《電路基礎(chǔ) 》課件第5章

5.1換路定律及初始值的確定

5.2RC電路的暫態(tài)過程

5.3RL電路的暫態(tài)過程

5.4RC一階電路在脈沖信號作用下的暫態(tài)過程

5.5本章實訓RC一階電路響應(yīng)仿真測試第5章電路的暫態(tài)過程5.1.1電路的過渡過程

直流電路及周期電流電路中，所有響應(yīng)或是恒穩(wěn)不變，或是按周期規(guī)律變動。電路的這種工作狀態(tài)稱為穩(wěn)定狀態(tài)，簡稱穩(wěn)態(tài)。但是，在含有儲能元件——電容、電感的電路中，當電路的結(jié)構(gòu)或元件的參數(shù)發(fā)生改變時，電路從一種穩(wěn)定狀態(tài)變化到另一種穩(wěn)定狀態(tài)需要有一個動態(tài)變化的中間過程，稱為電路的動態(tài)過程或過渡過程。動態(tài)電路分析就是研究電路在過渡過程中電壓與電流隨時間變化的規(guī)律。

這里做一個實驗，電路如圖5.1所示，R、L、C元件分別串聯(lián)一只同樣的燈泡，并連接在直流電壓源上。5.1換路定律及初始值的確定圖5.1實驗電路當開關(guān)S閉合時，可看到以下三種現(xiàn)象：

(1)電阻支路的燈泡LR會立即亮，而且亮度始終不變；

(2)電感支路的燈泡LL由不亮逐漸變亮，最后亮度達到穩(wěn)定；

(3)電容支路的燈泡LC由亮變暗，最后熄滅。

三條支路的現(xiàn)象不同是因為R、L、C三個元件上電流與電壓變化時所遵循的規(guī)律不同。5.1.2換路定律

在換路瞬間，如果流過電容元件的電流為有限值，其電壓uC不能躍變；如果電感元件兩端的電壓為有限值，其電流iL不能躍變。這一結(jié)論稱為換路定律。如把換路發(fā)生的時刻取為計時起點，記為t=0，則t=0－表示換路前的一瞬間，t=0+表示換路后的一瞬間。由此換路定律可表示為

(5-1)

5.1.3初始值的計算

換路定律只能確定換路瞬間的電容的電壓值和電感的電流值，而電容的電流、電感的電壓以及電路中其他元件的電流、電壓初值是可以發(fā)生躍變的。將uC(0+)和iL(0+)稱為獨立的初始條件，把除電容的電壓和電感的電流外的在t=0+時刻的其他響應(yīng)值稱為非獨立初始值。獨立的初始值和非獨立的初始值統(tǒng)稱為暫態(tài)電路的初始值，即t=0+時電路中電壓、電流的瞬態(tài)值。

由換路定律確定了獨立的初始值后，電路中非獨立初始值可按下列原則確定：

(1)換路前的瞬間，將電路視為一穩(wěn)態(tài)，即電容開路、電感短路。

(2)換路后瞬間，電容元件被看做恒壓源。如果uC(0－)

=0，那么uC(0+)=0，換路時，電容器相當短路。

(3)換路后瞬間，電感元件可看做恒流源。當iL(0－)=0時，iL(0+)=0，電感元件在換路瞬間相當于開路。

(4)運用直流電路分析方法，計算換路瞬間元件的電壓、電流值。

例5-1

確定圖5.2(a)所示電路在換路后各儲能元件的電流與電壓的初始值，設(shè)開關(guān)閉合前電路處于穩(wěn)態(tài)。

解

(1)求獨立的初始值uC(0+)和iL(0+)。

開關(guān)閉合前電路處于穩(wěn)態(tài)，電容相當于開路，電感相當于短路，由圖5.2(a)并根據(jù)換路定律可知

圖5.2例5-1圖

(2)由換路后t=0+時的等效電路圖5.2(b)得非獨立初始值為

例5-2

電路如圖5.3(a)所示。開關(guān)閉合前，電路已處于穩(wěn)定狀態(tài)。當t=0時開關(guān)閉合，求初始值i1(0+)，i2(0+)和iC(0+)。

解

(1)開關(guān)閉合前電路已處于穩(wěn)定狀態(tài)，電容可看做開路，所以iC(0－)=0，uC(0－)=12V。圖5.3例5-2圖

(2)根據(jù)換路定律，有

uC(0+)=uC(0－)=12V

用電壓等于uC(0+)=12V的電壓源代替電容元件，畫出換路瞬間等效電路如圖5.3(b)所示，由圖5.3(b)可知

5.2.1RC一階電路零輸入響應(yīng)

動態(tài)電路的響應(yīng)分為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)兩部分。零輸入響應(yīng)是電路在無輸入激勵的情況下僅由初始條件引起的響應(yīng)。RC電路的零輸入響應(yīng)是指輸入信號為零，即激勵為零，由電容元件的初始狀態(tài)uC(0+)所產(chǎn)生的電流和電壓。

如圖5.4所示的RC動態(tài)電路，開關(guān)處于位置1時，電路已處于穩(wěn)定狀態(tài)，uC(0－)=Us。當開關(guān)由位置1扳到位置3，即換路瞬間，根據(jù)換路定律，uC(0+)=uC(0－)=Us，此時(t=0+)，電容通過電阻R放電，電容器儲存的電能被逐漸釋放出來，電容電壓和電流逐漸減小，直至變?yōu)榱?。下面對電容器的放電過程進行分析。5.2RC電路的暫態(tài)過圖5.4RC零輸入響應(yīng)電路根據(jù)圖5.4所示電路，并由KVL得

Ri(t)－uC(t)=0

(5-2)

將代入式(5-2)得

(5-3)

式(5-3)為一階微分方程，其對應(yīng)的特征方程為

RCp+1=0(5-4)式中,p稱為微分算子，特征方程(5-4)的特征根為

(5-5)

式(5-3)的通解可寫成

(5-6)

式中,A為積分常數(shù)，由初始條件決定。將uC(0+)=Us代入式(5-6)得

A=Us

所以式(5-2)滿足初始條件的通解為

(5-7)

式中,ε(t)為單位階躍信號，其解析式為

(5-8)

式(5-8)對應(yīng)的波形如圖5.5所示。圖5.5單位階躍信號電路中電流變化規(guī)律為

(5-9)

令τ=RC，τ具有時間的量綱，反映了RC電路中過渡過程進行的快慢程度，是描述過渡過程特性的一個重要的物理量，其大小由電路本身的結(jié)構(gòu)所決定，與外界的激勵無關(guān)。τ越大，過渡過程持續(xù)時間就越長，電流、電壓衰減得就越慢；反之，τ越小，過渡過程持續(xù)時間就越短，電流、電壓衰減得就越快。uC(t)和i(t)隨時間變化的曲線如圖5.6(a)、圖(b)所示。圖5.6電壓、電流變化曲線表5.1給出了指數(shù)隨時間t變化的數(shù)值關(guān)系。此表中的數(shù)值說明：在開始一段時間，數(shù)值下降得較快，t=τ時的值約為t=0時值的0.368倍，以后數(shù)值衰減得較慢，t=3τ時的值約為t=0時值的0.050倍，t=5τ時的值約為t=0時值的0.007倍。在工程中，一般認為經(jīng)過(3~5)τ時間以后，衰減過程基本結(jié)束，電路已達到新的穩(wěn)態(tài)。表5.1隨時間t變化的規(guī)律

例5-3

已知圖5.4中的C=10μF，R=5kΩ，電容的初始電能為2×10－3J，求：

(1)電路的零輸入響應(yīng)uC(t)和iC(t)；

(2)電容電壓衰減到8V時所需時間；

(3)要使電壓在4s時衰減到2V，電阻R應(yīng)為多大？

解

(1)電容的儲能為

所以

將uC(0+)、iC(0+)和τ代入式(5-7)、式(5-9)中得

(2)uC(t)=8V時，20e－20t=8，解此式得

t=0.045s

(3)由得

將uC(t)=2V，C=10μF，t=4s代入上式計算得

R=173.9kΩ

5.2.2RC一階電路零狀態(tài)響應(yīng)

如圖5.7(a)所示，在開關(guān)S未閉合時，RC電路中電容電壓uC(0－)=0，在這種情況下，RC動態(tài)電路初始狀態(tài)為零時，由外加激勵信號所引起的響應(yīng)稱為電路的零狀態(tài)響應(yīng)。開關(guān)S閉合后，電源通過電阻對電容器進行充電，這樣電容電壓逐漸升高，充電電流逐漸減小，直到電容電壓uC等于電源電壓Us，電路中電流為零時，充電過程結(jié)束。下面對這一充電過程進行分析。

換路時，根據(jù)換路定律可得

圖5.7RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)根據(jù)KVL，得

Ri(t)+uC(t)=Us

(5-10)

將代入式(5-10),得圖5.7(a)所示電路的一階非齊次微分方程

(5-11)

式(5-11)的解由齊次方程的通解uCh(t)和非齊次方程的特解uCp(t)兩部分組成，即

uC(t)=uCh(t)+uCp(t)(5-12)式(5-11)對應(yīng)的齊次方程為

(5-13)

其特征方程所對應(yīng)的特征根為

(5-14)故齊次方程的通解形式為

(5-15)

當t→+∞時，動態(tài)電路的暫態(tài)過程結(jié)束而進入新的穩(wěn)定狀態(tài)，使電容電壓等于電源電壓，這樣式(5-11)的特解可表示為

uCp(t)=uC(+∞)=Us

(5-16)

由式(5-15)和式(5-16)得到式(5-11)的解為

(5-17)

將uC(0+)=0代入式(5-17)解得積分常數(shù)為

A=－Us

(5-18)這樣RC零狀態(tài)電路的電壓響應(yīng)變?yōu)?/p>

(5-19)

電路的電流響應(yīng)為

(5-20)

根據(jù)式(5-19)和式(5-20)畫出的uC(t)和i(t)波形如圖5.7(b)和圖5.7(c)所示。

例5-4

在圖5.7(a)中，已知Us=12V，R=5kΩ，C=1000μF。開關(guān)S閉合前，電路處于零狀態(tài)，t=0時開關(guān)閉合，求閉合后的uC和iC。

解由已知得

τ=RC=5×103×1000×10－6=5s

Us=12V

由式(5-19)得

由式(5-20)得

5.2.3RC一階電路的全響應(yīng)

若RC電路中的儲能元件電容在換路前就已具有初始能量，換路后又受到外加激勵電源的作用，兩者共同作用產(chǎn)生的響應(yīng)，稱為RC一階電路的全響應(yīng)。

如圖5.8(a)所示，換路前開關(guān)長時間處于位置2，表明電路已處于穩(wěn)定狀態(tài)，電容存儲的電能為，換路瞬間uC(0+)=uC(0－)=U2。當開關(guān)S由位置2扳向位置1時，電容除有初始儲能外，還因為整個電路受外加電源U1的作用，因此電路中的各量為非零狀態(tài)下的有輸入響應(yīng)。圖5.8RC電路全響應(yīng)開關(guān)動作后，電路方程為

(5-21)

方程(5-21)對應(yīng)的齊次方程通解為

(5-22)

方程(5-21)的特解為電路達到穩(wěn)態(tài)時的uC(t)，即

uCp(t)=U1(5-23)

這樣微分方程的全解為

(5-24)將初始條件uC(0+)=U2代入式(5-24)得電路中電容電壓的全響應(yīng)為

(5-25)

或

(5-26)圖5.8(a)所示電路中電容電壓的響應(yīng)可分為如下3種情況：

(1)當U1=U2時，由式(5-25)可知，uC(t)=U1，表明電路一經(jīng)換路便進入穩(wěn)定狀態(tài)，無過渡過程。

(2)當U1>U2時，電路在換路后將繼續(xù)對電容器C進行充電，直到電容上的電壓等于U1時為止，如圖5.8(b)所示。

(3)當U1<U2時，電路在換路后電容器處于放電狀態(tài)，由初始值的U2衰減到穩(wěn)態(tài)的U1值，如圖5.8(c)所示。

例5-5

電路如圖5.9所示，t<0時電路處于穩(wěn)定狀態(tài)，且儲有25J的電能。t=0時開關(guān)閉合，求t>0時的uC(t)和i(t)。

解

(1)由知：

開關(guān)閉合后，電路達到新的穩(wěn)態(tài)時，

圖5.9例5-5圖電路放電時間常數(shù)為

τ=RC=(R1∥R2)C=1.125s

注：時間常數(shù)τ中的R等于電源置零時，從動態(tài)元件向電路看進去的戴維南(或諾頓)等效電阻。

將uC(0+)、uC(+∞)替代式(5-25)中的U2和U1,并把τ代入其中得

5.2.4一階電路的三要素法

由式(5-25)知：一階RC電路的全響應(yīng)等于電路的暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)之和。暫態(tài)響應(yīng)是指隨著時間的增長而趨于零的響應(yīng)分量，分量為零時，暫態(tài)過程即結(jié)束。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是指不隨時間而改變的響應(yīng)分量，其值等于過渡過程結(jié)束后的穩(wěn)態(tài)值。

用f(t)代替式(5-25)中的uC(t)，并分別在t→0+和t→+∞時求極限得

U1=f(+∞)

(5-27)

U2=f(0+)

(5-28)將式(5-27)和式(5-28)代入式(5-25)得

(5-29)

例5-6

電路如圖5.10所示，已知R1=R2=R3=2kΩ，C=3×103pF，Us=12V，開關(guān)S未斷開時uC(0－)=0，在t=0時將開關(guān)S斷開，用三要素法求電壓uC的變化規(guī)律。

解

(1)確定初始值。換路瞬間，電容響應(yīng)電壓初始值為

uC(0+)=uC(0－)=0

(2)計算穩(wěn)態(tài)值。電路達到新的穩(wěn)定狀態(tài)時，電容相當于斷路，這樣

圖5.10例5-6圖

(3)計算電路的時間常數(shù)。因為

Req=(R1+R3)//R2=

所以τ=ReqC=4μs。

(4)將uC(0+)、uC(+∞)和τ代入三要素公式(5-29)得

例5-7

電路如圖5.11(a)所示，已知Is=3A，R1=R4=3Ω，R2=2Ω,R3=6Ω，Us=3V，C=0.5F，t<0時，S1處于閉合狀態(tài)、S2處于斷開狀態(tài)，整個電路處于穩(wěn)定狀態(tài)。t=0時，S1斷開、S2閉合，求電容電壓uC和電流i。圖5.11例5-7圖

解

(1)確定初始值。換路前，

換路后瞬間，根據(jù)換路定律，有

uC(0+)=uC(0－)=6V

換路后瞬間電路如圖5.11(b)所示。Us單獨作用時R4支路電流為

uC(0+)單獨作用時R4支路電路為

(2)計算穩(wěn)態(tài)值。電路達到穩(wěn)態(tài)時，電路如圖5.11(c)所示。由圖可知

(3)計算電路的時間常數(shù)。因為

所以τ=ReqC=4×0.5=2s。

(4)求uC和i。將uC(0+)、uC(+∞)和i(0+)、i(+∞)代入三要素公式(5-29)，得

5.3.1RL一階電路的零輸入響應(yīng)

在無電源激勵，即輸入信號為零時，由電感元件的初始狀態(tài)iL(0+)所引起的響應(yīng)，稱為RL電路的零輸入響應(yīng)。

如圖5.12所示，開關(guān)S1閉合，S2斷開時，電路已處于穩(wěn)定狀態(tài)，

5.3RL電路的暫態(tài)過程圖5.12RL零輸入響應(yīng)電路換路時，S1斷開，S2閉合，由KVL得

(5-30)

根據(jù)電磁感應(yīng)定律并經(jīng)整理，式(5-30)變?yōu)?/p>

(5-31)解上式得iL的零輸入響應(yīng)為

(5-32)

將初始條件代入式(5-32)得

(5-33)令上式中的、，τ為RL電路的時間常數(shù)，具有時間量綱，單位為秒(s)，則式(5-33)變?yōu)?/p>

(5-34)

電感電壓為

(5-35)圖5.13RL零輸入響應(yīng)波形圖將式(5-35)代入式(5-30),得電阻R2上的電壓為

(5-36)

由式(5-34)、式(5-35)和式(5-36)可畫出如圖5.13所示的波形圖。

例5-8

圖5.14所示電路中，RL串聯(lián)由直流電源供電。S開關(guān)在t=0時斷開，設(shè)S斷開前，電路已處于穩(wěn)定狀態(tài)。已知Us=200V，R0=10Ω，L=0.5H，R=40Ω，求換路后iL、uL、uR的響應(yīng)。

解

S斷開前，

S斷開后，

圖5.14例5-8圖其中

所以

例5-9

電路如圖5.15所示，換路前開關(guān)S斷開且電路處于穩(wěn)定狀態(tài)，計算換路后的電流iL。

解在t>0時，S閉合,有

將上式代入得

圖5.15例5-9圖由圖5.15可知：，這樣

用分離變量法解上面的微分方程得

根據(jù)換路定律可知，，代入上式得

這樣

將已知數(shù)據(jù)代入上式得

iL=2+3×(1－e－2t)=(5－3e－2t)A5.3.2RL一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)

如圖5.16所示電路，開關(guān)S閉合前電路中的電流為零，即電路處于零狀態(tài)。開關(guān)閉合后，電感元件中的電流從零逐漸增加到新的穩(wěn)態(tài)值，電感中存儲的磁能從無到有，也就是電感元件的充磁過程。

iL和uL取關(guān)聯(lián)參考方向，換路瞬間，根據(jù)KVL和電磁感應(yīng)定律可得

(5-37)

由換路定律得：iL(0+)=iL(0－)=0，當電路進入新的穩(wěn)定狀態(tài)時

(5-38)圖5.16RL零狀態(tài)響應(yīng)將iL(0+)、iL(+∞)代入三要素公式中得RL零狀態(tài)響應(yīng)為

(5-39)

(5-40)

(5-41)圖5.17RL零狀態(tài)響應(yīng)波形圖

例5-10

電路如圖5.16所示，已知Us=10V，R=10Ω，L=5H，當開關(guān)S閉合后，計算：

(1)電路到達新的穩(wěn)定狀態(tài)時的電流；

(2)t=0s和t=+∞時電感上的電壓。

解

(1)電路到達新的穩(wěn)定狀態(tài)時，電流也到達穩(wěn)定，從而有

(2)電路時間常數(shù)為

t=0s時，電感上的電壓為

t=+∞時，，說明電感L相當于開路。5.3.3RL一階電路的全響應(yīng)

當RL電路中的儲能元件在換路前已有初始磁能，即電感中的電流初始值不為零，同時換路瞬間又有外加激勵信號作用于此電路，這種情況下電路中的響應(yīng)稱為RL一階電路全響應(yīng)。

如圖5.18所示電路，設(shè)開關(guān)S閉合前電路已處于穩(wěn)定狀態(tài)。開關(guān)S閉合時，根據(jù)換路定律得

由KVL得

uL+uR=Us

圖5.18RL全響應(yīng)iL和uL取關(guān)聯(lián)性參考方向時，上式即為

(5-42)

當t=+∞時，，將i(0+)和iL(+∞)代入三要素公式(5-29)得

(5-43)改寫式(5-43)可得

(5-44)

由此可知，RL電路的全響應(yīng)可看成零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的疊加。

例5-11

圖5.18所示的電路中，已知Us=100V，R0=R=

50Ω，L=5H，設(shè)開關(guān)S閉合前電路已處于穩(wěn)態(tài)狀態(tài)。t=0時，開關(guān)S閉合，求閉合后電路中的電流iL和uL。

解

(1)由得

由得

將相關(guān)數(shù)據(jù)代入式(5-43)中得

iL(t)=2+(1－2)e－10t=2－e－10tA

(2)5.4.1RC微分電路

RC組成的微分電路如圖5.19(a)所示，輸入信號為圖5.19(b)所示的占空比為50％的矩形脈沖。占空比是指Tw與T之比，其中Tw指脈寬，T為信號的周期。電路時間常數(shù)τ=RC

比脈寬Tw小很多，輸出電壓uo為電阻R上的電壓。下面對微分電路的充、放電過程進行分析。5.4RC一階電路在脈沖信號作用下的暫態(tài)過程圖5.19微分電路

1.充電過程

在t=0瞬間，因為uC(0+)=uC(0－)=0，所以uo(0+)=ui=U，之后電源通過電阻R對電容進行充電，電容兩端的電壓升高，電路中電流減小，輸出電壓由初始值向新的穩(wěn)態(tài)值零過渡。由于τ<<Tw,充電過程進行得極快，在t<Tw時，uC就已經(jīng)到達穩(wěn)定值，uo衰減到了零，在輸出電阻R上產(chǎn)生1個正尖脈沖，τ越小則脈沖越窄越尖，電路輸出波形如圖5.19(c)所示。當0<t<T/2時，根據(jù)三要素法，輸出電壓uo可表示為

(5-45)

2.放電過程

在t=T／2時，輸入ui等于零，RC組成放電回路，此時uo=－uC=－U。之后由于電路時間常數(shù)τ很小，放電過程很快就結(jié)束了，在輸出端R上形成1個負尖脈沖。電壓輸出波形如圖5.19(c)所示。當T／2<t<T時，輸出電壓uo可表示為

(5-46)

在第2個正脈沖到來之前，電容器上的電荷已全部釋放完畢，電路處于起始狀態(tài)。以后的充、放電將重復第1個周期的情形。在電路充、放電過程中，根據(jù)KVL,有

ui－uo－uC=0

(5-47)

由于τ<<Tw，所以ui≈uC，因此

(5-48)

從電路的充、放電過程可以看出：微分電路尖脈沖的產(chǎn)生是以電路時間常數(shù)充分小為前提條件的。如果充、放電時間很長，則輸出電壓與輸入電壓基本相同，尖脈沖不可能產(chǎn)生，這樣的電路稱為阻容耦合電路，因此RC電路要成為微分電路必須符合以下兩個條件：

(1)電路時間常數(shù)τ比脈寬Tw小得多，即τ<<Tw；

(2)從電阻R上輸出電壓。5.4.2RC積分電路

如果把圖5.19(a)中的電阻、電容互換，且滿足電路時間常數(shù)無限大于脈寬，即τ<<Tw，這時在輸入端加入矩形脈沖信號，輸出端的電壓就近似與輸入電壓成正比，此電路稱為積分電路，如圖5.20(a)所示。下面就電路充、放電兩個過程進行分析。

1.充電過程

在t=0時，輸入電壓雖發(fā)生躍變，但由于τ>>Tw，在脈沖持續(xù)的時間內(nèi)，電容兩端的電壓由初始值零緩慢地向新的穩(wěn)態(tài)值U過渡，當uC還未達到穩(wěn)態(tài)值時，脈沖就已經(jīng)結(jié)束。輸出電壓uo按指數(shù)規(guī)律上升的曲線可近似認為是一條直線，如圖5.20(c)所示。當0<t<T/2時，根據(jù)三要素公式，輸出電壓uo可表示為

(5-49)圖5.20積分電路

2.放電過程

t=T／2時刻，由式(5-49)可得此時電容端電壓為

輸入電壓已經(jīng)躍變?yōu)榱?，電容器將由初始值U1開始緩慢地按衰減的指數(shù)規(guī)律(近似為直線)放電，由于電路時間常數(shù)很大，未等電容器中的電荷完全放完，輸入端的電壓就由零躍變到U，電路又重新開始新一輪充放電，即第2個周期開始。整個充、放電過程形成的輸出波形為鋸齒波，如圖5.20(c)所示。當T／2<t<T時，輸出電壓uo可表示為

(5-50)由于充放電過程極其緩慢，因此

uo=uC<<uR

ui=uR+uC≈uR=iR

即