傳熱學(xué)第三章-非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱-()

§3-3一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分析解

當(dāng)幾何形狀及邊界條件都比較簡(jiǎn)單時(shí),可獲得分析解。3-3-1無(wú)限大的平板的分析解考察厚度2

的無(wú)限大平壁得情況。設(shè)

、a為已知常數(shù)；

=0時(shí)溫度為t0；突然把兩側(cè)介質(zhì)溫度降低為t

并保持不變；已知壁表面與介質(zhì)之間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h。兩側(cè)冷卻情況相同、溫度分布對(duì)稱(chēng)。中心為原點(diǎn)。1則導(dǎo)熱微分方程為:初始條件:邊界條件:引入:則，導(dǎo)熱方程可改寫(xiě)為:定解條件可改寫(xiě)為:2采用分離變量法求解:取于是有:T只為

的函數(shù)X只為x的函數(shù)則由:得:只能為常數(shù)得到對(duì)積分3式中C1是積分常數(shù),常數(shù)值D的正負(fù)可以從物理概念上加以確定。當(dāng)時(shí)間τ趨于無(wú)窮大時(shí),過(guò)程達(dá)到穩(wěn)態(tài),物體達(dá)到周?chē)h(huán)境溫度,所以D必須為負(fù)值,否則物體溫度將無(wú)窮增大。令則有以及以上兩式的通解為:4于是,得

（a）常數(shù)A.B和β可由下邊定解條件確定。(1)(2)(3)由邊界條件（2）,得B=0把邊界條件（3）代入(b),得

于是（a）式成為

（b）（c）5將右端整理成:注意,這里Bi數(shù)的尺度為平板厚度的一半。顯然，β是兩曲線(xiàn)交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的所有值。式(c)稱(chēng)為特征方程。β稱(chēng)為特征值。分別為β1.β2……βn。6….將無(wú)窮個(gè)解疊加，得:至此，我們獲得了無(wú)窮個(gè)特解:An可利用初始條件求取7于是，得到解的最后形式為:令βnδ=μn最后得:（傅立葉數(shù)）—無(wú)量綱距離由于得而8于是，最后可得到解得形式為:定義無(wú)量綱的熱量其中Q

為0

時(shí)間內(nèi)傳導(dǎo)的熱量（內(nèi)熱能的改變量）為初始時(shí)刻至無(wú)窮時(shí)間內(nèi)的總傳導(dǎo)熱量（物體內(nèi)能改變總量）

于是有:是

時(shí)刻物體的平均過(guò)余溫度。這里:93-3-2非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的正規(guī)狀況階段當(dāng)Fo>0.2時(shí),采用級(jí)數(shù)的第一項(xiàng)計(jì)算偏差小于1%,故當(dāng)Fo>0.2時(shí),由:其中1是第一特征值,是Bi的函數(shù)。Bi0.010.050.10.51.05.01050100

1

0.09980.2210.3110.6530.8601.3141.4291.5401.5551.571得:（d）10為了分析這時(shí)溫度分布的特點(diǎn)，將上式取對(duì)數(shù)，得:式右邊第一項(xiàng)是時(shí)間的線(xiàn)性函數(shù),的系數(shù)只與Bi有關(guān),即只取決于第三類(lèi)邊界條件、平壁的物性與幾何尺寸。而右邊第二項(xiàng)只與Bi、x/有關(guān),與時(shí)間無(wú)關(guān)。上式說(shuō)明,當(dāng)Fo>0.2,平壁內(nèi)所有各點(diǎn)過(guò)余溫度的對(duì)數(shù)都隨時(shí)間線(xiàn)性變化,并且變化曲線(xiàn)的斜率都相等,這一溫度變化階段稱(chēng)為非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的正規(guī)狀況階段。11即:比值與無(wú)關(guān)，僅與幾何位置(x/)及邊界條件(Bi數(shù))有關(guān)。這表明初始條件的影響已經(jīng)消失，無(wú)論初始分布如何，無(wú)量綱溫度都是一樣的。此時(shí)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱已進(jìn)入正規(guī)狀態(tài)或充分發(fā)展階段。Fo>0.2時(shí),任一點(diǎn)過(guò)余溫度與中心過(guò)余溫度m之比為（e）12令x=,還可以計(jì)算平壁表面溫度和中心溫度的比值。另外,由表3-1可知,當(dāng)Bi<0.1時(shí),1<0.3111,從而cos(1)>0.95。即當(dāng)Bi<0.1時(shí),平壁表面溫度和中心溫度的差別小于5%,可以近似認(rèn)為整個(gè)平壁溫度是均勻的。這就是3-2節(jié)集總參數(shù)法的界定值定為Bi<0.1的原因。（f）13兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo),得上式左邊是過(guò)余溫度對(duì)時(shí)間的相對(duì)變化率,稱(chēng)為冷卻率（或加熱率）。上式說(shuō)明,非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱進(jìn)入正規(guī)狀況階段后,物體所有各點(diǎn)的冷卻率或加熱率都相同,且不隨時(shí)間而變化,其值僅取決于物體的物性參數(shù)、幾何形狀與尺寸以及表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)。由式

14其一是利用式（d）的計(jì)算步驟：計(jì)算Bi→

1計(jì)算F0,

0計(jì)算任一位置x處的（x,），式（d）3-3-3正規(guī)狀況階段的實(shí)用計(jì)算方法對(duì)于Fo0.2時(shí)無(wú)限大平壁的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程,其溫度場(chǎng)可按公式(d)計(jì)算；也可用諾謨圖計(jì)算,其中用于確定溫度分布的圖線(xiàn)稱(chēng)為海斯勒?qǐng)D。15（2）采用海斯勒（Heisler）圖計(jì)算

為平板中心的過(guò)余溫度

由式

其中

161718求出了無(wú)限大平壁的溫度分布后，就可以求出經(jīng)過(guò)

時(shí)間內(nèi)每平方米平壁與外界交換的熱量：顯然,Q/Q0亦是Fo和Bi的函數(shù)1920利用海斯勒線(xiàn)圖計(jì)算步驟a）對(duì)于由時(shí)間求溫度的步驟為:計(jì)算Bi數(shù)、Fo數(shù)和x/δ,從圖中查找θm/θ0和θ/θm,計(jì)算出,最后求出溫度tb)對(duì)于由溫度求時(shí)間步驟為,計(jì)算Bi數(shù)、x/δ和θ/θ0,從圖中查找θ/θm,,計(jì)算θm/θ0然后從圖中查找Fo,再求出時(shí)間。c）平板吸收（或放出）的熱量,可在計(jì)算Q0和Bi數(shù)、Fo數(shù)之后,從圖3-6中Q/Q0查找,再計(jì)算出213-3-4其它形狀物體的加熱或冷卻1）無(wú)限長(zhǎng)圓柱和球體圓柱可以求出分析解,但目前更多使用圖解法22求解過(guò)程有以下兩點(diǎn)值得注意:當(dāng)F0≥0.2時(shí)，與無(wú)限大平壁類(lèi)似，無(wú)限長(zhǎng)圓柱體或球體的加熱或冷卻過(guò)程進(jìn)入了正常階段；當(dāng)Bi<0.1時(shí)，對(duì)于無(wú)限長(zhǎng)圓柱體或球體，同樣可以采用集總熱容法計(jì)算由式

3-3-5

Fo數(shù)及Bi數(shù)的影響23(1)當(dāng)Bi數(shù)一定時(shí),隨Fo的增加而減小,即隨著時(shí)間的增加（Fo增加）,物體溫度越來(lái)越接近流體溫度。(2)當(dāng)Fo數(shù)一定時(shí),Bi越大（1/Bi越?。?m/0就越小,這是因?yàn)锽i=h/越大,表面換越強(qiáng),中心溫度就越快地接近周?chē)后w溫度。當(dāng)1/Bi=0時(shí),表面溫度一開(kāi)始就達(dá)到液體溫度,中心溫度變化也最快,這條線(xiàn)代表第一類(lèi)邊界條件?？芍?/p>

(3)從圖3-6可看出,當(dāng)1/Bi>10,