數(shù)學(xué)學(xué)案：課堂探究第二講五與圓有關(guān)的比例線段

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一相交弦定理的應(yīng)用相交弦定理的結(jié)論是線段成比例，也可以看成等式,因此利用相交弦定理既可以得到成比例線段,又可以建立方程來解決問題．如下面的典型例題1中，利用相交弦定理列出關(guān)于r的方程．【典型例題1】如圖，過⊙O內(nèi)一點(diǎn)A作直線，交⊙O于B，C兩點(diǎn)，且AB·AC＝64,OA＝10，則⊙O的半徑r＝__________.解析：如圖所示，作直線OA交⊙O于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，則AE＝r－10，AF＝r＋10。由相交弦定理,得(r－10)（r＋10)＝64，解得r1＝2eq\r(41），r2＝－2eq\r(41）（不合題意，舍去）．故r＝2eq\r(41).答案:2eq\r（41)點(diǎn)評(píng)BC為⊙O的一條弦，再找到直徑EF，利用相交弦定理即可．探究二割線定理、切割線定理的應(yīng)用有切線和割線，往往就考查割線定理、切割線定理，而且有時(shí)需要通過轉(zhuǎn)化、代換,才能運(yùn)用定理解題．【典型例題2】如圖，已知⊙O的割線PAB交⊙O于點(diǎn)A和點(diǎn)B，PA＝6cm,AB＝8cm，PO＝10。9cm，求⊙O的半徑．思路分析：由于PO既不是⊙O的切線，也不是割線，故需將PO延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，構(gòu)成圓的一條割線，而OD又恰好是⊙O的半徑，于是運(yùn)用割線定理解題即可．解：如圖，將PO延長(zhǎng)交⊙O于D.根據(jù)割線定理，可得PA·PB＝PC·PD.設(shè)⊙O的半徑為rcm，則6×（6＋8）＝(10。9－r)（10。9＋r）,解得r＝5。9，即⊙O的半徑為5.9cm。反思如果已知條件中出現(xiàn)過圓外同一點(diǎn)的圓的割線，那么常用到割線定理．本題中，利用割線定理列出了關(guān)于半徑r的方程，進(jìn)而求出了r的值．【典型例題3】如圖，AB切⊙O于B，ACD為割線，E為的中點(diǎn)，BE交DC于F，求證：AF2＝AC·AD.思路分析:由切割線定理可知AC·AD＝AB2，故只需證AF＝AB即可．證明：連接BC，BD?！逧為的中點(diǎn)，∴∠DBE＝∠CBE.又AB是⊙O的切線，∴∠ABC＝∠CDB。∴∠ABC＋∠CBE＝∠DBE＋∠CDB，即∠ABF＝∠AFB.∴AB＝AF.又AB是⊙O的切線，ACD為割線,由切割線定理可知AC·AD＝AB2，∴AF2＝AC·AD.點(diǎn)評(píng)已知條件中同時(shí)出現(xiàn)過圓外同一個(gè)點(diǎn)的切線和割線,那么常用到切割線定理．探究三切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用如果已知條件中出現(xiàn)過圓外同一點(diǎn)的切線，那么常用到切線長(zhǎng)定理．要注意分析其中的等量關(guān)系，即①切線長(zhǎng)相等，②圓外點(diǎn)與圓心的連線平分兩條切線的夾角，然后結(jié)合直角三角形、相似三角形等圖形的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算與證明．【典型例題4】如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，過點(diǎn)C的切線與過A，B兩點(diǎn)的切線分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，AF與BE交于點(diǎn)P.求證：∠EPC＝∠EBF.思路分析：eq\x（由切線長(zhǎng)定理）→eq\x(EA＝EC，F(xiàn)C＝FB)→eq\x（\f（EC，F(xiàn)C）＝\f（EP，PB）)→eq\x(CP∥FB）→eq\x（結(jié)論)證明：∵EA，EF，F(xiàn)B是⊙O的切線，∴EA＝EC，F(xiàn)C＝FB。∵EA，F(xiàn)B切⊙O于A，B，AB是直徑，∴EA⊥AB,FB⊥AB.∴EA∥FB.∴eq\f（EA，BF)＝eq\f（EP，BP）?！鄀q\f(EC，F(xiàn)C）＝eq\f（EP，PB），∴CP∥FB.∴∠EPC＝∠EBF。探究四易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)：因定理結(jié)論記憶不清致誤【典型例題5】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，O是AB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，以O(shè)B為半徑作圓交AC于E,F，交AB于D。若E是的中點(diǎn)，且AE∶EF＝3∶1，F(xiàn)C＝4，求∠CBF的正弦值及BC的長(zhǎng)．錯(cuò)解：連接OE，DF，OF。∵E為的中點(diǎn)，∴∠DOE＝∠DBF.∴OE∥BF,∴AO∶OB＝AE∶EF＝3∶1，∴OE∶BF＝3∶4.設(shè)OB＝r,則OA＝3r,BF＝eq\f(4,3）r.∴AD＝AO－DO＝AO－OB＝3r－r＝2r.又由割線定理得，AF·AD＝AE·AB,∴eq\f(AF，AE)＝eq\f（AB,AD)＝eq\f（4r,2r）＝2。錯(cuò)因分析:不能正確運(yùn)用割線定理，因不滿足定理對(duì)應(yīng)條件而致誤．正解：如圖，連接OE，DF,OF，∵E為的中點(diǎn)，∴∠DOE＝∠DBF,∴OE∥BF，∴AO∶OB＝AE∶EF＝3∶1，∴OE∶BF＝3∶4.設(shè)OB＝r,則AO＝3r，BF＝eq\f（4,3)r，∴AD＝AO－DO＝AO－OB＝3r－r＝2r.又由割線定理得AE·AF＝AD·AB?！郃E·AF＝2r·4r，即3EF·4EF＝8r2,∴EF＝eq\f(\r(6），3）r.又由切割線定理，得BC2＝CF·CE＝4(4＋EF）＝4eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(4＋\f(\r(6）,3）r）)。在Rt△ABC中，AB2＋BC2＝AC2，即(4r)2＋4eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(4＋\f(\r（6）,3)r)）＝(4EF＋4）2＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(4，3）\r(6）r＋4)）