數(shù)學學案：課堂探究22空間中的平行關系第2課時

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一平面與平面平行的判定定理平面與平面平行判定的四種常用證明方法：(1）(定義法)證明兩個平面沒有公共點,通常采用反證法．（2）（利用判定定理）一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面，證明時應遵循先找后作的原則，即先在一個平面內(nèi)找到兩條與另一個平面平行的相交直線,若找不到再作輔助線．（3）（轉化為線線平行）平面α內(nèi)的兩條相交直線與平面β內(nèi)的兩條直線分別平行，則α∥β．(4）（利用平行平面的傳遞性)若α∥β，β∥γ，則α∥γ．【典型例題1】如圖所示,三棱柱ABCA1B1C1,D是BC上一點,且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中點．求證：平面A1BD1∥平面AC1D．思路分析：由A1B∥平面AC1D?平面A1BC∩平面AC1D＝ED，A1B∥ED?D為BC中點?得出結論．證明：如圖所示，連接A1C交AC1于點E，因為四邊形A1ACC1是平行四邊形，所以E是A1C的中點，連接ED，因為A1B∥平面AC1D，平面A1BC∩平面AC1D＝ED，所以A1B∥ED．因為E是A1C的中點，所以D是BC的中點．又因為D1是B1C1的中點，所以BD1∥C1D,A1D1∥AD．又A1D1∩BD1＝D1，AD∩C1D＝D，所以平面A1BD1∥平面AC1D．探究二平面與平面平行的性質定理1．平面與平面平行的性質定理實際給出了判定兩條直線平行的一種方法，應用時需要作(找）出第三個平面與已知的兩個平行平面的交線，從而說明兩交線平行．類似于線面平行的性質定理，是以平面為媒介證明線線平行的．該定理可以簡單地概括為：面面平行?線線平行．2．兩個平面平行除了具有上述性質外，還有以下結論，這些結論在證題中經(jīng)常遇到．（1)如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的任一直線均平行于另一個平面．（2）夾在兩個平行平面間的平行線段相等．（3）經(jīng)過平面外一點,有且只有一個平面與已知平面平行．(4)兩條直線被三個平行平面所截,截得的對應線段成比例．(5)平行于同一平面的兩個平面平行(即平行平面的傳遞性)．【典型例題2】如圖，在正方體ABCD。A1B1C1D1中，E為CC1的中點，求證：AC∥平面DB1E．證明：取B1B的中點F，連接EF，F(xiàn)C,FA,因為E,F為中點,所以EFBC,又因為BCAD,所以EFAD,所以四邊形EFAD為平行四邊形，所以AF∥DE，又因為E，F(xiàn)為中點,且C1CB1B，有CEB1F，所以四邊形CEB1F為平行四邊形，所以B1E∥FC，因為B1E∩DE＝E，CF∩AF＝F，所以平面ACF∥平面DB1E,因為AC?平面ACF，所以AC∥平面DB1E．【典型例題3】如圖，已知α∥β，點P是平面α，β外的一點（不在α與β之間）,直線PB,PD分別與α,β相交于點A,B和C，D．(1）求證：AC∥BD．(2）已知PA＝4cm,AB＝5cm,PC＝3cm，求PD的長．解：（1）證明:因為PB∩PD＝P，所以不妨設直線PB和PD確定一個平面γ，則α∩γ＝AC,β∩γ＝BD．又α∥β，所以AC∥BD．（2）由（1)得AC∥BD，所以＝，所以＝，所以CD＝（cm），所以PD＝PC＋CD＝(cm）．探究三探索型問題解探索型問題常用策略：（1）（條件探索型）所給問題結論明確,需要完備條件或條件需探索，或條件增刪需確定，或條件正誤需判斷．（2)(結論探索型)先探索結論再去證明,在探索過程中常先從特殊情況入手，通過觀察、分析、歸納進行猜測,得出結論，再就一般情況去證明結論．【典型例題4】如圖所示，在四棱錐P。ABCD中，AB∥CD，E，F(xiàn)分別為PC，PD的中點，在底面ABCD內(nèi)是否存在點Q，使平面EFQ∥平面PAB？若存在，確定點Q的位置；若不存在，說明理由．解：存在．點Q在底面ABCD的中位線GH上,理由如下:取AD，BC的中點G，H，連接FG，HE，GH．因為F，G分別為DP，DA的中點，所以FG∥PA．因為FG平面PAB,PA?平面PAB，所以FG∥平面PAB．因為AB∥CD,EF∥CD，EF∥AB,而EF平面PAB，AB?平面PAB，所以EF∥平面PAB．因為EF∩FG＝F，所以平面EFG∥平面PAB．又GH∥CD,所以GH