角的轉化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉化．③定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運用定理時不要忽略了這個條件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當成同一條弧所對的圓周角和圓心角．4．點與圓的位置關系（1）點與圓的位置關系有3種．設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：①點P在圓外?d＞r②點P在圓上?d＝r①點P在圓內?d＜r（2）點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關系可以確定該點與圓的位置關系．（3）符號“?”讀作“等價于”，它表示從符號“?”的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端．5．切線的性質（1）切線的性質①圓的切線垂直于經過切點的半徑．②經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點．③經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心．（2）切線的性質可總結如下：如果一條直線符合下列三個條件中的任意兩個，那么它一定滿足第三個條件，這三個條件是：①直線過圓心；②直線過切點；③直線與圓的切線垂直．（3）切線性質的運用由定理可知，若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關系．簡記作：見切點，連半徑，見垂直．6．扇形面積的計算（1）圓面積公式：S＝πr2（2）扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形．（3）扇形面積計算公式：設圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l(wèi)為扇形的弧長）（4）求陰影面積常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割補法．（5）求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉化為規(guī)則圖形的面積．7．圓錐的計算（1）連接圓錐頂點和底面圓周上任意一點的線段叫做圓錐的母線．連接頂點與底面圓心的線段叫圓錐的高．（2）圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．（3）圓錐的側面積：S側＝?2πr?l＝πrl．（4）圓錐的全面積：S全＝S底+S側＝πr2+πrl（5）圓錐的體積＝×底面積×高注意：①圓錐的母線與展開后所得扇形的半徑相等．②圓錐的底面周長與展開后所得扇形的弧長相等．一．選擇題（共6小題）1．（2021?棗莊）如圖，正方形的邊長為2，為對角線的交點，點，分別為，的中點．以為圓心，2為半徑作圓弧，再分別以，為圓心，1為半徑作圓弧，，則圖中陰影部分的面積為A． B． C． D．【考點】正方形的性質；扇形面積的計算【分析】連接，根據(jù)在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧，所對的弦分別相等，利用面積割補法可得陰影部分的面積等于弓形面積，即等于扇形減去直角三角形的面積之差．【解答】解：連接，，如圖，正方形的邊長為2，為對角線的交點，由題意可得：，經過點，且，．點，分別為，的中點，，，．弓形弓形．陰影部分的面積等于弓形的面積．．故選：．【點評】本題主要考查了正方形的性質，扇形面積的計算．通過添加適當?shù)妮o助線將不規(guī)則的陰影部分的面積轉化成規(guī)則圖形的面積的差是解題的關鍵．2．（2021秋?覃塘區(qū)期中）如圖，一張含有的三角形紙片，剪去這個角后，得到一個四邊形，則的度數(shù)是A． B． C． D．【考點】多邊形內角與外角；剪紙問題【分析】利用三角形內角和定理求出，再根據(jù)四邊形內角和定理求解即可．【解答】解：如圖，，，，，故選：．【點評】本題考查剪紙問題，三角形內角和定理，四邊形內角和定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．3．如圖，在中，，，，分別以，為圓心，以的長為半徑作圓，將截去兩個扇形，則剩余（陰影）部分的面積為．A． B． C． D．【考點】勾股定理；扇形面積的計算【分析】已知中，，，，則根據(jù)勾股定理可知，陰影部分的面積可以看作是直角三角形的面積減去兩個扇形的面積．【解答】解：中，，，，，．故選：．【點評】陰影部分的面積可以看作是直角三角形的面積減去兩個扇形的面積，求不規(guī)則的圖形的面積，可以轉化為幾個規(guī)則圖形的面積的和或差來求．4．（2020?錫山區(qū)校級模擬）某數(shù)學研究性學習小組制作了如圖的三角函數(shù)計算圖尺：在半徑為1的半圓形量角器中，畫一個直徑為1的圓，把刻度尺的0刻度固定在半圓的圓心處，刻度尺可以繞點旋轉．圖中所示的圖尺可讀出的值是A． B． C． D．【考點】圓周角定理；旋轉的性質；解直角三角形【分析】如圖，連接．只要證明，可得．【解答】解：如圖，把刻度尺與圓的另一個交點記作，連接．是直徑，，，，，由刻度尺可知，，．故選：．【點評】本題考查圓周角定理，旋轉的性質，解直角三角形等知識點，解題的關鍵是學會用轉化的思想思考問題，屬于中考創(chuàng)新題目．5．（2020?河北模擬）已知拋物線與軸交于，兩點，對稱軸與拋物線交于點，與軸交于點，的半徑為2，為上一動點，為的中點，則的最大值為A． B． C． D．5【考點】二次函數(shù)的性質；二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；拋物線與軸的交點；三角形中位線定理；點與圓的位置關系【分析】為中點，為中點，所以是的中位線，則，當最大時，則最大．由圓的性質可知，當、、三點共線時，最大．【解答】解：如圖，連接．為中點，為中點，所以是的中位線，則，當最大時，則最大．由圓的性質可知，當、、三點共線時，最大．，，，的最大值為，的最大值為．故選：．【點評】本題主要考查了拋物線與軸的交點、三角形的中位線定理、二次函數(shù)的性質以及點與圓的位置關系等知識點，有一定難度，學會用轉化的思想思考問題．6．如圖，在中，，，，點為的中點，以點為圓心作圓心角為的扇形，點恰在弧上，則圖中陰影部分的面積為A． B． C． D．【考點】扇形面積的計算【分析】連接，作，，證明，則，求得扇形的面積，則陰影部分的面積即可求得．【解答】解：連接，作，．，，點為的中點，，四邊形是正方形，．則扇形的面積是：．，，點為的中點，平分，又，，，，，則在和中，，，．則陰影部分的面積是：．故選：．【點評】本題考查了三角形的全等的判定與扇形的面積的計算的綜合題，正確證明，得到是關鍵．二．填空題（共9小題）7．（2020秋?西城區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系中，，經過點．點，點在軸上，，延長，分別交于點，點，設直線與軸正方向所夾的銳角為．（1）的半徑為5；（2）．【考點】坐標與圖形性質；圓周角定理；解直角三角形【分析】（1）結論，利用勾股定理求解即可．（2）設交軸于，過點作交于，交于，連接，，．求出，再證明即可．【解答】解：（1）連接．，，故答案為：5．（2）設交軸于，過點作交于，交于，連接，，．，，，在中，，，，，，．，，，，軸，，，，，，，．補充方法：證明時，可以這樣證明：，，，，，可得結論．故答案為：．【點評】本題考查圓周角定理，垂徑定理，三角形的外角的性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．8．如圖，直角中，，，，以為圓心，長為半徑畫四分之一圓，則圖中陰影部分的面積是（結果保留．【考點】扇形面積的計算【分析】連接．根據(jù)圖中陰影部分的面積三角形的面積三角形的面積扇形的面積，列出算式即可求解．【解答】解：連接．直角中，，，，，，，三角形是等邊三角形，，，圖中陰影部分的面積．故答案為：．【點評】考查了扇形面積的計算，解題的關鍵是將不規(guī)則圖形的面積計算轉化為規(guī)則圖形的面積計算．9．如圖，水平放置的圓柱形油桶的截面半徑是，油面高為，截面上有油的弓形（陰影部分）的面積為．【考點】勾股定理；垂徑定理的應用【分析】陰影部分面積的計算，可以轉化為用圓的面積減去上面沒有油的部分的面積，關鍵是求上面部分的面積．上面是一個弓形，它的面積可轉化為扇形面積減去三角形面積．【解答】解：設油面所在的弦為圓心是，過點作于點．在中，．，，．的面積是．，扇形的面積是．上面沒油的部分的面積是，陰影部分的面積是．【點評】計算不規(guī)則圖形的面積，可以轉化為幾個規(guī)則圖形面積的和或差的問題．10．如圖，圓錐的母線長是3，底面半徑是1，是底面圓周上一點，從點出發(fā)繞側面一周，再回到點的最短的路線長是．【考點】平面展開最短路徑問題；圓錐的計算；特殊角的三角函數(shù)值【分析】圓錐的側面展開圖是扇形，從點出發(fā)繞側面一周，再回到點的最短的路線即展開得到的扇形的弧所對的弦，轉化為求弦長的問題．【解答】解：圖扇形的弧長是，根據(jù)弧長公式得到，即扇形的圓心角是，弧所對的弦長，故答案為．【點評】圓錐的側面展開圖是一個扇形，此扇形的弧長等于圓錐底面周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．本題就是把圓錐的側面展開成扇形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．11．如圖，已知直角扇形的半徑，以為直徑在扇形內作半圓，過點引交于點，則與半圓弧及所圍成的陰影部分的面積．【考點】扇形面積的計算【分析】要求的陰影部分的面積顯然是不規(guī)則圖形的面積，不可能直接用公式，只有用“割補法”，連接，根據(jù)即可得出結論．【解答】解：如圖，連接．，，．又，，，，，．，，，，．故答案為：．【點評】本題考查了扇形面積的計算．求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉化為規(guī)則圖形的面積．12．如圖，已知中，，，以為直徑的半圓與相切于點，則圖中陰影部分的面積是4．【考點】平行四邊形的性質；切線的性質；扇形面積的計算【分析】連接及，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到角為直角，又為，得到三角形為等腰直角三角形，因為為中點，根據(jù)三線合一得到垂直于，又根據(jù)為斜邊上的中線，等于斜邊的一半，即可求出，根據(jù)扇形與扇形的圓心角及半徑相等，得到兩扇形面積相等，又三角形與三角形全等得到兩三角形面積相等，用扇形減去三角形即可得到弓形與弓形的面積相等，則陰影部分面積可轉化為三角形的面積，根據(jù)平行四邊形的對邊相等得到與相等都等于4，然后根據(jù)三角形的面積公式底乘以高除以2即可求出所求陰影部分的面積．【解答】解：連接，，為圓的直角，又，為等腰直角三角形，又為的中點，，且，，扇形與扇形的圓心角都為，半徑都為2，得到，又，由為平行四邊形，得到，則．故答案為4．【點評】本題考查學生會利用轉化的思想把不規(guī)則圖形的面積轉化為規(guī)則圖形的面積，考查了數(shù)形結合的數(shù)學思想，同時要求學生掌握平行四邊形及等腰直角三角形的性質，是一道中檔題．13．已知的半徑為1．弦的長為，若在上找一點，使，則75或15．【考點】勾股定理的逆定理；圓周角定理；特殊角的三角函數(shù)值【分析】畫出圖形，構造出直角三角形，根據(jù)勾股定理求得三角形的邊長，求得和，再求出的度數(shù)即可．【解答】解：如圖，過點作，，垂足分別為，，，，由垂徑定理得，，，，由勾股定理得，，，，，，當、在半徑同旁時，．故答案為：或．【點評】本題考查了勾股定理和垂徑定理，解此類題目要注意將圓的問題轉化成三角形的問題再進行計算．14．如圖，陰影部分的面積為．【考點】扇形面積的計算【分析】先根據(jù)題意得到扇形的面積等于扇形的面積，即圖形1的面積等于圖形3的面積，通過割補的方法可知陰影部分的面積圖形1的面積圖形3的面積正方形的面積．【解答】解：如圖，四邊形和四邊形為正方形，且邊長為那么扇形的面積等于扇形的面積所以圖形1的面積等于圖形3的面積則陰影部分的面積圖形1的面積圖形3的面積正方形的面積．【點評】主要考查了通過割補法把不規(guī)則圖形轉化為規(guī)則圖形求面積的方法．本題的關鍵是利用面積之間的等量代換得到陰影部分的面積圖形1的面積圖形3的面積正方形的面積．15．如圖，正方形的邊，和都是以1為半徑的圓弧，則無陰影部分的兩部分的面積之差是．【考點】正方形的性質；扇形面積的計算【分析】無陰影部分的兩部分的面積之差，可以由圖中的幾個部分面積之間的轉化求解．【解答】解：無陰影的兩部分可分為1、2兩部分，面積之差，如下圖所示：由圖形可知，，由上式可得，，所以本題應該填．【點評】本題考查圖形面積之間的轉化關系．三．解答題（共6小題）16．（2021秋?朝陽區(qū)校級期中）如圖，在中，，以為直徑的圓交于點，交于點，延長至點，使，連結，．（1）求證：四邊形是菱形；（2）若，，求．【考點】等腰三角形的性質；菱形的判定與性質；圓周角定理；解直角三角形【分析】（1）根據(jù)圓周角定理求得，進而根據(jù)等腰三角形的性質得出，通過證得得出，，即可證得結論；（2）連接，由圓周角定理得出，設菱形的邊長為，則，根據(jù)勾股定理列出，即，求出，可得結論．【解答】（1）證明：是直徑，，，，，在和中，，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形為菱形；（2）解：，，連接，則，設菱形的邊長為，則，，即解得或（舍去），，．【點評】本題考查了圓周角定理，菱形的判定和性質，勾股定理的應用等，作出輔助線構建直角三角形是解題的關鍵．17．（2021?濱城區(qū)一模）如圖，在中，，，點在上，以為直徑的經過點．（1）求證：①是的切線；②；（2）若點是劣弧的中點，且，試求陰影部分的面積．【考點】圓的綜合題【分析】（1）①連接，根據(jù)圓周角定理推出，并根據(jù)平行線的判定得出，從而得到即可證明是的切線；②連接，，根據(jù)同角的余角相等推出，并得到，再根據(jù)相似三角形的性質即可證明；（2）連接、、，根據(jù)題意由圓心角定理推出和是等邊三角形，并得出相關角的大小即邊之間的關系，進而根據(jù)全等三角形的判定得到，將陰影部分的面積轉化為扇形的面積進行求解即可．【解答】（1）①證明：如圖1，連接，，，（圓周角定理），，，根據(jù)題意可知，，是的切線．②如圖2，連接，，為直徑，，，，由（1）可知，，在和中，，，，故．（2）如圖3，連接、、，和交于點，則，根據(jù)題意點是劣弧的中點，且，，和是等邊三角形，，，由（1）可知，，在和中，，，，．【點評】本題考查圓的綜合運用，解題的關鍵是證明從而將陰影部分的面積轉化為扇形的面積，通常要結合圓周角定理及圓心角定理求解各角、各邊之間的關系．18．（2021?羅平縣模擬）如圖，是的直徑，是弦，點在圓外，于點，交于點，連接、、，．（1）求證：是的切線；（2）求證：；（3）設的面積為，的面積為，若，求的值．【考點】圓的綜合題【分析】（1）由證明即可得到結果；（2）證明即即可得證；（3）把轉化為，設，用表示出半徑，再由的面積比等于相似比平方可得到答案．【解答】解：（1）證明：，又，，于點，，，，即，，是的切線；（2），，，，，，；（3）為直徑，，，，，，在中，，設，則，，于點，，，由（2）知，，而，，，設，則，的面積為，而的面積為，．【點評】本題考查圓的切線、相似三角形判定及性質，難度較大，解題的關鍵是將轉化為．19．（2021?商河縣校級模擬）（1）初步思考：如圖1，在中，已知，，為上一點且，試證明：（2）問題提出：如圖2，已知正方形的邊長為4，圓的半徑為2，點是圓上的一個動點，求的最小值．（3）推廣運用：如圖3，已知菱形的邊長為4，，圓的半徑為2，點是圓上的一個動點，求的最大值．【考點】圓的綜合題【分析】（1）通過相似三角形的性質證得結論；（2）如圖2中，在上取一點，使得．由，推出，推出，推出，由，當、、共線時，的值最小，最小值為．由；（3）如圖3中，在上取一點，使得，作于．解法類似（2）；【解答】（1）證明：如圖1，，，，，．．．又，．．；（2）如圖2，在上取一點，使得，（3）同（2）中證法，如圖3，當點在的延長線上時，的最大值，最大值為．【點評】本題考查圓綜合題、正方形的性質、菱形的性質、相似三角形的判定和性質、兩點之間線段最短等知識，解題的關鍵是學會構建相似三角形解決問題，學會用轉化的思想思考問題，把問題轉化為兩點之間線段最短解決，題目比較難，屬于中考壓軸題．20．問題提出（1）如圖1，正方形的對角線交于點，是邊長為6的等邊三角形，則、之間的距離為；問題探究（2）如圖2，在邊長為6的正方形中，以為直徑作半圓，點為弧上一動點，求、之間的最大距離；問題解決（3）窯洞是我省陜北農村的主要建筑，窯洞賓館更是一道靚麗的風景線，是因為窯洞除了它的堅固性及特有的外在美之外，還具有冬暖夏涼的天然優(yōu)點家住延安農村的一對即將參加中考的雙胞胎小寶和小貝兩兄弟，發(fā)現(xiàn)自家的窯洞（如圖3所示）的門窗是由矩形及弓形組成，，，弓高為的中點，，小寶說，門角到門窗弓形弧的最大距離是、之間的距離．小貝說這不是最大的距離，你認為誰的說法正確？請通過計算求出門角到門窗弓形弧的最大距離．【考點】圓的綜合題【分析】（1）如圖1，連接，，對角線交點為，連接交于，證明垂直平分，四邊形為正方形，分別求出和的長度即可；（2）如圖2，補全，連