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2025屆浙江省五校(鎮(zhèn)海中學(xué)高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn),則A. B.C. D.2.中,點(diǎn)在邊上,平分,若,,,,則()A. B. C. D.3.設(shè)復(fù)數(shù),則=()A.1 B. C. D.4.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C. D.5.在中,角的對(duì)邊分別為,若,則的形狀為()A.直角三角形 B.等腰非等邊三角形C.等腰或直角三角形 D.鈍角三角形6.新聞出版業(yè)不斷推進(jìn)供給側(cè)結(jié)構(gòu)性改革,深入推動(dòng)優(yōu)化升級(jí)和融合發(fā)展,持續(xù)提高優(yōu)質(zhì)出口產(chǎn)品供給,實(shí)現(xiàn)了行業(yè)的良性發(fā)展.下面是2012年至2016年我國新聞出版業(yè)和數(shù)字出版業(yè)營收增長情況,則下列說法錯(cuò)誤的是()A.2012年至2016年我國新聞出版業(yè)和數(shù)字出版業(yè)營收均逐年增加B.2016年我國數(shù)字出版業(yè)營收超過2012年我國數(shù)字出版業(yè)營收的2倍C.2016年我國新聞出版業(yè)營收超過2012年我國新聞出版業(yè)營收的1.5倍D.2016年我國數(shù)字出版營收占新聞出版營收的比例未超過三分之一7.趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家,大約公元222年,趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí),介紹了“勾股圓方圖”,又稱“趙爽弦圖”(以弦為邊長得到的正方形是由個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成的,如圖(1)),類比“趙爽弦圖”,可類似地構(gòu)造如圖(2)所示的圖形,它是由個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小正六邊形組成的一個(gè)大正六邊形,設(shè),若在大正六邊形中隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自小正六邊形的概率為()A. B.C. D.8.已知數(shù)列的首項(xiàng),且,其中,,,下列敘述正確的是()A.若是等差數(shù)列,則一定有 B.若是等比數(shù)列,則一定有C.若不是等差數(shù)列,則一定有 D.若不是等比數(shù)列,則一定有9.函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)公差為的等差數(shù)列,要得到函數(shù)的圖象,只需將的圖象()A.向左平移個(gè)單位 B.向右平移個(gè)單位C.向左平移個(gè)單位 D.向右平移個(gè)單位10.在平面直角坐標(biāo)系中,若不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn),使不等式成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.11.已知函數(shù),若則()A.f(a)<f(b)<f(c) B.f(b)<f(c)<f(a)C.f(a)<f(c)<f(b) D.f(c)<f(b)<f(a)12.已知定點(diǎn),,是圓上的任意一點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為,線段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn),則點(diǎn)的軌跡是()A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.圓二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知集合U={1,3,5,9},A={1,3,9},B={1,9},則?U(A∪B)=________.14.已知復(fù)數(shù)z是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)a=_____,|z|=_____.15.已知點(diǎn)是直線上的一點(diǎn),將直線繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角,所得直線方程是,若將它繼續(xù)旋轉(zhuǎn)角,所得直線方程是,則直線的方程是______.16.若曲線(其中常數(shù))在點(diǎn)處的切線的斜率為1,則________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知矩陣不存在逆矩陣,且非零特低值對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量,求的值.18.(12分)已知函數(shù),且曲線在處的切線方程為.(1)求的極值點(diǎn)與極值.(2)當(dāng),時(shí),證明:.19.(12分)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,為數(shù)列的前項(xiàng)和.求證:.20.(12分)已知函數(shù).(1)若,求不等式的解集;(2)若“,”為假命題,求的取值范圍.21.(12分)已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的極值;(2)記關(guān)于的方程的兩根分別為,求證:.22.(10分)在中,角所對(duì)的邊分別是,且.(1)求角的大?。唬?)若,求邊長.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn),所以,則,即.故選D.2、B【解析】
由平分,根據(jù)三角形內(nèi)角平分線定理可得,再根據(jù)平面向量的加減法運(yùn)算即得答案.【詳解】平分,根據(jù)三角形內(nèi)角平分線定理可得,又,,,,..故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,代入化簡即可求解.【詳解】復(fù)數(shù),則故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算與化簡求值,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算,即可容易求得結(jié)果.【詳解】.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,屬基礎(chǔ)題.5、C【解析】
利用正弦定理將邊化角,再由,化簡可得,最后分類討論可得;【詳解】解:因?yàn)樗运运运运援?dāng)時(shí),為直角三角形;當(dāng)時(shí)即,為等腰三角形;的形狀是等腰三角形或直角三角形故選:.【點(diǎn)睛】本題考查三角形形狀的判斷,考查正弦定理的運(yùn)用,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】
通過圖表所給數(shù)據(jù),逐個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證.【詳解】根據(jù)圖示數(shù)據(jù)可知選項(xiàng)A正確;對(duì)于選項(xiàng)B:,正確;對(duì)于選項(xiàng)C:,故C不正確;對(duì)于選項(xiàng)D:,正確.選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查柱狀圖是識(shí)別和數(shù)據(jù)分析,題目較為簡單.7、D【解析】
設(shè),則,小正六邊形的邊長為,利用余弦定理可得大正六邊形的邊長為,再利用面積之比可得結(jié)論.【詳解】由題意,設(shè),則,即小正六邊形的邊長為,所以,,,在中,由余弦定理得,即,解得,所以,大正六邊形的邊長為,所以,小正六邊形的面積為,大正六邊形的面積為,所以,此點(diǎn)取自小正六邊形的概率.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查余弦定理、幾何概型等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】
根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】A:當(dāng)時(shí),,顯然符合是等差數(shù)列,但是此時(shí)不成立,故本說法不正確;B:當(dāng)時(shí),,顯然符合是等比數(shù)列,但是此時(shí)不成立,故本說法不正確;C:當(dāng)時(shí),因此有常數(shù),因此是等差數(shù)列,因此當(dāng)不是等差數(shù)列時(shí),一定有,故本說法正確;D:當(dāng)時(shí),若時(shí),顯然數(shù)列是等比數(shù)列,故本說法不正確.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義,考查了推理論證能力,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】依題意有的周期為.而,故應(yīng)左移.10、B【解析】
依據(jù)線性約束條件畫出可行域,目標(biāo)函數(shù)恒過,再分別討論的正負(fù)進(jìn)一步確定目標(biāo)函數(shù)與可行域的基本關(guān)系,即可求解【詳解】作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,如圖所示:其中,直線過定點(diǎn),當(dāng)時(shí),不等式表示直線及其左邊的區(qū)域,不滿足題意;當(dāng)時(shí),直線的斜率,不等式表示直線下方的區(qū)域,不滿足題意;當(dāng)時(shí),直線的斜率,不等式表示直線上方的區(qū)域,要使不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn),使不等式成立,只需直線的斜率,解得.綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍為,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查由目標(biāo)函數(shù)有解求解參數(shù)取值范圍問題,分類討論與數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題11、C【解析】
利用導(dǎo)數(shù)求得在上遞增,結(jié)合與圖象,判斷出的大小關(guān)系,由此比較出的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增;在同一坐標(biāo)系中作與圖象,,可得,故.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.12、B【解析】
根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì),結(jié)合三角形中位線定理、圓錐曲線和圓的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)榫€段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn),如下圖所示:所以有,而是中點(diǎn),連接,故,因此當(dāng)在如下圖所示位置時(shí)有,所以有,而是中點(diǎn),連接,故,因此,綜上所述:有,所以點(diǎn)的軌跡是雙曲線.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和推理論證能力,考查了分類討論思想.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、{5}【解析】易得A∪B=A={1,3,9},則?U(A∪B)={5}.14、11【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算復(fù)數(shù)z,根據(jù)復(fù)數(shù)的概念和模長公式計(jì)算得解.【詳解】復(fù)數(shù)z,∵復(fù)數(shù)z是純虛數(shù),∴,解得a=1,∴z=i,∴|z|=1,故答案為:1,1.【點(diǎn)睛】此題考查復(fù)數(shù)的概念和模長計(jì)算,根據(jù)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)建立方程求解,計(jì)算模長,關(guān)鍵在于熟練掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則.15、【解析】
求出點(diǎn)坐標(biāo),由于直線與直線垂直,得出直線的斜率為,再由點(diǎn)斜式寫出直線的方程.【詳解】由于直線可看成直線先繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角,再繼續(xù)旋轉(zhuǎn)角得到,則直線與直線垂直,即直線的斜率為所以直線的方程為,即故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了求直線的方程,涉及了求直線的交點(diǎn)以及直線與直線的位置關(guān)系,屬于中檔題.16、【解析】
利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,由解方程即可.【詳解】由已知,,所以,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力,是一道基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】
由不存在逆矩陣,可得,再利用特征多項(xiàng)式求出特征值3,0,,利用矩陣乘法運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)椴淮嬖谀婢仃?,,所?矩陣的特征多項(xiàng)式為,令,則或,所以,即,所以,所以【點(diǎn)睛】本題考查矩陣的乘法及特征值、特征向量有關(guān)的問題,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,是一道容易題.18、(1)極小值點(diǎn)為,極小值為,無極大值;(2)證明見解析【解析】
先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),結(jié)合已知及導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求,結(jié)合單調(diào)性即可求解函數(shù)的極值點(diǎn)及極值;令,問題可轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值,結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求.【詳解】(1)由題得函數(shù)的定義域?yàn)?,由已知得,解得∴,令,得令,得,∴在上單調(diào)遞增.令,得∴在上單調(diào)遞減∴的極小值點(diǎn)為,極小值為,無極大值.(2)證明:由(1)知,∴,令,即∵,,∴恒成立.∴在上單調(diào)遞增又,∴在上恒成立∴在上恒成立∴,即∴【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問題,考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平,屬于中檔題.19、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)利用求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)先將縮小即,由此結(jié)合裂項(xiàng)求和法、放縮法,證得不等式成立.【詳解】(1)∵,令,得.又,兩式相減,得.∴.(2)∵.又∵,,∴.∴.∴.【點(diǎn)睛】本小題主要考查已知求,考查利用放縮法證明不等式,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.20、(1)(2)【解析】
(1))當(dāng)時(shí),將函數(shù)寫成分段函數(shù),即可求得不等式的解集.(2)根據(jù)原命題是假命題,這命題的否定為真命題,即“,”為真命題,只需滿足即可.【詳解】解:(1)當(dāng)時(shí),由,得.故不等式的解集為.(2)因?yàn)椤埃睘榧倜},所以“,”為真命題,所以.因?yàn)椋?,則,所以,即,解得,即的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的解法,以及絕對(duì)值三角不等式,屬于基礎(chǔ)題.21、(1)見解析;(2)見解析【解析】
(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),對(duì)參數(shù)討論,得函數(shù)單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而求出極值;(2)是方程的兩根,代入方程,化簡換元,構(gòu)造新函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性求最值可解.【詳解】(1)依題意,;若,則,則函數(shù)在上單調(diào)遞增,此時(shí)函數(shù)既無極大值,也無極小值;若,則,令,解得,故當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,此時(shí)函數(shù)有極大值,無極小值;若,則,令,解得,故當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,此時(shí)函數(shù)有極大值,無極小值;(2)依題意,,則,,故,;要證:,即證,即證:,即證,設(shè),只需證:,設(shè),則,故在上單調(diào)遞增,故,即,故.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)極值及利用導(dǎo)數(shù)證明二元不等式.證明二元不等式常用方法是轉(zhuǎn)化為證明一
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