第01講 集合綜合（秋季講義）（人教A版2019必修第一冊）（含答案解析）

第01講集合綜合【人教A版2019】模塊一模塊一集合的概念與表示一、集合的概念1．集合概念(1)元素：一般地，把研究對象統(tǒng)稱為元素，元素常用小寫的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集)，集合通常用大寫的拉丁字母A，B，C，…表示．2．集合中元素的特性(1)確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的．也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了．簡記為“確定性”．(2)互異性：一個給定集合中的元素是互不相同的．也就是說，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的．簡記為“互異性”．(3)無序性：給定集合中的元素是不分先后，沒有順序的．簡記為“無序性”．3．元素與集合的關(guān)系(1)屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A．(2)不屬于：如果a不是集合A的元素，就說a不屬于集合A，記作a?A．【注】符號“∈”和“?”只能用于元素與集合之間，并且這兩個符號的左邊是元素，右邊是集合，具有方向性，左右兩邊不能互換.4．常見數(shù)集數(shù)學(xué)中的一些常用的數(shù)集及其記法：5．集合的分類集合的分類：有限集、無限集．特殊集合：空集，記為?.二、集合的表示方法列舉法、描述法、圖示法、區(qū)間法.【題型1集合中元素的互異性】【例1.1】（23-24高三下·山東青島·開學(xué)考試）已知x∈1,2,x2，則xA．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2【解題思路】根據(jù)條件，利用元素與集合的關(guān)系及集合的性質(zhì)即可求解.【解答過程】由元素和集合關(guān)系可知：x=1或x=2或x=x解的x=0或1或2，由集合的性質(zhì)可知，當(dāng)x=1時，1,2,1不滿足互異性，所以x的取值為0或2.故選：C.【例1.2】（23-24高一上·廣東江門·階段練習(xí)）已知集合A=12,a2+4a,a?2，?3∈A，則A．?1 B．?3或1 C．3 D．?3【解題思路】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求出a值，然后代入檢驗即得.【解答過程】因A=12,a2+4a,a?2，?3∈A，故有：由a2+4a=?3解得：a=?1或a=?3，由a?2=?3解得：又因a=?1時，a2+4a=a?2=?3，與集合元素互異性矛盾，故舍去，而a=?3時故選：D.【變式1.1】（23-24高一上·四川成都·階段練習(xí)）已知集合A=0,2a+1,a2?2，若A．1 B．-1 C．0 D．±1【解題思路】根據(jù)?1∈A得a2?2=?1或【解答過程】由?1∈A，可得a2?2=?1或2a+1=?1，解得：a=1或當(dāng)a=1時，集合A=0,3,?1當(dāng)a=?1時，集合A=0,?1,?1綜上，a=1.故選：A.【變式1.2】（23-24高一·全國·課后作業(yè)）由a2,2?a，4組成一個集合A，且A中含有3個元素，則實數(shù)a的取值可以是（A．1 B．?2 C．?1 D．2【解題思路】逐個選項代入判斷是否滿足集合的互異性即可.【解答過程】對A，當(dāng)a=1時，a2=1，對B，當(dāng)a=?2時，a2對C，當(dāng)a=?1時，a2=1，對D，當(dāng)a=2時，a2故選：C.【題型2元素與集合關(guān)系求參】【例2.1】（24-25高一上·全國·單元測試）已知集合A=0,m,m2?3m+2，且2∈A，則實數(shù)A．2 B．3 C．0 D．?2【解題思路】分別令m=2，m2?3m+2=2，解出【解答過程】若m=2，則m2?3m+2=0，則A=0,2,0根據(jù)集合中元素的互異性知不符合題意，舍去；若m2?3m+2=2若m=0，則A=0,0,2若m=3，則A=0,3,2故選：B.【例2.2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知集合A=0,m,m2?3m+2，且2∈A，則實數(shù)A．2 B．3 C．0或3 D．0,2,3【解題思路】由題意可得m=2或m2【解答過程】因為A=0,m,m2所以m=2或m2①若m=2，此時m2②若m2?3m+2=2，解得當(dāng)m=0時不滿足元素的互異性，當(dāng)m=3時，A={0,3,2}符合題意.綜上所述，m=3.故選：B.【變式2.1】（2024·貴州貴陽·模擬預(yù)測）若集合A={x|2mx?3>0,m∈R}，其中2∈A且1?A，則實數(shù)m的取值范圍是（A．34,32 B．34,【解題思路】借助元素與集合的關(guān)系計算即可得.【解答過程】由題意可得2m×2?3>02m×1?3≤0，解得3故選：A.【變式2.2】（2024高一上·全國·專題練習(xí)）已知集合A=x∈Rax2+2x+1=0，其中a∈R.若1是集合AA．?3 B．1 C．?13,1【解題思路】根據(jù)1是集合A中的一個元素，求得a，進而再解方程求解.【解答過程】解：∵1∈A,∴a+2+1=0,∴a=?3，∴集合A中的方程為?3x解得x=?13或x=1，故選：C．模塊二模塊二集合間的基本關(guān)系一、集合間的基本關(guān)系1．子集定義一般地，對于兩個集合A,B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，稱集合A為集合B的子集記法

與讀法記作(或)，讀作“A包含于B”(或“B包含A”)圖示或結(jié)論(1)任何一個集合是它本身的子集，即；

(2)對于集合A,B,C，若，且，則2．真子集定義如果集合，但存在元素，且，我們稱集合A是集合B的真子集記法記作(或)圖示結(jié)論(1)且，則；

(2)，且，則3．集合相等如果集合A的任何一個元素是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么，集合A與集合B相等，記作A＝B.也就是說，若A?B且B?A，則A＝B.4．空集的概念(1)定義：不含任何元素的集合叫做空集，記為?.(2)規(guī)定：空集是任何集合的子集.【題型3集合關(guān)系的判斷】【例3.1】（24-25高三上·湖北荊門·階段練習(xí)）如果集合S=x|x=3n+1,n∈Z，T=x|x=3k?2,k∈A．S?T B．T?S C．S=T D．S∈T【解題思路】由T=x|x=3k?2,k∈【解答過程】集合S=x|x=3n+1,n∈Z，∴S=T．故選：C．【例3.2】（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）已知集合M=x|x=m+16,m∈Z，N=x|x=n2?13,n∈ZA．M=N?P B．M?N=PC．M?N?P D．N?P?M【解題思路】先將集合M,N,P化簡變形成統(tǒng)一形式，然后分析判斷即可.【解答過程】因為M=xx=m+16,m∈ZN=xx=n2?13故選：B．【變式3.1】（23-24高一上·河南鄭州·階段練習(xí)）若A={x|x=k6+1,k∈Z}A．A?B?C B．A?C?BC．C?B?A D．C?A?B【解題思路】先化簡集合A,B,C,再結(jié)合集合的包含關(guān)系判斷集合間關(guān)系即可.【解答過程】依題意，A={x|x=k+66,k∈C={x|x=4k+36,k∈Z}={x|x=因此集合C中的任意元素都是集合B中的元素，即有C?B，集合B中的每一個元素都是集合A中的元素，即B?A，所以C?B?A.故選：C.【變式3.2】（23-24高三·全國·對口高考）下面有四個命題：①3?②若a=22,B=x∈③若?a不屬于N?，則a屬于N④若A=xy=其中真命題的個數(shù)為（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【解題思路】根據(jù)子集概念判斷①，由元素與集合關(guān)系判斷②③，化簡集合A,B判斷④.【解答過程】①由子集概念知3?②因為22<2+2③當(dāng)a=0時，?0?N?，④因為A=xy=1?故選：B.【題型4已知集合間關(guān)系求參】【例4.1】（23-24高一上·河北滄州·期中）已知集合A=2,6(1)若集合B=a+1，a(2)若集合C=xax2?x+6=0，且A【解題思路】（1）利用集合相等的條件求a的值；（2）由A與C有包含關(guān)系得C?A，再利用集合子集的元素關(guān)系分類討論求解即可.【解答過程】（1）因為A=2,6，且A=B所以a+1=2a2?23=6或a2?23=2a+1=6故a=5.（2）因為A與C有包含關(guān)系，A=2,6，C=所以C?A.當(dāng)a=0時，C=6當(dāng)a≠0時，當(dāng)C=?時，Δ=1?4a×6<0，解得a>當(dāng)C=2時，Δ=1?4a×6=0且當(dāng)C=6時，Δ=1?4a×6=0且當(dāng)C=2,6時，Δ=1?4a×6>0且綜上，a的取值范圍為aa=0【例4.2】（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）已知A=x|(1)若A?B，求a的值；(2)若B?A，求實數(shù)a的取值范圍.【解題思路】（1）先求出集合A，再利用條件A?B，根據(jù)集合與集合間的包含關(guān)系，即可求出a值；（2）對集合B進行分類討論：B=?和B≠?，再利用集合與集合間的包含關(guān)系，即可求出a的范圍；【解答過程】（1）由方程x2?2x?8=0，解得x=?2所以A=?2,4，又A?B，B=所以B=?2,4，即方程x2+ax+a2利用韋達定理得到：?2+4=?a，即a=?2；（2）由已知得A=?2,4，又B?A所以B=?時，則Δ=a2?4(a2?12)<0當(dāng)B≠?時，若B中僅有一個元素，則Δ=a2?4(a當(dāng)a=4時，B=?2，滿足條件；當(dāng)a=?4時，B=若B中有兩個元素，則B=A，利用韋達定理得到，?2+4=?a(?2)×4=a2綜上，實數(shù)a的取值范圍是a≥4或a<?4或a=?2.【變式4.1】（23-24高一上·上海徐匯·階段練習(xí)）已知集合A=x|(1)若集合A至多有1個元素，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若A?(?∞,0)，求實數(shù)【解題思路】（1）由集合元素的個數(shù)轉(zhuǎn)化為方程根的個數(shù)列不等式即可求得實數(shù)m的取值范圍；（2）根據(jù)集合關(guān)系，討論A=?或x2?2x+m=0只有負根，列不等式即可求得實數(shù)【解答過程】（1）若集合A=x|x2所以Δ=4?4m≤0，故m≥1（2）由題意得A=?或x2當(dāng)A=?時，Δ=4?4m<0，故m>1當(dāng)x2?2x+m=0只有負根時，綜上，實數(shù)m的取值范圍為m>1.【變式4.2】（23-24高一上·安徽滁州·階段練習(xí)）已知集合A=x|4?2k<x<2k?8，B=(1)若A?B，求實數(shù)k的取值范圍；(2)若B?A，求實數(shù)k的取值范圍.【解題思路】根據(jù)集合之間的包含關(guān)系，建立不等式組，解得答案.【解答過程】（1）因為A?B，①當(dāng)A=?時：4?2k≥2k?8，即k≤3符合題意；②當(dāng)A≠?時，4?2k<2k?82k?8≤k4?2k≥?k，綜上所述：k≤4.（2）因為B?A，①當(dāng)B=?時，A≠?，∴?k≥k4?2k<2k?8，解得②當(dāng)B≠?時，?k<kk≤2k?8?k>4?2k或∴k≥8或綜上所述：k≥8.模塊模塊三集合的基本運算一、集合的基本運算1．并集的概念及表示自然語言符號語言圖形語言由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作A∪B(讀作“A并B”)A∪B={x|x∈A,或x∈B}2．交集的概念及表示自然語言符號語言圖形語言由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集，記作A∩B(讀作"A交B")A∩B={x|x∈A,且x∈B}3．補集定義文字

語言對于一個集合A，由全集U中不屬于集合

A的所有元素組成的集合稱為集合A相

對全集U的補集，簡稱為集合A的補集，

記作?UA符號

語言?UA={x|x∈U,且x?A}圖形

語言性質(zhì)(1)

(2)4．集合關(guān)系的轉(zhuǎn)化(1)；(2).5．Venn圖表達集合的關(guān)系和運算如圖所示的陰影部分是常用到的含有兩個集合運算結(jié)果的Venn圖表示.【題型5交、并、補集混合運算】【例5.1】（23-24高二下·遼寧大連·階段練習(xí)）若集合A=x|1<x≤6，B=x|1x?7<0A．{x|x≤1或6≤x≤7} B．{x|x≤1或6<x<7}C．{x|x<1或6≤x<7} D．{x|x≤1或6<x≤7}【解題思路】根據(jù)題意求集合B，再結(jié)合補集和交集運算求解.【解答過程】因為集合A=x|1<x≤6，B=則?RA={x|x≤1或x>6}，所以?RA∩B=故選：B．【例5.2】（2023·全國·高考真題）設(shè)集合U=R，集合M=xx<1，N=x?1<x<2，則A．?UM∪N C．?UM∩N 【解題思路】由題意逐一考查所給的選項運算結(jié)果是否為x|x≥2即可.【解答過程】由題意可得M∪N=x|x<2，則??UM=x|x≥1M∩N=x|?1<x<1，則?UM∩N?UN=x|x≤?1或x≥2，則M∪?U故選：A.【變式5.1】（23-24高一上·河南鄭州·階段練習(xí)）設(shè)全集U=?2,?1,0,1,2，集合A=?2,1，B=xx2A．?2,1,0 B．?2C．1 D．?2,?1,1,2【解題思路】確定B=0,1，?【解答過程】B=xx2?x=0=A=?2,1，故A∩故選：B.【變式5.2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知全集U，集合M，N滿足M?N?U，則下列結(jié)論正確的是（

）A．M∪N=U B．?C．M∩(?UN)=?【解題思路】由題意作出Venn圖，再由集合的運算逐一判斷即可.【解答過程】全集U，集合M，N滿足M?N?U，繪制Venn圖，如下：

對于A：M∪N=N，A錯誤；對于B：?U對于C：M∩(?UN)=?故選：C.【題型6由集合運算結(jié)果求參】【例6.1】（23-24高一上·四川成都·期中）已知集合M=x1<x<4，集合(1)求M∩N和M∪?(2)設(shè)A=xa≤x≤a+3，若A∪?【解題思路】（1）根據(jù)集合的交并補運算，可得答案；（2）根據(jù)并集的結(jié)果，建立不等式組，可得答案.【解答過程】（1）由題意，可得?RN=xx≤3或x≥5（2）因為A=xa≤x≤a+3，若所以a≤3a+3≥5解得2≤a≤3，所以a的取值范圍是2,3【例6.2】（23-24高二下·遼寧葫蘆島·階段練習(xí)）已知集合A=x|x<?3或x>7，B=(1)若?RA∪B=(2)若?RA∩B=x|a≤x≤b，且【解題思路】（1）根據(jù)并集結(jié)果可得B??RA，分別討論B=?（2）由交集結(jié)果可知B≠?，分別討論2m?1<7、2m?1>7m+1≤7和m+1>7，根據(jù)b?a≥1【解答過程】（1）由題意知：?R因為?RA∪B=①當(dāng)B=?，即m+1>2m?1時，滿足B??RA②當(dāng)B≠?，若B??RA，則m+1≤2m?1綜上所述：m的取值范圍為m|m≤4（2）因為?RA∩B=x|a≤x≤b，且b?a≥1，故解得m≥2，則m+1≥3，2m?1≥3；①當(dāng)2m?1≤7，即m≤4時，?R故2m?1?m+1≥1，解得②當(dāng)2m?1>7m+1≤7，即4<m≤6時，?故7?m+1≥1，解得③當(dāng)m+1>7，即m>6時，?R綜上所述，m的取值范圍為m|3≤m≤5.【變式6.1】（23-24高一上·江蘇常州·階段練習(xí)）已知集合A={(x,y)|y2?x?1=0}，(1)若k=b=1，求A∩C；(2)是否存在自然數(shù)k，b，使得(A∪B)∩C=?？若存在，求出k，b的值；若不存在，說明理由．【解題思路】（1）根據(jù)題意得到y(tǒng)=x+1y2（2）題目轉(zhuǎn)化為A∩C=?且B∩C=?，聯(lián)立方程，考慮k=0和k>0兩種情況，計算Δ<0，得到4k2【解答過程】（1）當(dāng)k=b=1時，y=x+1，聯(lián)立方程得y=x+1y2?x?1=0，解得x=?1故A∩C={(?1,0),(0,1)}.（2）(A∪B)∩C=?，故A∩C=?且B∩C=?，聯(lián)立方程得y2?x?1=0y=kx+b，消去y由A∩C=?知，當(dāng)k=0時，方程k2當(dāng)k>0時，Δ1=(2bk?1)聯(lián)立方程得4x2+2x?2y+5=0y=kx+b，消去B∩C=?，Δ2=(2?2k)若4k2?4bk+1<0有解，則(?4b)若k2?2k+8b?19<0有解，則(?2)2b∈N，b=2，代入得4k2?8k+1<0k2?2k?3<0故k=1；綜上所述，當(dāng)k=1，b=2時，(A∪B)∩C=?.【變式6.2】（23-24高一上·江蘇無錫·期中）在①A∩B=A，②A∩?RB已知集合A=xa?1<x<2a+3，(1)當(dāng)a=2時，求A∪B；(2)若___________，求實數(shù)a的取值范圍．【解題思路】（1）可得出B=x?2<x<4，a=2時，得出集合（2）若選條件①，可得出A?B，然后討論A是否為空集：A=?時，得出a?1≥2a+3；A≠?時，得出a?1<2a+3a?1≥?22a+3≤4，然后解出a的范圍．若選擇條件②和③，同樣的方法，可得出a的取值范圍．【解答過程】（1）a=2時，A=x∴A∪B=x（2）若選擇①A∩B=A，則A?B，A=?時，a?1≥2a+3，解得a≤?4；A≠?時，a>?4a?1≥?22a+3≤4，解得：綜上知，實數(shù)a的取值范圍是?∞若選擇②A∩?RB=A，則A=?時，a?1≥2a+3，解得a≤?4；A≠?時，a>?42a+3≤?2或a>?4a?1≥4，解得：?4<a≤?綜上所述，a的取值范圍是：?∞若選擇③A∩B=?，則：A=?時，a?1≥2a+3，解得a≤?4；A≠?時，a>?42a+3≤?2或者a>?4a?1≥4解得：?4<a≤?綜上知，實數(shù)a的取值范圍是：?∞【題型7Venn圖表達集合的關(guān)系和運算】【例7.1】（2024·廣東·模擬預(yù)測）已知全集U=R，集合A={xx≥4或x≤0}，B={xx>4

A．?2,0 B．?2,0C．?2,0∪4 【解題思路】利用集合的交并補的定義，結(jié)合Venn圖即可求解.【解答過程】因為A={xx≥4或x≤0}，B={x所以A∪B={xx≥4或x≤0}∪{xx>4或x≤?2}={xx≥4或x≤0}，A∩B={x由題意可知陰影部分對于的集合為?U所以?U?UA∩B∩故選：D.【例7.2】（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知全集是實數(shù)集R，集合A=xx>2，B=xA．xx>2 B．C．xx≤2 D．{x|x<?2或【解題思路】根據(jù)題意，求得?RA=xx≤2且【解答過程】由不等式x2?x?6>0，解得x<?2或x>3，所以B={x|x<?2或又由A=xx>2，可得?R又因為?R故選：B.【變式7.1】（23-24高一上·青海西寧·期末）已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＝m+1，m∈A}．(1)求圖中陰影部分表示的集合C；(2)若非空集合D＝{x|4﹣a＜x＜a}，且D?（A∪B），求實數(shù)a的取值范圍．【解題思路】（1）根據(jù)條件求出集合A，B結(jié)合Venn圖即可求圖中陰影部分表示的集合C；（2）根據(jù)集合關(guān)系進行轉(zhuǎn)化求解即可．【解答過程】（1）因為A=x|1≤x≤3，B=x|x=m+1,m∈A．所以B＝{x|2≤根據(jù)題意，由圖可得：C=A∩?因為B＝{x|2≤x≤4}，則?UB＝{x|x＞4或而A＝{x|1≤x≤3}，則C=A∩?（2）因為集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2≤x≤4}，所以A∪B＝{x|1≤x≤4}，若非空集合D＝{x|4﹣a＜x＜a}，且D?（A∪B），則有4?a＜解得2＜a≤3，即實數(shù)a的取值范圍為（2，3]．【變式7.2】（23-24高一上·山西太原·階段練習(xí)）已知A=x?1<x<2，

(1)求A∪B和?R(2)若記符號A?B=xx∈A且x?B，在圖中把表示“集合A?B”的部分用陰影涂黑，并求出【解題思路】（1）利用數(shù)軸以及集合的交集、并集、補集運算法則即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)A?B的定義即可標(biāo)出陰影，并根據(jù)其意義求得A?B=x【解答過程】（1）由x?1>0得x>1，即B=x?RA=x|x≥2或x≤?1所以A∪B=xx>?1，（2）根據(jù)定義可知，集合A?B如圖中的陰影部分所示．

由于A?B=xx∈A且x?B，又A=x所以A?B=x【題型8集合的新定義問題】【例8.1】（23-24高三上·山東濟南·階段練習(xí)）對于集合M,N，定義M?N=x|x∈M,x?N，M⊕N=M?N∪N?M，設(shè)A=x|x≥?94A．?94,C．?∞,?9【解題思路】根據(jù)題中集合新定義的特性結(jié)合集合的基本運算可求解出結(jié)果.【解答過程】集合A=x|x≥?94則?RA=xx<?9由定義可得：A?B=xx∈A且x?B=A∩?B?A=xx∈B且x?A=B∩?所以A⊕B=A?B故選：C．【例8.2】（23-24高一上·上?！て谥校┰O(shè)集合S為實數(shù)集R的非空子集，若對任意x∈S，y∈S，都有x+y∈S，x?y∈S，xy∈S，則稱集合①若S為“完美集合”，則一定有0∈S；②“完美集合”一定是無限集；③集合A=x④若S為“完美集合”，則滿足S?T?R的任意集合T也是“完美集合”.其中真命題是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【解題思路】對于①③，可以利用完美集合的定義分析判斷，對于②④可以舉反例分析判斷.【解答過程】對于①，若S為“完美集合”，對任意的x∈S，0=x?x對于②，完美集合不一定是無限集，例如0，②錯；對于③，集合A=x在集合A中任意取兩個元素，x=a+b5，y=c+d5，其中a、b、c、則x+y=a+c+b+d5xy=ac+5bd+集合A=x對于④，S=0，T=0,1，也滿足④，但是集合T不是一個完美集合，④錯【變式8.1】（23-24高一下·北京豐臺·期末）設(shè)n為正整數(shù)，集合A=α|α=(t1,t2,?,tn(1)當(dāng)n=3時，若α=(1,?1,0)，β=(0,?1,?1)，求(2)當(dāng)n=4時，設(shè)B是A的子集，且滿足：對于B中的任意元素α,??β，當(dāng)α,??β相同時，M(α,?β)是奇數(shù)；當(dāng)(3)給定不小于2的n，從集合A中任取n+2個兩兩互不相同的元素α1,?α2【解題思路】（1）直接根據(jù)定義計算；（2）注意到1的個數(shù)的奇偶性，根據(jù)定義反證證明；（3）設(shè)S1=(x1,x2,?,xn)(x1,x2,?,xn)∈A，x1=1，【解答過程】（1）因為α=(1,?1,0)，β=(0,1,1)所以M(α,α)=1×1M(α,?（2）設(shè)α=x令α'=x1'則M(α,α)=M(α',x1,x當(dāng)α≠β，且|xi|=|y由題意知，M(α,α)是奇數(shù)，M(α,β)(α,β不同)是偶數(shù)，等價于M(α',α'若M(α',所以B′?1,0,0,0且B'將上述集合中的元素分成如下四組：1,0,0,0,1,1,1,0；0,1,0,0,所以每組中兩個元素不可能同時是集合B'所以集合B'當(dāng)α≠α′且α'∈B'又集合1,0,0,0，所以集合B中元素個數(shù)最大值為4個．（3）設(shè)S1Sk=(Sn+1則A=S1∪S2從集合A中任取n+2個兩兩互不相同的元素，若存在兩個不同元素α,??β同時屬于一個Sk記αi所以，存在i,j(1≤i<j≤n+2)，使得M(α若任意兩個不同元素α,??β都不同時屬于一個則至多取n+1個兩兩互不相同的元素，與已知取n+2個兩兩互不相同的元素矛盾．綜上，存在i,j(1≤i<j≤n+2)，使得M(α【變式8.2】（23-24高二下·北京豐臺·期末）已知集合M=1,2,???,n（n∈N*，且n≥4）．若集合A，B同時滿足下列兩個條件，則稱集合A，B條件（1）：A∩B=?，A∪B=M，且A，B都至少含有兩個元素；條件（2）：對任意不相等的a1，a2∈A，都有a1+a2(1)當(dāng)n=5時，若集合A，B具有性質(zhì)P，且集合A中恰有三個元素，試寫出所有的集合B；(2)若集合A，B具有性質(zhì)P，且2∈B，3∈B，求證：n<14；(3)若存在集合A，B具有性質(zhì)P，求n的最大值．【解題思路】（1）根據(jù)性質(zhì)可得答案；（2）記“對任意不相等的a1，a2∈A，都有a1+a2（3）一方面求出n=32時，可構(gòu)造集合A、B使其具有性質(zhì)P；一方面，當(dāng)n≥33時，可證明不存在具有性質(zhì)P的集合A，B可得答案.【解答過程】（1）所有的集合B為2,4，3,4，3,5；（2）記“對任意不相等的a1，a2∈A記“對任意不相等的b1，b2∈B由條件②得1∈A．由2∈B，3∈B和條件②得2×3=6?B，即6∈A．由條件①得6?1=5?A，即5∈B．由條件②得2×5=10?B，即10∈A．由條件①得10?6=4?A，即4∈B．由條件②得2×4=8?B，即8∈A．由條件①得8+6=14?A，即14∈B．由條件①得8?1=7?A，即7∈B．由條件②得2×7=14?B，與14∈B矛盾，所以14?M，即n<14（3）n的最大值為32．證明如下：一方面，當(dāng)n=32時，可構(gòu)造集合A=1,2,4,7,10,15,18,24,27,30B=3,5,6,8,9,11,12,13,14,16,17,19,20,21,22,23,25,26,28,29,31,32具有性質(zhì)P另一方面，當(dāng)n≥33時，可證明不存在具有性質(zhì)P的集合A，B．證明如下：由（2）知，1∈A，且當(dāng)2∈B，3∈B時，n<14，此時不存在具有性質(zhì)P的集合A，B．由條件①得2，3不能同時屬于集合A．下面討論2和3一個屬于集合A，一個屬于集合B的情況：（1）當(dāng)3∈A，2∈B時，由條件①得1+3=4?A，即4∈B．由條件②得2×4=8?B，即8∈A．由條件①得8?3=5?A，8?1=7?A即5∈B，7∈B．因為2∈B，4∈B，5∈B，7∈B，由條件②得2×7=14?B，4×5=20?B，即14∈A，20∈A．由條件①得14?8=6?A，20?8=12?A，即6∈B，12∈B．由條件②得2×6=12?B，與12∈B矛盾，此時不存在具有性質(zhì)P的集合A，B．（2）當(dāng)2∈A，3∈B時，由條件②得4，5不能同時屬于集合A，下面分三種情形：情形一：若4∈A，5∈B，由條件①得2+4=6?A，即6∈B．由條件②得3×5=15?B，3×6=18?B，即15∈A，18∈A．由條件①得15+18=33?A，即33∈B．由條件①得15?4=11?A，即11∈B．由條件②得3×11=33?B，與33∈B矛盾，此時不存在具有性質(zhì)P的集合A，B．情形二：若5∈A，4∈B，由條件①得1+5=6?A，2+5=7?A，即6∈B，7∈B．由條件②得4×7=28?B，即28∈A．由條件①得5+28=33?A，即33∈B．由條件②得3×4=12?B，即12∈A．由條件①得12?1=11?A，即11∈B．由條件②得3×11=33?B，與33∈B矛盾，此時不存在具有性質(zhì)P的集合A，B．情形三：若4∈B，5∈B，由條件②得4×5=20?B，即20∈A．由條件①得20?2=18?A，即18∈B．由條件②得18÷3=6?B，即6∈A．由條件①得1+6=7?A，即7∈B．由條件②得3×7=21?B，即21∈A．由條件②得3×5=15?B，即15∈A．由條件①得6+15=21?A，與21∈A矛盾，此時不存在具有性質(zhì)P的集合A,B，綜上，n的最大值為32．一、單選題1．（24-25高一上·河北廊坊·開學(xué)考試）下列各組對象能構(gòu)成集合的是（

）A．2023年參加“兩會”的代表B．北京冬奧會上受歡迎的運動項目C．π的近似值D．我校跑步速度快的學(xué)生【解題思路】根據(jù)集合的定義依次判斷各個選項即可.【解答過程】對于A：2023年參加“兩會”的代表具有確定性，能構(gòu)成集合，故A正確；對于B：北京冬奧會上受歡迎的運動項目，沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)，即對象不具有確定性，不能構(gòu)成集合，故B錯誤；對于C：π的近似值，沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)，即對象不具有確定性，不能構(gòu)成集合，故C錯誤；對于D：我校跑步速度快的學(xué)生，沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)，即對象不具有確定性，不能構(gòu)成集合，故D錯誤；故選：A.2．（24-25高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）若集合A=x|mx2+2x+m=0,m∈R中有且只有一個元素，則A．?1 B．0 C．?1,1 D．?1,0,1【解題思路】分m是否為0兩種情況進行討論，結(jié)合二次方程根的情況列式求解即可.【解答過程】當(dāng)m=0時，A=x|2x=0=0當(dāng)m≠0時，由題意Δ=4?4m2滿足題意的m值的集合是?1,0,1.故選：D.3．（24-25高三上·廣西·階段練習(xí)）設(shè)集合A=1,2a+1，B=3,a?1,3a?2，若A?B，則a=（A．?2 B．1 C．2 D．3【解題思路】根據(jù)子集關(guān)系，分別討論2a+1=a?1和2a+1=3a?2，并檢驗集合元素的互異性即可得結(jié)果．【解答過程】由已知得，若2a+1=3，解得a=1，此時A={1,3}，B={0,1,3}，成立；若2a+1=a?1，解得a=?2，此時A={1,?3}，B={?8,?3,3}，不成立；若2a+1=3a?2，解得a=3，此時A={1,7}，B={2,3,7}，不成立；綜上所述：故選：B．4．（2024高一·全國·專題練習(xí)）已知集合A=1,2,3，B=x,yx∈A,y∈A,x+y∈A，則集合BA．4 B．8 C．16 D．32【解題思路】通過列舉求出集合B的元算，進而由集合B的元素個數(shù)可求集合B的子集的個數(shù).【解答過程】通過列舉，可知集合B=1,1則集合B的子集的個數(shù)為23故選：B．5．（24-25高三上·甘肅白銀·階段練習(xí)）已知集合A={x∣x<2},B=?1,0,1,3,5，則A∩B=A．0,1 B．0,1,3 C．0,1,3,5 D．?1,0,1,3,5【解題思路】計算出集合A后，結(jié)合交集運算即可得.【解答過程】由x<2可得0≤x<4，故A={x∣0≤x<4},A∩B=故選：B.6．（23-24高一上·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，已知矩形U表示全集，A、B是U的兩個子集，則陰影部分可表示為（

）A．?U(A∪B) C．(?UB)∩A【解題思路】在陰影部分區(qū)域內(nèi)任取一個元素x，分析元素x與各集合的關(guān)系，即可得出合適的選項.【解答過程】解：在陰影部分區(qū)域內(nèi)任取一個元素x，則x?A且x∈B，即x∈?UA所以，陰影部分可表示為?UA故選：D.7．（2024高一·全國·專題練習(xí)）已知集合A=xx≤?2或x>1，B=x2a?3<x<a+1.若A∪B=RA．a(chǎn)a≤12 B．a(chǎn)0<a≤1【解題思路】利用給定條件建立不等式組，求解參數(shù)范圍即可.【解答過程】依題意得2a?3≤?2,a+1>1,解得0<a≤故選：B.8．（23-24高一上·湖北恩施·階段練習(xí)）定義集合運算：A⊕B=(x,y)x2∈A,2y∈B.若集合A=B=A．? B．4,1 C．1,32 【解題思路】由題意可得A=B=2,3，從而可得x=4或x=6，y=1或y=23，再根據(jù)新定義得A⊕B=【解答過程】因為A=B=2,3，所以x2所以x=4或x=6，2y=2所以y=1或y=23，代入y=?16x+故A⊕B∩C=故選：D.二、多選題9．（24-25高一上·全國·課堂例題）已知不超過5的實數(shù)組成的集合為M，a=2+3A．a(chǎn)∈M B．a(chǎn)+1?MC．1a∈M 【解題思路】根據(jù)題意，利用元素與集合的關(guān)系，逐個分析判斷即可【解答過程】對于A，因為a=2+3對于B，因為a+1=2所以a+1∈M，所以B錯誤，對于C，因為a=2+3，所以1a對于D，因為a=2+3所以a2故選：ACD.10．（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知集合A=1,2，B=0,1,2,3,4，集合C滿足A?C?B，則（A．1∈C，2∈C B．集合C可以為1,2C．集合C的個數(shù)為7 D．集合C的個數(shù)為8【解題思路】根據(jù)題意可確定C的元素情況，由此一一判斷各選項，即可得答案.【解答過程】由題意得A=1,2，B=0,1,2,3,4，又所以1∈C，2∈C，故A正確；當(dāng)C=1,2時，不滿足A?C集合C的個數(shù)等價于集合0,3,4的非空子集的個數(shù)，所以集合C的個數(shù)為23故選：AC.11．（23-24高一上·廣東佛山·期中）已知集合A=x|x2?2x?3<0，集合A．A∩B=x|?1<x<2 B．C．A∪(?RB)=【解題思路】根據(jù)一元二次不等式以及一元一次不等式的解法，求得集合A,B的元素，結(jié)合集合交、并、補的運算，可得答案.【解答過程】由x2?2x?3<0，x?3x+1<0，解得由2x?4<0，解得x<2，所以B=x對于A，A∩B=x?1<x<2，故A正確；對于B，對于C，?RB=x對于D，由選項C可知?RB=x故選：ACD.三、填空題12．（23-24高一下·全國·課堂例題）若集合A由0,m,m2?2m+1三個元素組成，且1∈A，則m=2【解答過程】因為1∈0,m,所以m=1或m2若m=1，m2若m2?2m+1=1?m=0或2，又m≠0，所以故答案為：2.13．（24-25高一上·全國·隨堂練習(xí)）已知集合A={x|x≥1或x≤?2}，B=x|x≥a，若B?A，則實數(shù)a的取值范圍是1,+∞【解題思路】由B為A的真子集，列出關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集即可.【解答過程】因為B?A，所以a≥1.故答案為：1,+∞14．（2024高一·全國·專題練習(xí)）已知集合A=xx≤3,x∈N，B=2m?1,m,m2，C=【解題思路】首先根據(jù)題意得到A=0,1,2,3，根據(jù)B=C得到m=2，再求A∩B【解答過程】由題意得，A=0,1,2,3又集合B=C，若2m?1=3，則m=2，此時B=2,3,4，C=則A∩B=2,3，故A∩B子集個數(shù)為2若2m?1=3m?2，m=1，B=1,1,1綜上得：m=2時，A∩B子集個數(shù)為4個.故答案為：4.四、解答題15．（2024高一·全國·專題練習(xí)）設(shè)A是非空實數(shù)集，滿足若a∈A，則11?a∈A，且(1)若2∈A，則A中至少還有幾個元素？求出這幾個元素；(2)集合A是否可能只含有一個元素？如果能，請舉出實例；如果不能，請說明理由.【解題思路】（1）根據(jù)題意得到11?2=?1∈A，（2）若A中只有一個元素，則a2【解答過程】（1）由于2∈A，則11?a=11?2=?1∈A，于是2∈A，所以A中至少還有兩個元素：?1,1（2）若a∈A，則11?a∈A，且A中只有一個元素，所以a=11?a，即a216．（23-24高三上·山東濰坊·期末）已知集合x|ax(1)若集合A是