高等數(shù)學(xué)（第三版）課件：級(jí)數(shù)

級(jí)數(shù)第一節(jié)無(wú)窮級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)一、無(wú)窮級(jí)數(shù)的概念二、無(wú)窮級(jí)數(shù)的性質(zhì)定義1

若有一個(gè)無(wú)窮數(shù)列

u1，u2，u3，

，un，

此無(wú)窮數(shù)列構(gòu)成下列表達(dá)式

u1+u2+u3++un

+(1)稱(chēng)以上表達(dá)式為(常數(shù)項(xiàng))無(wú)窮級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)(常數(shù)項(xiàng))級(jí)數(shù)，記為其中第n項(xiàng)un叫作級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)或通項(xiàng).

一、無(wú)窮級(jí)數(shù)的概念級(jí)數(shù)(1)的前n項(xiàng)相加得到它的前n項(xiàng)和，記作Sn.即：

我們以級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和作為研究無(wú)窮多項(xiàng)和的基礎(chǔ).由級(jí)數(shù)(1)的前n項(xiàng)和，容易寫(xiě)出：定義2

如果級(jí)數(shù)部分和數(shù)列有極限s，即則稱(chēng)無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂.s稱(chēng)為此級(jí)數(shù)的和.且有若無(wú)極限，則稱(chēng)無(wú)窮級(jí)數(shù)發(fā)散.注意:稱(chēng)為級(jí)數(shù)的余項(xiàng)，

為代替s所產(chǎn)生的誤差

.

二、收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1

若級(jí)數(shù)收斂于和s，則它的各項(xiàng)同乘以一個(gè)常數(shù)k所得的級(jí)數(shù)也收斂，且其和為ks.性質(zhì)2

如果級(jí)數(shù)、分別收斂于即性質(zhì)3

在級(jí)數(shù)前面加上或去掉有限項(xiàng)，不影響級(jí)數(shù)的斂散性.性質(zhì)4

如果級(jí)數(shù)收斂，則對(duì)這級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)仍收斂，且其和不變.注意：發(fā)散級(jí)數(shù)加括號(hào)后有可能收斂，即加括號(hào)后級(jí)數(shù)收斂，原級(jí)數(shù)未必收斂.推論：如果加括號(hào)以后所成的級(jí)數(shù)發(fā)散，則原級(jí)數(shù)也發(fā)散.性質(zhì)5(收斂的必要條件)如果收斂，則它的一般項(xiàng)趨于零，即級(jí)數(shù)結(jié)論：由此我們可得注意:

級(jí)數(shù)收斂的必要條件常用于級(jí)數(shù)發(fā)散的判定.第二節(jié)正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其斂散性一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其收斂的充要條件二、正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的比較判別法三、正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的比值判別法

一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法定義

設(shè)級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)都是非負(fù)數(shù),則稱(chēng)此級(jí)數(shù)是

顯然,正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和{sn}數(shù)列是單調(diào)增加的，即正項(xiàng)級(jí)數(shù).定理1

正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是：它的部分和數(shù)列{sn}有界.證明:這是一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，其部分和為:故{sn}有界，所以原級(jí)數(shù)收斂.定理2(比較審斂法)設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)收斂；反之，若級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)也發(fā)散.

二、正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的比較判別法則有：若發(fā)散，則也發(fā)散;且當(dāng)時(shí)，有成立，則有：若收斂，則也收斂.推論設(shè)級(jí)數(shù)和是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且存在自然數(shù)N，使當(dāng)時(shí)，有（k>0)成立，例2

判定p-級(jí)數(shù)的斂散性.常數(shù)p>0.由此可得結(jié)論，p級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)發(fā)散，p>1時(shí)收斂.由比較判別法可知，所給級(jí)數(shù)也發(fā)散.而級(jí)數(shù)是發(fā)散的；定理４(達(dá)朗貝爾比值判別法)設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果(1)當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；(3)當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)可能收斂，可能發(fā)散.(2)當(dāng)()時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散.

三、正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的比值判別法例7

判別級(jí)數(shù)解:由比值判別法可知所給級(jí)數(shù)發(fā)散.此時(shí)，比值判別法失效，用其他方法判定;第三節(jié)絕對(duì)收斂與條件收斂一、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其斂散性二、絕對(duì)收斂與條件收斂

一、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法定義正負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)，稱(chēng)為交錯(cuò)級(jí)數(shù).定理1(萊布尼茲定理)

則級(jí)數(shù)收斂，且其和，并且其余項(xiàng)

的絕對(duì)值:(1)級(jí)數(shù)前項(xiàng)大于后項(xiàng)，即(2)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)趨于零，即如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)證明:先證明前2n項(xiàng)的和s2n的極限存在，為此將s2n寫(xiě)成兩種形式:由(1)式可知{s2n}是單調(diào)增加的；由(2)式可知s2n<u1.由單調(diào)有界數(shù)列必有極限的準(zhǔn)則，知：當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，s2n趨于一個(gè)極限s，并且s不大于u1，即再證明前2n+1項(xiàng)的和s2n+1的極限也是s，有

二、絕對(duì)收斂與條件收斂任意項(xiàng)級(jí)數(shù)：一般的級(jí)數(shù)，它的各項(xiàng)為又有正數(shù)，又有負(fù)數(shù)的任意實(shí)數(shù).定義(1)如果級(jí)數(shù)的各項(xiàng)絕對(duì)值所組成的級(jí)數(shù)收斂，則稱(chēng)原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；(2)如果級(jí)數(shù)收斂，而它的各項(xiàng)絕對(duì)值所組成的級(jí)數(shù)發(fā)散，則稱(chēng)原級(jí)數(shù)條件收斂.定理2

如果任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的各項(xiàng)絕對(duì)值組成的級(jí)數(shù)收斂，則原級(jí)數(shù)必定收斂.解因?yàn)槎?jí)數(shù)收斂，是絕對(duì)收斂還是條件收斂．例２判定級(jí)數(shù)所以也收斂，故絕對(duì)收斂．注意：(1)由于任意項(xiàng)級(jí)數(shù)各項(xiàng)的絕對(duì)值組成的級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，一切判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別法，都可以用來(lái)判定任意項(xiàng)級(jí)數(shù)是否絕對(duì)收斂.

第四節(jié)冪級(jí)數(shù)一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念二、冪級(jí)數(shù)及其斂散性三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算

一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念定義在區(qū)間I上的函數(shù)列則由這函數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式稱(chēng)為定義在區(qū)間I上的(函數(shù))無(wú)窮級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)(函數(shù)項(xiàng))級(jí)數(shù).

對(duì)于每一個(gè)確定的值，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(1)成為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義

形如的級(jí)數(shù)，稱(chēng)為(x?x0)的冪級(jí)數(shù)，均是常數(shù)，稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)的系數(shù).稱(chēng)為x的冪級(jí)數(shù)，它的每一項(xiàng)都是x的冪函數(shù).我們主要討論這種類(lèi)型的冪級(jí)數(shù).當(dāng)x0=0時(shí)，(1)式變?yōu)椋?/p>

二、冪級(jí)數(shù)及其斂散性定理2

如果冪級(jí)數(shù)的系數(shù)滿足條件：例2

求冪數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間.對(duì)于端點(diǎn)x=1，級(jí)數(shù)成為交錯(cuò)級(jí)數(shù),收斂.對(duì)于端點(diǎn)x=1，級(jí)數(shù)成為：

三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算

如果冪級(jí)數(shù)的收斂半徑分別為R1>0和R2>0，則收斂半徑R等于R1和R2中較小的一個(gè).性質(zhì)1

如果冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上連續(xù).性質(zhì)2如果冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上可積，并有逐項(xiàng)積分公式即冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)積分，并且積分后所得到的冪級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑.性質(zhì)3

冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂區(qū)間(R,+R)內(nèi)可導(dǎo)，且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式即冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)，并且求導(dǎo)后所得到的冪級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑.第五節(jié)函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)一、泰勒級(jí)數(shù)二、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)

一、泰勒級(jí)數(shù)定義如果f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)，則稱(chēng)冪級(jí)數(shù)為f(x)在x0的泰勒級(jí)數(shù).當(dāng)x0=0時(shí)，泰勒級(jí)數(shù)為:稱(chēng)之為f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù).定理1(泰勒中值定理)如果函數(shù)f(x)在含點(diǎn)x0的區(qū)間(a,b)內(nèi)，有一階直到n階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)x取區(qū)間(a,b)內(nèi)的任何值時(shí)，f(x)可以按(x?x0)的方冪展開(kāi)為：其中：公式(3)稱(chēng)為函數(shù)f(x)的泰勒公式，余項(xiàng)(4)稱(chēng)為拉格朗日余項(xiàng).定理2

設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域U(x0)內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)，則f(x)在該鄰域內(nèi)可展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件是f(x)的泰勒公式余項(xiàng)Rn(x)當(dāng)時(shí)的極限為零，即：

二、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)

將函數(shù)展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù)(也稱(chēng)麥克勞林展開(kāi)式)的基本法，其一般步驟為：間接展開(kāi)法利用一些已知的函數(shù)展開(kāi)式、冪級(jí)數(shù)運(yùn)算(如四則運(yùn)算、逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分)以及變量代換等，將所給函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù).分別令q=?x、?x2有：將(9)、(10)式分別從0到x逐項(xiàng)積分，得：一、三角函數(shù)系的正交性二、函數(shù)展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù)第六節(jié)傅立葉級(jí)數(shù)

一、三角函數(shù)系的正交性2、三角函數(shù)系為1、三角級(jí)數(shù)三角級(jí)數(shù),3、三角函數(shù)系的正交性

三角函數(shù)系在上正交,是指三角函數(shù)系中任何不同的兩個(gè)函數(shù)的乘積在區(qū)間上的積分等于零.即注意:

在三角函數(shù)系中,兩個(gè)相同函數(shù)的乘積在區(qū)間上的積分不等于零，即:

二、函數(shù)展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù)1、函數(shù)展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù)的含義:并設(shè)三角級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)積分.則此式稱(chēng)為函數(shù)f(x)的傅立葉級(jí)數(shù)，傅立葉系數(shù).將代入三角級(jí)數(shù)的右端，得：即：類(lèi)似可得：3、收斂定理(狄里克雷充分條件)設(shè)

f(x)是周期為的周期函數(shù)，如果它滿足：(1)在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn)；

(2)在一個(gè)周期內(nèi)至多只有有限個(gè)極值點(diǎn).當(dāng)x是f(x)的連續(xù)點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于f(x);當(dāng)x是f(x)的間斷點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于則f(x)的傅立葉級(jí)數(shù)收斂，并且：狄里克雷充分條件的解釋:(1)即函數(shù)f(x)在上不作無(wú)限次振動(dòng)，函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)在連續(xù)點(diǎn)處就收斂于該點(diǎn)的函數(shù)值f(x);(2)在間斷點(diǎn)，則收斂于該點(diǎn)的左極限與右極限的算術(shù)平均值.通常把間斷點(diǎn)分成兩類(lèi)：如果x0是函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)，但左極限f(x0-)及f(x0+)都存在，那么x0稱(chēng)為函數(shù)的第一類(lèi)間斷點(diǎn).不是第一類(lèi)間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)，稱(chēng)為第二類(lèi)間斷點(diǎn).將f(x)展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù).(3)傅立葉展開(kāi)式為：4、周期延拓:

若f(x)不是周期為的周期函數(shù)，只在上有定義，并滿足狄利克雷條件，可在或外補(bǔ)充函數(shù)